Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ. Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a’, b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng a và b không thay đổi.
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
Xem thêm:
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
Ngoài việc làm như trong định nghĩa, để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Hoặc ta có thể sử dụng tích vô hướng:
- Nếu \[\overrightarrow{u}\] là vecto chỉ phương của đường thẳng a và \[\overrightarrow{v}\] là vecto chỉ phương của đường thẳng b và \[\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right]=\alpha \] thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng \[\alpha \] nếu \[0\le \alpha \le 90^\circ \] và bằng \[180{}^\circ -\alpha \] nếu \[90^\circ 0\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}.\]
Cách 2: Ta có: \[\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right];\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\]
Khi đó \[\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right]\left[ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right]=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}A{{C}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\cos 60{}^\circ -\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{-3{{a}^{2}}}{8}.\]
Lại có: \[AN=\frac{SC}{2}=a;CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\left| \frac{-3{{a}^{2}}}{8} \right|}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.\]
Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có \[SA=SB=SC=AB=a;AC=a\sqrt{2}\] và \[BC=a\sqrt{3}\]. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.
Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó \[\left\{ \begin{align}
& MP//SC \\
& N//AB \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left[ \widehat{SC;AB} \right]=\left[ \widehat{MP;MN} \right].\]
Ta có: \[MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};MP=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}.\]
Mặt khác \[\Delta SAC\] vuông tại S \[\Rightarrow SP=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\]
\[B{{P}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{3}{2}{{a}^{2}}\Rightarrow BP=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\]
Suy ra \[P{{N}^{2}}=\frac{P{{S}^{2}}+P{{B}^{2}}}{2}-\frac{S{{B}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow NP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\]
Khi đó \[\cos \widehat{NMP}=\frac{M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}-N{{P}^{2}}}{2.MN.MP}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NMP}=120{}^\circ \Rightarrow \varphi =\left[ \widehat{SC;AB} \right]=60{}^\circ .\]
Cách 2: Ta có: \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left[ \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right].\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}\]
\[=\frac{1}{2}\left[ S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}} \right]-\frac{1}{2}\left[ S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right]=-\frac{{{a}^{2}}}{2}.\]
Suy ra \[\cos \left[ SC;AB \right]=\frac{\left| \frac{-{{a}^{2}}}{2} \right|}{a.a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left[ SC;AB \right]=60{}^\circ .\]
Video liên quan