- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Trong các dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?
LG a
\[{u_n} = 2n - {n^2}\]
Phương pháp giải:
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \[M\] sao cho
\[{u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\]
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \[m\] sao cho
\[{u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\]
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \[M,m\] sao cho
\[m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\]
Lời giải chi tiết:
Bị chặn trên vì:
\[{\left[ {n - 1} \right]^2} = {n^2} - 2n + 1 \ge 0\] \[ \Leftrightarrow 1 \ge 2n - {n^2}\] hay \[{u_n} \le 1,\forall n \in N*.\]
LG b
\[{u_n} = n + \dfrac{1}{n}\]
Phương pháp giải:
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \[M\] sao cho
\[{u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\]
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \[m\] sao cho
\[{u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\]
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \[M,m\] sao cho
\[m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\]
Lời giải chi tiết:
Bị chặn dưới vì \[n + \dfrac{1}{n} \ge 2\sqrt {n.\dfrac{1}{n}} = 2\] hay \[{u_n} \ge 2,\forall n \in N*.\]
LG c
\[{u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 7} \];
Phương pháp giải:
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \[M\] sao cho
\[{u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\]
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \[m\] sao cho
\[{u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\]
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \[M,m\] sao cho
\[m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\]
Lời giải chi tiết:
Bị chặn dưới vì \[{u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 4 + 3} \] \[ = \sqrt {{{\left[ {n - 2} \right]}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \] hay \[{u_n} \ge \sqrt 3 ,\forall n \in N*.\]
LG d
\[{u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}}\]
Phương pháp giải:
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \[M\] sao cho
\[{u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\]
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \[m\] sao cho
\[{u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\]
Dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \[M,m\] sao cho
\[m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\]
Lời giải chi tiết:
Bị chặn vì \[{n^2} - 6n + 11 = {\left[ {n - 3} \right]^2} + 2 > 0\] \[ \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} > 0\]
Lại có \[{n^2} - 6n + 11 = {\left[ {n - 3} \right]^2} + 2 \ge 2\] \[ \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} \le \dfrac{1}{2}\]
Do đó \[0 < {u_n} \le \dfrac{1}{2},\forall n \in N*.\]