Bài 1. [2 đ] Phân tích đa thức thành nhân tử:
a] \[x\left[ {x - y} \right] + 7x - 7y\]
b] \[{x^3} - 2{x^2} - 9x + 18\]
c] \[3{x^2} - 6xy + 3{y^2} - 12{z^2}\]
Bài 2. [2 điểm]
1. Tìm \[x\] biết
a] \[{x^2} - 2x = 0\]
b] \[{x^2} - 7x + 12 = 0\]
2. Tìm số \[a\] để đa thức \[2{x^3} - 7{x^2} + 7x + a\] chia hết cho đa thức \[2x - 5\].
Bài 3. [2 điểm] Cho \[P = \left[ {\dfrac{{x + 5}}{{x - 2}} + \dfrac{{3x}}{{x + 2}} - \dfrac{{4{x^2}}}{{{x^2} - 4}}} \right].\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 10}}\]
a] Tìm điều kiện của \[x\] để giá trị của \[P\] xác định.
b] Rút gọn \[P\].
c] Tính giá trị của \[P\], biết \[{x^2} - x - 6 = 0\]
Bài 4. [3,5 điểm] Cho \[\Delta ABC\] vuông tại A \[AC = 4cm\], điểm M là trung điểm của của BC. Gọi E là điểm đối xứng với M qua AB, I là giao điểm của ME và AB. Gọi F là điểm đối xứng với M qua AC, K là giao điểm của MF và AC.
a] Chứng minh AM=IK
b] Tứ giác AMCF là hình gì? Vì sao?
c] Chứng minh A là trung điểm của EF.
d] Tam giác vuôngABC cần có điều kiện gì để tứ giác BCKI là hình thang cân? Khi đó tính diện tích của tứ giác BCKI.
Bài 5. [0,5 điểm] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[S = {x^2} - 2xy + 6{y^2} - 12x + 2y + 45\]
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Bài 1 [VD]:
Phương pháp:
Nhóm các hạng tử kết hợp dùng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung.
Cách giải:
a] \[x\left[ {x - y} \right] + 7x - 7y\]
\[\begin{array}{l} = x\left[ {x - y} \right] + 7\left[ {x - y} \right]\\ = \left[ {x + 7} \right]\left[ {x - y} \right]\end{array}\]
b] \[{x^3} - 2{x^2} - 9x + 18\]
\[\begin{array}{l} = \left[ {{x^3} - 2{x^2}} \right] - \left[ {9x - 18} \right]\\ = {x^2}\left[ {x - 2} \right] - 9\left[ {x - 2} \right]\\ = \left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {x - 2} \right]\\ = \left[ {x - 3} \right]\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 2} \right]\end{array}\]
c] \[3{x^2} - 6xy + 3{y^2} - 12{z^2}\]
\[\begin{array}{l} = \left[ {3{x^2} - 6xy + 3{y^2}} \right] - 12{z^2}\\ = 3\left[ {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right] - 12{z^2}\\ = 3{\left[ {x - y} \right]^2} - 12{z^2}\\ = 3\left[ {{{\left[ {x - y} \right]}^2} - 4{z^2}} \right]\\ = 3\left[ {x - y - 2z} \right]\left[ {x - y + 2z} \right]\end{array}\]
Bài 2 [VD]:
Phương pháp:
1. Phân tích VT thành tích, sử dụng \[AB = 0\] thì \[A = 0\] hoặc \[B = 0\].
2. Thực hiện chia đa thức cho đa thức, phép chia là phép chia hết nếu số dư bằng \[0\].
Cách giải:
1. Tìm \[x\] biết
a] \[{x^2} - 2x = 0\]
\[x\left[ {x - 2} \right] = 0\]
\[x = 0\] hoặc \[x - 2 = 0\]
\[x = 0\] hoặc \[x = 2\].
