Cận trên đúng của một tập các số thực và giới hạn trên của một dãy các số thực có lẽ là hai trong số khái niệm mới và khó làm quen đối với sinh viên năm thứ nhất. Trước hết ta tìm hiểu cận trên đúng của một tập . Về mặt định nghĩa,
– nếu tập ta quy ước cận trên đúng của nó ,
– nếu tập và không bị chặn trên ta quy ước ,
– nếu tập là tập bị chặn thì nó có các tập các chặn trên là khác rỗng và có số bé nhất, số bé nhất này được gọi là cận trên của và ký hiệu .
Lý do có các quy ước trên là nhằm đảm bảo tính bảo toàn thứ tự
nếu thì .
Hai trường hợp đầu của định nghĩa khá dễ làm quen. Ta quan tâm đến trường hợp thứ ba và bị chặn trên. Thường các bạn thấy được cận trên đúng của tập nhưng các bạn chưa đưa ra được các lý do một cách thuyết phục để mọi người cùng thấy được. Các bạn thường chỉ đưa ra lý do số mà các bạn nghĩ rằng nó là cận trên đúng lớn hơn tất cả các phần tử của tập . Điều này chưa đủ vì:
đồng ý số các bạn đưa ra thuộc vào tập các chặn trên của tập đã cho, nhưng nó có phải là số bé nhất trong tập các chặn trên này không?
hay
biết đâu còn có số nào đó khác cũng lớn hơn các phần tử của và bé hơn số các bạn đưa ra?
Nói điều này thì ai cũng có thể hiểu nhưng vượt qua nó như nào thực sự là không dễ! Gặp điều khó khăn này là vì ta chưa xác định được tập các chặn trên của tập đã cho, hay nói đúng hơn việc xác định được tập các chặn trên này thực chất cũng chính là việc xác định cận trên đúng! Điều này thường dẫn đến suy luận kiểu “quả trứng – con gà”? Vấn đề ở đây là phải làm gì để thoát được điều này?
Việc cần làm ở chỗ này: chỉ ra rằng bất kỳ số nào bé hơn số các bạn đưa ra đều không là chặn trên của tập đã cho. Nói cách khác: nếu tôi lấy một số bất kỳ nhỏ hơn số các bạn đưa ra, và các bạn chỉ ra được một số của tập đã cho lớn hơn số của tôi thì các bạn đã giải quyết được 99% vấn đề tôi đưa ra ở trên. Còn 1% nữa là gì, tôi không đủ sức để đưa ra tất cả các số như vậy một cách cụ thể! Tôi nghĩ đây là điểm “trừu tượng” của toán học, nó nằm ở chữ “bất kỳ”, không phụ thuộc vào tôi đưa ra hay ai đó đưa ra, nó là số “bất kỳ” và chỉ có một yêu cầu: bé hơn số các bạn đưa ra. Để cụ thể các bạn thử quan sát tập .
Tiếp đến tôi quan tâm đến giới hạn trên của dãy số. Về mặt định nghĩa
giới hạn trên dãy số thực là số lớn nhất [kể cả vô cùng] của tập các giới hạn riêng của dãy số đó.
Thường cách làm của các bạn:
tách dãy ban đầu thành các dãy con, mà các dãy con này hội tụ và hợp các tập các chỉ số của các dãy con là tập số tự nhiên, từ đó nghĩ rằng mình đã tìm được tất cả các giới hạn riêng của dãy đã cho!
Vấn đề của cách làm này: liệu có dãy con nào đó hội tụ đến một số không thuộc vào tập các giới hạn riêng mà các bạn vừa tìm?
