Thế nào là hàm hằng cho ví dụ

HÀM HẰNG LÀ GÌ

admin-29/06/2021272

Tổng quát hơn, ta xét

là hàm suy rộng trên

và đạo hàm suy rộng của nó là hàm suy rộng

thì

là hàm suy rộng hằng.

Bạn đang xem: Hàm hằng là gì

Một cách tương tự cho hàm và hàm suy rộng xác định trên miền [mở+liên thông] trong không gian

Các bạn thử cụ thể việc tương tự này xem sao?

Quay trở lại trường hợp 1-chiều, hàm lồi trên toàn đường thẳng và bị chặn trên là hàm hằng.

Nhắc lại khái niệm hàm lồi:

được gọi là hàm lồi nếu

với mọi cặp điểm

ta đều có

Nếu hàm khả vi đến cấp 2 ta có thể phát biểu như sau:

Cho

khả vi đến cấp 2 và đạo hàm cấp 2 của nó

Khi đó nếu

bị chặn trên, nghĩa là có số

để

thì

là hàm hằng.

Tuy nhiên có nhiều hàm lồi không có đạo hàm đến cấp 2, chẳng hạn

hay các hàm có đồ thị tuyến tính từng khúc. Tuy nhiên L. Schwartz chứng minh được rằng

là hàm lồi khi và chỉ khi nó có đạo hàm suy rộng cấp hai

là độ đo Radon, nghĩa là hàm suy rộng dương

hay

Ta có thể thấy điều này qua ví dụ

có

, hay

có đồ thị tuyến tính từng khúc có

với

là hoành độ điểm gãy,

là độ lệch giữa hệ số góc của đoạn phải và đoạn trái được nối với nhau tại điểm

.

Một cách tương tự các bạn thử phát biểu cho hàm lõm. Hàm vừa lồi vừa lõm là hàm afin, nghĩa là

Khi đó nếu

bị chặn hoặc trên, hoặc dưới thì nó là hàm hằng.

Chú ý rằng, theo Bổ đề Weyl, đạo hàm cấp hai

ở trên có thể hiểu theo nghĩa suy rộng, nghĩa là ta chỉ cần giả sử

có

Khi đó nếu

thì nó là hàm hằng.

Phần tiếp theo của bài viết quan tâm đến: với các điều kiện gì đặt lên các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm xác định trên toàn

thì hàm là hàm hằng? Trả lời câu hỏi này ta thu được các Định lý kiểu Liouville.

Ta bắt đầu với các điều kiện đặt lên đạo hàm riêng cấp 1 và

Chú ý ta có thể coi

theo cách

Ta quan tâm đến các hàm

. Ta có các đạo hàm riêng

,

,

với

Đến đây ta gặp khái niệm tựa chính quy [quasiregular] sau:

Hàm

được gọi là tựa chính quy nếu

với hằng số

Khi đó ta có kết quả sau:

Nếu hàm tựa chính quy

thỏa mãn:

0," class="latex" />

thì

là hàm hằng.

Đặc biệt, khi hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Để chuyển sang trường hợp

ta cần quan sát điều kiện tựa chính quy. Để ý:

-] Jacobien

,

-] chuẩn của đạo ánh

-] và

nên

là tựa chính quy khi và chỉ khi

hay

hoặc

với hằng số

.

Xem thêm: Mã Hộ Gia Đình Dùng Để Làm Gì ? Xem Mã Hộ Gia Đình Ở Đâu? Cách Tra Cứu Mã Hộ Gia Đình Bhxh Đơn Giản

Giờ ta có thể định nghĩa hàm tựa chính quy trong

như sau:

Hàm

thỏa mãn

với hằng số

được gọi là hàm tựa chính quy.

Nhắc lại

-] ma trận đạo ánh Jacobi

-] chuẩn của ma trận đạo ánh Jacobi

-] định thức Jacobien của ma trận đạo ánh Jacobi

Khi đó ta cũng có

với hằng số

Đặt

lần lượt là số nhỏ nhất trong các

thỏa mãn [1], [2].

Trong trường hợp

ta có

Ta có kết quả sau cho hàm tựa chính quy trong

như sau:

Cho

là hàm tựa chính quy thỏa mãn

với

Khi đó

là hàm hằng.

