Căn bậc ba
I . Lí thuyết :
1 . Định nghĩa : căn bậc ba của một số a là một số x sao cho \[{{x}^{3}}=a\]. Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.
Nhận xét:
- Căn bậc ba của một số dương là một số dương;
- Căn bậc ba của một số âm là một số âm;
- Căn bậc ba của số 0 là số 0;
- Căn bậc ba của số a được kí hiệu là \[\sqrt[3]{a}\].
Vậy \[\sqrt[3]{a}=x\Leftrightarrow {{x}^{3}}=a\].
2 . Tính chất :
- Liên hệ giữa thứ tự và căn bậc ba: nếu a < b thì \[\sqrt[3]{a}\frac{1}{8}\]thì x là số nguyên dương.
b, Giải phương trình \[\sqrt[3]{x+24}+\sqrt{12-x}=6\].
Giải
a, Xét \[{{x}^{3}}=2a+3x.\sqrt[3]{{{a}^{2}}-{{\left[ \frac{a+1}{3} \right]}^{2}}.\left[ \frac{8a-1}{3} \right]}\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{3}}=2a+3x.\frac{\sqrt[3]{{{[1-2a]}^{3}}}}{3}\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{3}}=2a+x.[1-2a]\Leftrightarrow [x-1][{{x}^{2}}+x+2a]=0\Leftrightarrow x=1\]
Vì \[{{x}^{2}}+x+2a={{\left[ x+\frac{1}{2} \right]}^{2}}+2a-\frac{1}{4}={{\left[ x+\frac{1}{2} \right]}^{2}}+\frac{8a-1}{4}>0\,\,\,\,\,\,\left[ a>\frac{1}{8} \right]\]