- LG a
- LG b
Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và cung BD là một phần tư đường tròn tâm A, bán kính AB chứa trong hình vuông[h.1.4]. Tiếp tuyến tại M của cung BD cắt đoạn thẳng CD tại điểm P và cắt đoạn thẳng BC tại điểm Q. Đặt x = DP và y = BQ
LG a
Chứng minh rằng
\[P{Q^2} = {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2\] và \[PQ = x + y\]
Từ đó tính y theo x
Lời giải chi tiết:
Tam giác PCQ vuông tại C có \[PC = 1 - x,QC = 1 - y\] và vuông tại C nên theo Pitago ta có:
\[\begin{array}{l}P{Q^2} = P{C^2} + C{Q^2}\\ = {\left[ {1 - x} \right]^2} + {\left[ {1 - y} \right]^2}\\ = 1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2}\\ = {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2\end{array}\]
Lại có,
BC, QP là tiếp tuyến với đường tròn \[\left[ {A;AB} \right]\] cắt nhau tại Q nên \[QM = QB = y\]
DC, QP là tiếp tuyến với đường tròn \[\left[ {A;AB} \right]\] cắt nhau tại P nên \[PM = PD = y\]
Vậy \[PQ = PM + MQ = x + y\].
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow P{Q^2} = {\left[ {x + y} \right]^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\\
\Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = {x^2} + 2xy + {y^2}\\
\Leftrightarrow 2xy + 2x + 2y - 2 = 0\\
\Leftrightarrow xy + x + y - 1 = 0\\
\Leftrightarrow y\left[ {x + 1} \right] = 1 - x\\
\Leftrightarrow y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}
\end{array}\]
Vậy \[y = {{1 - x} \over {x + 1}},0 < x < 1\]
LG b
Tính PQ theo x và tìm x để PQ có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
PQ = x + y = x + \frac{{1 - x}}{{x + 1}}\\
= \frac{{{x^2} + x + 1 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}
\end{array}\]
Do đó, \[PQ = {{{x^2} + 1} \over {x + 1}},0 < x < 1\].
Xét hàm
\[\begin{array}{l}
f\left[ x \right] = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\\
f'\left[ x \right] = \frac{{2x\left[ {x + 1} \right] - \left[ {{x^2} + 1} \right]}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\
= \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\
f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt 2 + 1 \notin \left[ {0;1} \right]\\
x = \sqrt 2 - 1 \in \left[ {0;1} \right]
\end{array} \right.
\end{array}\]
Do đó, đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất khi \[x = \sqrt 2 - 1\]