Vậy \[x = 0\] hoặc \[x = 2\].
b] \[{x^2} - 7x + 12 = 0\]
\[\begin{array}{l}{x^2} - 3x - 4x + 12 = 0\\\left[ {{x^2} - 3x} \right] - \left[ {4x - 12} \right] = 0\\x\left[ {x - 3} \right] - 4\left[ {x - 3} \right] = 0\\\left[ {x - 3} \right]\left[ {x - 4} \right] = 0\end{array}\]
TH1: \[x - 3 = 0\]
\[\begin{array}{l}x = 0 + 3\\x = 3\end{array}\]
TH2: \[x - 4 = 0\]
\[\begin{array}{l}x = 0 + 4\\x = 4\end{array}\]
Vậy \[x = 3\] hoặc \[x = 4\].
2. Tìm số \[a\] để đa thức \[2{x^3} - 7{x^2} + 7x + a\] chia hết cho đa thức \[2x - 5\].
Ta chia \[2{x^3} - 7{x^2} + 7x + a\] cho \[2x - 5\] được:
Để đa thức \[2{x^3} - 7{x^2} + 7x + a\] chia hết cho \[2x - 5\] thì \[a + 5 = 0 \Leftrightarrow a = - 5\].
Vậy \[a = - 5\].
Bài 3 [VD]:
Phương pháp:
a] Biểu thức \[\dfrac{1}{{P\left[ x \right]}}\] xác định nếu \[P\left[ x \right] \ne 0\].
b] Quy đồng mẫu thức, rút gọn \[P\].
c] Tìm \[x\] thỏa mãn điều kiện rồi thay vào biểu thức rút gọn của \[P\] và tính giá trị.
Cách giải:
a] Tìm điều kiện của \[x\] để giá trị của \[P\] xác định.
ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x + 2 \ne 0\\{x^2} - 4 \ne 0\\x + 10 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 2\\x \ne 10\end{array} \right.\]
b] Rút gọn \[P\].
\[P = \left[ {\dfrac{{x + 5}}{{x - 2}} + \dfrac{{3x}}{{x + 2}} - \dfrac{{4{x^2}}}{{{x^2} - 4}}} \right].\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 10}}\]
\[P = \left[ {\dfrac{{x + 5}}{{x - 2}} + \dfrac{{3x}}{{x + 2}} - \dfrac{{4{x^2}}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}} \right].\dfrac{{x\left[ {x + 2} \right]}}{{x + 10}}\]
\[P = \left[ {\dfrac{{\left[ {x + 5} \right]\left[ {x + 2} \right]}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}} + \dfrac{{3x\left[ {x - 2} \right]}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}} - \dfrac{{4{x^2}}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}} \right].\dfrac{{x\left[ {x + 2} \right]}}{{x + 10}}\]
\[P = \left[ {\dfrac{{{x^2} + 7x + 10 + 3{x^2} - 6x - 4{x^2}}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}} \right].\dfrac{{x\left[ {x + 2} \right]}}{{x + 10}}\]
\[P = \dfrac{{x + 10}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}.\dfrac{{x\left[ {x + 2} \right]}}{{x + 10}}\]
\[P = \dfrac{x}{{x - 2}}\]
c] Tính giá trị của \[P\], biết \[{x^2} - x - 6 = 0\]
Ta có: \[{x^2} - x - 6 = 0\]
\[\begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2x - 6 = 0\\x\left[ {x - 3} \right] + 2\left[ {x - 3} \right] = 0\\\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0\end{array}\]
\[x + 2 = 0\] hoặc \[x - 3 = 0\]
\[x = - 2\left[ {loai} \right]\] hoặc \[x = 3\left[ {TM} \right]\]
Với \[x = 3\] thì \[P = \dfrac{3}{{3 - 2}} = \dfrac{3}{1} = 3\].
Vậy với \[x = 3\] thì \[P = 3\].
Bài 4 [VD]:
Phương pháp:
a] Chứng minh \[AIMK\] là hình chữ nhật suy ra hai đường chéo bằng nhau.
b] Chứng minh \[AMCF\] là hình thoi theo dấu hiệu nhận biết hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường.
c] Chứng minh \[A,E,F\] thẳng hàng và \[AE = AF\].
d] Sử dụng dấu hiệu: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
Cách giải:
a] Chứng minh AM=IK
Điểm E đối xứng với M qua AB nên \[ME \bot AB\] tại I và \[IM = ME\].