Đặc biệt, nếu hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Trong trường hợp

, hàm tựa chính quy với hằng số

hay

, theo Bổ đề Weyl, là hàm chỉnh hình. Khi đó từng thành phần của nó đều là hàm điều hòa. Ta gặp lại Định lý Liouville cho hàm chỉnh hình trên

cũng như hàm điều hòa trên mặt phẳng.

Chú ý rằng hàm điều hòa là nghiệm của phương trình Laplace, trường hợp đặc biệt của phương trình elliptic. Phần tiếp ta quan tâm đến nghiệm

của phương trình elliptic, theo nghĩa suy rộng,

trong đó

là các hàm đo được thỏa mãn

trong đó

là các hằng số dương.

Khi đó nếu

thì nó là hàm hằng.

Ta quan sát lại bài viết:

bắt đầu xét hàm

,

mở rộng

,

rồi

và

,

quay trở lại

Tiếp đến ta quan tâm đến nghiệm theo nghĩa suy rộng

của hệ phương trình elliptic

với

và hệ số

thỏa mãn

Khi đó, nếu

có độ tăng không quá đa thức, nghĩa là

thì

là đa thức bậc

nghĩa là từng thành phần của nó là đa thức bậc

Đặc biệt nếu

thì nó là hằng số.

Nhắc lại:

được gọi là nghiệm của hệ [3] nếu

Vừa rồi ta xét các hàm xác định trên toàn không gian

Trở lại đầu bài các hàm chỉ cần xác định trên miền [mở+liên thông]. Cũng cần chú ý việc xác định trên toàn không gian là rất cần qua ví dụ:

hàm

là nghiệm bị chặn, khác hằng, của phương trình Laplace ngoài hình tròn đơn vị.

Xem thêm: Độ Nhám Bề Mặt Là Gì ? Tiêu Chuẩn Và Các Cấp Độ Bóng Bề Mặt Nghĩa Của Từ Độ Nhám Bề Mặt Trong Tiếng Việt

Phần cuối của bài viết ta quay trở lại xét hàm

là miền trong

H. Brezis là người đầu tiên đưa ra các điều kiện thú vị dạng tích phân như sau:

Hàm đo được

thỏa mãn

thì

là hàm hằng.

Tổng quát hơn một chút, với

thỏa mãn

\delta}\rho_\epsilon[|x|]dx=0, \forall \delta> 0;" class="latex" />

Tổng quát hơn, ta xét

là hàm suy rộng trênvà đạo hàm suy rộng của nó là hàm suy rộngthìlà hàm suy rộng hằng.

Bạn đang xem: Hàm hằng là gì

Một cách tương tự cho hàm và hàm suy rộng xác định trên miền [mở+liên thông] trong không gian

Các bạn thử cụ thể việc tương tự này xem sao?

Quay trở lại trường hợp 1-chiều, hàm lồi trên toàn đường thẳng và bị chặn trên là hàm hằng.

Nhắc lại khái niệm hàm lồi:

được gọi là hàm lồi nếu

với mọi cặp điểm

ta đều có

Nếu hàm khả vi đến cấp 2 ta có thể phát biểu như sau:

Cho

khả vi đến cấp 2 và đạo hàm cấp 2 của nó

Khi đó nếu

bị chặn trên, nghĩa là có sốđể

thì

là hàm hằng.

Tuy nhiên có nhiều hàm lồi không có đạo hàm đến cấp 2, chẳng hạn

hay các hàm có đồ thị tuyến tính từng khúc. Tuy nhiên L. Schwartz chứng minh được rằnglà hàm lồi khi và chỉ khi nó có đạo hàm suy rộng cấp hailà độ đo Radon, nghĩa là hàm suy rộng dương

hay

Ta có thể thấy điều này qua ví dụ

có, haycó đồ thị tuyến tính từng khúc có

với

là hoành độ điểm gãy,là độ lệch giữa hệ số góc của đoạn phải và đoạn trái được nối với nhau tại điểm.

Một cách tương tự các bạn thử phát biểu cho hàm lõm. Hàm vừa lồi vừa lõm là hàm afin, nghĩa là

Khi đó nếu

bị chặn hoặc trên, hoặc dưới thì nó là hàm hằng.

Chú ý rằng, theo Bổ đề Weyl, đạo hàm cấp hai

ở trên có thể hiểu theo nghĩa suy rộng, nghĩa là ta chỉ cần giả sửcó

Khi đó nếu

thì nó là hàm hằng.

