Cách giải bài tập tính đơn điệu của hàm số

Lời giải

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng [ – ∞; – 1] và [ 0; 1]
Do [ 2; – 1] ⊂ [ – ∞; – 1] nên hàm số đồng biến trên khoảng [ – 2; – 1]

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho hàm số f[x] có bảng biến thiên sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. [ 1; + ∞] B. [ – ∞; + ∞] C. [ 3; 4]

D. [ 2; +∞]

Lời giải

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng [ – ∞; 3] và [ 3; + ∞]

Mà [ 3; 4] ⊂ [ 3; +∞] nên trên khoảng [ 3; 4] hàm số đồng biến

Chọn C.

Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số [không chứa tham số]

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{1-x}$. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;1 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right]$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -\infty ;1 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right]$.

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;1 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$.

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;1 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$.

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $y’=\frac{2}{{{[1-x]}^{2}}}>0\text{, }\forall x\ne 1$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $[-\infty ;1]$và $[1;+\infty ]$

Câu 2. Hỏi hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+5x-2$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $[5;+\infty ]$

B. $\left[ 2;3 \right]$

C. $\left[ -\infty ;1 \right]$

D. $\left[ 1;5 \right]$

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$.

$y’ = {x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Trên khoảng$\left[ 1;5 \right],\text{ }y' 0 ⇔ f’[2 – x] < 0

Ví dụ 2: Cho hàm số f[x], bảng xét dấu của f’[x] như sau:

Hàm số y = f [5 – 2x] đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. [3; 4]

B. [1; 3]

C. [-∞; -3]

D. [4; 5]

Lời giải

Chọn D

Ta có y’ = f’[5 – 2x] = -2f’[5 – 2x]

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f [5 – 2x] đồng biến trên khoảng [4; 5]

Phương pháp giải

Loại 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên toàn miền xác định ℝ

Đồng biến trên hoặc suy biến

Nghịch biến trên ℝ thì hoặc suy biến

Loại 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên khoảng con của tập ℝ

Ta thường gặp hai trường hợp:

– Nếu phương trình y’ = 0 giải được nghiệm “đẹp”: Ta thiết lập bảng xét dấu y’ theo các nghiệm vừa tìm [xét hết các khả năng nghiệm trùng, nghiệm phân biệt]. Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

– Nếu phương trình y’ = 0 có nghiệm “xấu” : Ta sử dụng 1 trong 2 cách sau

• Cách 1. Dùng định lý về so sánh nghiệm [sẽ nói rõ hơn qua bài giải cụ thể].
• Cách 2. Cô lập tham số m, dùng đồ thị [cách này xét sau].

Loại 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax4 + bx2 + c đơn điệu trên khoảng con của tập ℝ

Giải phương trình y’ = 0, tìm nghiệm.

Biện luận các trường hợp nghiệm [nghiệm trùng, nghiệm phân biệt]. Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

A. 4

B. Vô số

C. 3

D. 5

Lời giải

Chọn D

D = ℝ \ {m};

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’ < 0, ∀ x ∊ D ⇔ m2 – 4m < 0 ⇔ 0 < m < 4

Mà  m ∊ ℤ nên có 3 giá trị thỏa mãn.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng [10; +∞]?

A. Vô số

B. 4

C. 5

D. 3

Lời giải

Chọn B

Tập xác định D = ℝ \ {-5m}

Hàm số nghịch biến trên [10; +∞] khi và chỉ khi

Mà  m ∊ ℤ nên m ∊ {-2; -1; 0; 1}

Tài liệu tính đơn điệu của hàm số

Bộ tài liệu hay nhất về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bao gồm: Lý thuyết, ví dụ và các bài tập vận dụng được tuyển chọn. Bạn nên xem kĩ tài liệu nào hay trước khi tải về và sử dụng để giúp quá trình học tập đạt được hiệu quả cao nhất.

1. Thông tin tài liệu

2. Mục lục

• Định nghĩa tính đơn điệu
• Định lí về tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
• Dạng toán 1: Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số
• Dạng toán 2: Tìm tham số thỏa mãn tính đơn điệu của hàm số
• Dạng toán 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

3. Xem tài liệu

Trên đây là bài viết chi tiết về chủ đề tính đơn điệu của hàm số. Để thuần thục được dạng toán này, các bạn cần nắm vững các định lý, định nghĩ về tính đơn điệu, tính đạo hàm và quy tắc xét dấu cùng cách giải bất phương trình cơ bản.

VerbaLearn chỉ sử dụng các nguồn tham khảo chất lượng cao, bao gồm các nghiên cứu được đánh giá cùng chuyên mục để hỗ trợ các dữ liệu trong bài viết. Từ đó luôn giữ cho nội dung trên website chính xác và đáng tin cậy nhất. Mang thêm nguồn thông tin hữu ích đến bạn đọc thông qua các nguồn được nghiên cứu.

Tính đơn điệu của hàm số là cách gọi chung cho tính đồng biến [tăng] và tính nghịch biến [giảm]. Thông thường để xác định tính chất đơn điệu của hàm số ta thường tìm đạo hàm của nó. Xét trong khoảng bất kì, nếu đạo hàm dương trong khoảng nào thì hàm số đồng biến trong khoảng đó và ngược lại với đạo hàm âm.

Có 7 dạng bài tập cơ bản về tính đơn điệu của hàm số bao gồm: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số bất kì; Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước; Tìm m để hàm phân thức đơn điệu trên từng khoảng xác định; Tìm m để hàm bậc 3 đơn điệu trên R; Tìm m để hàm số lượng giác đơn điệu trên R; Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f'[x]; Biện luận tính đơn điệu của hàm đa thức trên khoảng con của R.