Điểm F đối xứng với M qua AC nên \[MF \bot AC\] tại K và \[KM = KF\].
\[ \Rightarrow \widehat {MKA} = \widehat {MIA} = {90^0}\].
Tứ giác \[AIMK\] có \[\widehat {MKA} = \widehat {MIA} = \widehat {KAI} = {90^0}\] nên là hình chữ nhật [dhnb]
\[ \Rightarrow IK = AM\left[ {t/c} \right]\] [đpcm]
b] Tứ giác AMCF là hình gì? Vì sao?
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}BA \bot AC\left[ {gt} \right]\\MK \bot AC\left[ {cmt} \right]\end{array} \right. \Rightarrow BA//MK\] [từ vuông góc đến song song]
Mà \[M\] là trung điểm \[BC\] nên \[K\] là trung điểm \[AC\].
Lại có \[K\] là trung điểm \[AC\] nên tứ giác \[AMCF\] có hai đường chéo \[AC,MF\] vuông góc với nhau tại trung điểm \[K\] của mỗi đường
\[ \Rightarrow AMCF\] là hình thoi [dhnb].
c] Chứng minh A là trung điểm của EF.
Từ câu b, \[AMCF\] là hình thoi \[ \Rightarrow AF//CM,AF = CM\] [1]
Chứng minh tương tự câu b ta được \[AMBE\] là hình thoi
\[ \Rightarrow AE//BM,AE = BM\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[A,E,F\] thẳng hàng và \[AE = AF\].
Vậy \[A\] là trung điểm \[EF\].
d] Tam giác vuông ABC cần có điều kiện gì để tứ giác BCKI là hình thang cân? Khi đó tính diện tích của tứ giác BCKI.
Ta có:
\[I,K\] lần lượt là trung điểm của \[AB,AC\] nên \[IK\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\]
\[ \Rightarrow IK//BC \Rightarrow IKCB\] là hình thang.
Để \[IKCB\] là hình thang cân thì \[\widehat {KCB} = \widehat {IBC}\] hay \[\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\]
Do đó tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A\].
\[ \Rightarrow AB = AC = 4cm\] \[ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\] \[ = \dfrac{1}{2}.4.4 = 8\left[ {c{m^2}} \right]\]
Lại có \[AI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.4 = 2\left[ {cm} \right],\] \[AK = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.4 = 2\left[ {cm} \right]\]
\[ \Rightarrow {S_{\Delta AIK}} = \dfrac{1}{2}AI.AK\] \[ = \dfrac{1}{2}.2.2 = 2\left[ {c{m^2}} \right]\]
\[ \Rightarrow {S_{IKCB}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta AIK}}\] \[ = 8 - 2 = 6\left[ {c{m^2}} \right]\]
Vậy \[{S_{IKCB}} = 6\left[ {c{m^2}} \right]\].
Bài 5 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng các hằng đẳng thức \[{\left[ {a + b + c} \right]^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\] và \[{\left[ {a + b} \right]^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]
Đưa về dạng: \[{A^2} + {B^2} + m \ge m\]
Dấu = xảy ra khi: \[A = B = 0\]
Cách giải:
Ta có: \[S = {x^2} - 2xy + 6{y^2} - 12x + 2y + 45\]
\[ = \left[ {{x^2} + {y^2} + 36 - 2xy - 12x + 12y} \right]\] \[ + 5{y^2} - 10y + 9\]
\[ = {\left[ {x - y - 6} \right]^2} + 5{\left[ {y - 1} \right]^2} + 4\]
Vì \[{\left[ {x - y - 6} \right]^2} \ge 0;{\left[ {y - 1} \right]^2} \ge 0\] với mọi \[x;y\]
Nên \[S = {\left[ {x - y - 6} \right]^2} + 5{\left[ {y - 1} \right]^2} + 4 \ge 4\] với mọi \[x;y\]
Dấu = xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}x - y - 6 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 7\end{array} \right.\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[S\] là \[4 \Leftrightarrow x = 7;y = 1\].
Hết