Phần tiếp theo của bài viết quan tâm đến: với các điều kiện gì đặt lên các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm xác định trên toàn

thì hàm là hàm hằng? Trả lời câu hỏi này ta thu được các Định lý kiểu Liouville.

Ta bắt đầu với các điều kiện đặt lên đạo hàm riêng cấp 1 và

Chú ý ta có thể coitheo cáchTa quan tâm đến các hàm. Ta có các đạo hàm riêng,,

với

Đến đây ta gặp khái niệm tựa chính quy [quasiregular] sau:

Hàm

được gọi là tựa chính quy nếu

với hằng số

Khi đó ta có kết quả sau:

Nếu hàm tựa chính quy

thỏa mãn:0," class="latex" />

thì

là hàm hằng.

Đặc biệt, khi hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Để chuyển sang trường hợp

ta cần quan sát điều kiện tựa chính quy. Để ý:

-] Jacobien

,

-] chuẩn của đạo ánh

-] và

nên

là tựa chính quy khi và chỉ khi

hay

hoặc

với hằng số

.

Xem thêm: Mã Hộ Gia Đình Dùng Để Làm Gì ? Xem Mã Hộ Gia Đình Ở Đâu? Cách Tra Cứu Mã Hộ Gia Đình Bhxh Đơn Giản

Giờ ta có thể định nghĩa hàm tựa chính quy trong

như sau:

Hàm

thỏa mãn

với hằng số

được gọi là hàm tựa chính quy.

Nhắc lại

-] ma trận đạo ánh Jacobi

-] chuẩn của ma trận đạo ánh Jacobi

-] định thức Jacobien của ma trận đạo ánh Jacobi

Khi đó ta cũng có

với hằng số

Đặt

lần lượt là số nhỏ nhất trong cácthỏa mãn [1], [2].

Trong trường hợp

ta có

Ta có kết quả sau cho hàm tựa chính quy trong

như sau:

Cho

là hàm tựa chính quy thỏa mãn

với

Khi đólà hàm hằng.

Đặc biệt, nếu hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Trong trường hợp

, hàm tựa chính quy với hằng sốhay, theo Bổ đề Weyl, là hàm chỉnh hình. Khi đó từng thành phần của nó đều là hàm điều hòa. Ta gặp lại Định lý Liouville cho hàm chỉnh hình trêncũng như hàm điều hòa trên mặt phẳng.

Chú ý rằng hàm điều hòa là nghiệm của phương trình Laplace, trường hợp đặc biệt của phương trình elliptic. Phần tiếp ta quan tâm đến nghiệm

của phương trình elliptic, theo nghĩa suy rộng,

trong đó

là các hàm đo được thỏa mãn

trong đó

là các hằng số dương.

Khi đó nếu

thì nó là hàm hằng.

Ta quan sát lại bài viết:

bắt đầu xét hàm

,

mở rộng

,

rồi

và,

quay trở lại

Tiếp đến ta quan tâm đến nghiệm theo nghĩa suy rộng

của hệ phương trình elliptic

với

và hệ số

thỏa mãn

Khi đó, nếu

có độ tăng không quá đa thức, nghĩa là

thì

là đa thức bậcnghĩa là từng thành phần của nó là đa thức bậc

Đặc biệt nếu

thì nó là hằng số.

Nhắc lại:

được gọi là nghiệm của hệ [3] nếu

Vừa rồi ta xét các hàm xác định trên toàn không gian

Trở lại đầu bài các hàm chỉ cần xác định trên miền [mở+liên thông]. Cũng cần chú ý việc xác định trên toàn không gian là rất cần qua ví dụ:

hàm

là nghiệm bị chặn, khác hằng, của phương trình Laplace ngoài hình tròn đơn vị.

Xem thêm: Độ Nhám Bề Mặt Là Gì ? Tiêu Chuẩn Và Các Cấp Độ Bóng Bề Mặt Nghĩa Của Từ Độ Nhám Bề Mặt Trong Tiếng Việt

Phần cuối của bài viết ta quay trở lại xét hàm

là miền trongH. Brezis là người đầu tiên đưa ra các điều kiện thú vị dạng tích phân như sau:

Hàm đo được

thỏa mãn

thì

là hàm hằng.

Tổng quát hơn một chút, với

thỏa mãn\delta}\rho_\epsilon[|x|]dx=0, \forall \delta> 0;" class="latex" />