Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tóm tắt Kiến thức Hình học 10", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHƯƠNG I: VECTƠ Bài 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA 1. Để xác định một vectơ cần biết một trong hai điều kiện sau: - Điểm đầu và điểm cuối của vectơ. - Độ dài và hướng. 2. Hai vectơ và được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ và cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 3. Đô dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. 4. = khi và chỉ khi và , cùng hướng. 5. Với mỗi điểm A ta gọi là vectơ – không. Vectơ – không được kí hiệu là và quy ước rằng vectơ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. Các dạng toán và phương pháp giải Dạng 1: Xác định một vec tơ, sự cùng phương và hướng của hai vec tơ. @ Phương pháp: Để xác định vec tơ ta cần biết và hướng của hoặc biết điểm đầu và điểm cuối của . Chẳng hạn,với hai điểm phân biệt A và B ta có hai vec tơ khác vec tơ là Vec tơ là vec tơ – không khi và chỉ khi = 0 hoặc với A là điểm bất kì. Dạng 2: Chứng minh hai vec tơ bằng nhau. @ Phương pháp: Để chứng minh hai vec tơ bằng nhau ta có thể dùng một trong ba cách sau: * . * Tứ giác ABCD là hình bình hành . * Nếu Bài 2: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VEC TƠ Định nghĩa tổng của hai vec tơ và quy tắc tìm tổng. Cho hai vec tơ tùy ý . Lấy điểm A tùy ý, dựng . Khi đó . Với ba điểm M, N và P tùy ý ta luôn có: [quy tắc 3 điểm] A B D C Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có: [quy tắc hình bình hành]. Định nghĩa vec tơ đối. * Cho vectơ . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là . * Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của là , nghĩa là * Vectơ đối của là . 3. Định nghĩa hiệu của hai vec tơ và quy tắc tìm hiệu. Quy tắc ba điểm đối với phép trừ vectơ: Với ba điểm bất kì O, A, B ta có . Lưu ý: I là trung điểm AB . G là trọng tâm tam giác ABC Các dạng toán và phương pháp giải Dạng 1: Tìm tổng của hai vec tơ và tổng của nhiều vec tơ. @ Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng của hai vec tơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và các tính chất của tổng các vec tơ. Dạng 2: Tìm vecto đối và hiệu của hai vec tơ @ Phương pháp: Theo định nghĩa, để tìm hiệu , ta làm hai bước sau: Tìm vec tơ đối của . Tính tổng Vận dụng quy tắc với ba điểm O, A, B bất kì. Dạng 3: Tính độ dài của @ Phương pháp: Đầu tiên tính . Sau đó tính độ dài các đoạn thẳng AB và CD bằng cách gắn nó vào các đa giác mà ta có thể tính được độ dài các cạnh của nó hoặc bằng phương pháp tính trực tiếp khác. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vec tơ. @ Phương pháp: Mỗi vế của một đẳng thức vec tơ gồm các vec tơ được nối với nhau bởi các phép toán vecto. Ta dùng quy tắc tìm tổng, hiệu của hai vec tơ, tìm vec tơ đối để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cà hai vế của đẳng thức để được hai vế bằng nhau. Ta cũng có thể biến đổi đẳng thức vec tơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vec tơ được công nhận là đúng. Bài 3: TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ. Định nghĩa: Cho số và vec tơ .Tích của vec tơ với số k là một vec tơ, kí hiệu là , cùng hướng với nếu k > 0, ngược hướng với nếu k < 0 và có độ dài bằng . Các tính chất., ta có: ; ; ; ; Hai vec tơ cùng phương khi và chỉ khi có số k để . Cho hai vec tơ cùng phương, . Tìm số k để và khi đó số k tìm được là duy nhất. Áp dụng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng với số k xác định. I là trung điểm của đoạn thẳng AB . G là trọng tâm tam giác ABC Các dạng toán và phương pháp giải Dạng 1: Xác định vec tơ . @ Phương pháp: Dựa vào định nghĩa vec tơ * . - Nếu k > 0, . - Nếu k < 0, . * * Dạng 2: Phân tích [biểu thị] một vec tơ theo hai vec tơ không cùng phương. @ Phương pháp: a/ Để phân tích vec tơ theo hai vec tơ không cùng phương ta làm như sau: Vẽ hình bình hành OA’CB’ có hai đỉnh O, C và hai cạnh OA’ và OB’ lần lượt nằm trên hai giá của . Ta có: Xác định số h để . Xác định số k để . Khi đó . b/ Có thể sử dụng linh hoạt các công thức sau: * , với ba điểm O, A, B bất kì. * nếu tứ giác ABCD là hình bình hành. Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song. @ Phương pháp: Dựa vào các khẳng định sau: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng cùng phương. Nếu và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB // CD. Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức vec tơ có chứa tích của vec tơ với một số. @ Phương pháp: Sử dụng tính chất tích của vec tơ với một số. Sử dụng các tính chất của: ba điểm thẳng hàng, trung điểm của một đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác. Dạng 5: Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức vec tơ. @ Phương pháp: Sử dụng các khẳng định và các công thức sau: ; Cho điểm A và cho . Có duy nhất điểm M sao cho Bài 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Trục và độ dài đại số trên trục Cho điểm A và B trên trục . Khi đó có duy nhất số a sao cho . Ta gọi a đó là độ dài đại số của vec tơ đối với trục đã cho và kí hiệu: . Nếu cùng hướng với thì , còn nếu ngược hướng với thì . Nếu hai điểm A và B trên trục có tọa độ lần lượt là a và b thì Tọa độ của một vec tơ, của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. * * M[x;y] với O là gốc tọa độ. * Cho hai điểm , ta có: 3. Tọa độ của các vec tơ , , Cho , . Khi đó: ; ; 4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Toạ độ trọng tâm của tam giác. a] Cho , và là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta có: b] Cho tam giác ABC có , , , Ta có toạ độ trọng tâm của tam giác ABC được tính theo công thức: Các dạng toán và phương pháp giải Dạng 1: Tìm tọa độ của điểm và độ dài đại số của một vec tơ trên trục . @ Phương pháp: Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của điểm và độ dài đại số của vec tơ. Điểm M có tọa độ a với O là điểm gốc. Vec tơ có độ dài đại số là .. Nếu M và N có tọa độ lần lượt là a và b thì Dạng 2: Xác định tọa độ cùa vec tơ và của điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. @ Phương pháp: Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của moat vec tơ và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Để tìm tọa độ của vec tơ ta làm như sau: Vẽ vec tơ Gọi hai điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox và Oy. Khi đó trong đó . Để tìm tọa độ của điểm A ta tìm tọa độ của vec tơ . Như vậy A có tọa độ là [x;y] trong đó ; A1 và A2 tương ứng là chân đường vuông góc hạ từ A xuống Ox và Oy. Nếu biết tọa độ của hai điểm A, B ta tính được tọa độ của vec tơ theo công thức: . Dạng 3: Tìm tọa độ của các vec tơ @ Phương pháp: Tính theo các công thức tọa độ của Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song bằng tọa độ. @ Phương pháp: Sử dụng các điều kiện can và đủ sau: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng . Hai vec tơ cùng phương Dạng 5: Tính tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của tam giác. @ Phương pháp: Sử dụng các công thức sau: Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của hai đầu mút. Tọa độ của trọng tâm tam giác bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của ba đỉnh. CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG Định nghĩa. Với mỗi góc a [] ta xác định một điểm M trên nữa đường tròn đơn vị sao cho và giả sử điểm M có toạ độ . Khi đó ta định nghĩa: * sin của góc a là y0, ký hiệu ; * côsin của góc a là x0, ký hiệu ; * tang của góc a là , ký hiệu ; * côtang của góc a là , ký hiệu ; Các số sina, cosa, tana, cota được gọi là các giá trị lượng giác của góc a. @ Chú ý: + Nếu a là góc tù thì cosa 0 thì [2] là phương trình đường tròn tâm I[a ;b], bán kính . Dạng 2: Lập phương trình đường tròn. @ Phương pháp: Cách 1: Tìm tọa độ tâm I[a ;b] của đường tròn [C]. Tìm bán kính R của [C]. Viết phương trình [C] theo dạng : [x-a]2+[y-b]2=R2 [1] Chú ý : [C] đi qua A, B . [C] đi qua A và tiếp xúc với đ.thẳng tại A . [C] tiếp xúc với hai đ.thẳng và . Cách 2 : Gọi ph.trình của đường tròn [C] là x2+y2-2ax-2by+c=0. [2] Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c. Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào [2] ta được phương trình đường tròn [C]. Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn. @ Phương pháp: Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M0[x0;y0] thuộc đường tròn [C]. Tìm tọa độ tâm I[a;b] của [C]. Phương trình tiếp tuyến với [C] tại M0[x0;y0] có dạng: [x0-a][x-x0]+[y0-b][y-y0]=0. Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của với [C] khi chưa biết tiếp điểm: Dùng điều kiện tiếp xúc để xác định : tiếp xúc với đường tròn [C] tâm I, bán kính R Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Định nghĩa. Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: F1M+F2M=2a Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2=2c gọi là tiêu cự của elip. Phương trình chính tắc của elip [E]. * Cho elip [E] có các tiêu điểm F1[-c,0], F2[c;0]. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi MF1+MF2=2a. [1], trong đó b2=a2-c2. Phương trình [1] gọi là phương trình chính tắc của elip. Các thành phần của elip [E] là: Hai tiêu điểm: . Bốn đỉnh: . Độ dài trục lớn: . Độ dài trục nhỏ: . Tiêu cự: Các dạng toán và phương pháp giải Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó. @ Phương pháp: Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip. Lập phương trình chính tắc của elip theo công thức: Ta có các hệ thức: 0 < b < a. c2=a2-b2. Độ dài trục lớn: . Độ dài trục nhỏ: . Tiêu cự: MF1+MF2=2a. Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của elip [E]. Hai tiêu điểm: . Bốn đỉnh: . Dạng 2: Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó. @ Phương pháp: Các thành phần của elip Độ dài trục lớn nằm trên Ox: . Độ dài trục nhỏ nằm trên Oy: . Hai tiêu điểm: với Tiêu cự: Bốn đỉnh: . Tỉ số Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: .