Rất ít bạn sinh viên để ý đến câu hỏi trên. Tuy nhiên khi bị hỏi một số bạn cũng có sự chú ý đến “hợp các tập các chỉ số của các dãy con là tập các số tự nhiên”, chẳng hạn khi quan sát dãy , các bạn tách thành dãy con với chỉ số chẵn và dãy con với chỉ số lẻ và nói rằng mỗi số tự nhiên chỉ có hai cách: hoặc là số chẵn hoặc là số lẻ. Đến đây các bạn thường không nghĩ rằng có những dãy con có dãy chỉ số vừa chẵn, vừa lẻ, chẳng hạn dãy con . Nhưng đây là ý rất quan trọng của cách này! Ngoài điểm này, còn một điểm nữa: số dãy con được tách ra phải là hữu hạn, chẳng hạn với bài trên các bạn tách ra hai dãy con. Ta sẽ nói lý do của điều này sau. Quay trở lại:
vậy tại sao nếu các bạn tách dãy ban đầu thành hữu hạn các dãy con hội tụ thì tập các giới hạn của các dãy con này chính là tập các giới hạn riêng của dãy ban đầu?
Đến đây hầu hết sinh viên đều tỏ ra khó hiểu? Lý do của điều này khá đơn giản, nhưng có lẽ cũng rất khó hiểu đối với sinh viên, như sau:
– nếu có một dãy con nào đó của dãy ban đầu hội tụ thì tập các chỉ số của dãy con này là tập vô hạn các số tự nhiên,
– tập các số tự nhiên được nhốt vào trong một số hữu hạn chuồng, mà mỗi chuồng chính là tập các chỉ số của mỗi dãy con được các bạn tách ra, chẳng hạn ở bài trên hai chuồng: chẵn và lẻ,
– như vậy phải có ít nhất một trong các chuồng đó phải chứa vô số các chỉ số của dãy con hội tụ đang xét, điều này nói rằng dãy con đang xét và dãy con được các bạn tách ra có tập các chỉ số là chuồng này có một điểm chung:
nếu nhìn chúng như là dãy số thì chúng có chung một “dãy con”,
– sử dụng kết quả:
“Nếu một dãy hội tụ thì tất cả các dãy con của nó đều hội tụ và cùng hội tụ đến giới hạn của dãy đã cho.”
dẫn đến nếu hai dãy hội tụ có chung một dãy con thì chúng cùng hội tụ đến một số, như vậy giới hạn của dãy con hội tụ đang xét là một trong các giới hạn mà các bạn đã tìm.
Cách làm trên giúp ta thấy được tập tất cả các giới hạn riêng của dãy được quan tâm, từ đó tìm số lớn nhất từ tập các giới hạn riêng này sẽ thu được giới hạn trên của dãy. Thầy Chuẩn có đưa ra một gợi ý khác:
– nếu ta tìm được một giới hạn riêng của dãy ta quan tâm và nghĩ rằng nó là giới hạn trên thì việc tiếp cần làm
lấy bất kỳ một số lớn hơn giới hạn ta tìm được, ta sẽ chỉ ra rằng số lớn hơn đó không phải là giới hạn riêng của dãy đang quan tâm.
Câu hỏi: vậy số như nào thì không phải là giới hạn riêng của một dãy số?
Trả lời: số mà không có một dãy con nào của nó hội tụ đến số đó.
Câu trả lời này rất khó thực hành vì ta phải xét tất cả các dãy con. Ta không nên nhìn từ dãy con mà nhìn từ số đó như một cái đích đến. Khi đó đích đến này không phải là cái đích đến “hấp dẫn”, nghĩa là dãy số đang quan sát từ lúc nào đó trở đi sẽ cách xa đích này. Cụ thể hơn,
không là giới hạn riêng của dãy nếu
tìm được số dương và số tự nhiên để
khi .
Trong trường hợp dãy và ta chọn .
Trong trường hợp các bạn tìm được một dãy con hội tụ ra thì chính là giới hạn trên của dãy và không cần làm gì thêm.
Ngoài cách trên ta còn thể tính giới hạn trên nhờ
.
Chẳng hạn với bài ta có
với mỗi có
nên ta có .