- LG a
- LG b
Một hình phẳng được giới hạn bởi \[\displaystyle y = {e^{ - x}},y = 0,x = 0,x = 1\]. Ta chia đoạn \[\displaystyle \left[ {0;1} \right]\] thành \[\displaystyle n\] phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang [bởi \[\displaystyle n\] hình chữ nhật con như dưới].
LG a
Tính diện tích \[\displaystyle {S_n}\] của hình bậc thang [tổng diện tích của \[\displaystyle n\] hình chữ nhật con].
Phương pháp giải:
Tính diện tích từng hình chữ nhật rồi tính tổng.
Giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle {S_1} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{1}{n}}}\]; \[\displaystyle {S_2} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{2}{n}}}\]; ;\[\displaystyle {S_n} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{n}{n}}}\]
\[\displaystyle \Rightarrow {S_n} = \frac{1}{n}\left[ {{e^{ - \frac{1}{n}}} + {e^{ - \frac{2}{n}}} + ... + {e^{ - \frac{n}{n}}}} \right]\]\[\displaystyle = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{1}{n}}}\frac{{1 - {{\left[ {{e^{ - \frac{1}{n}}}} \right]}^n}}}{{1 - {e^{ - \frac{1}{n}}}}} = \frac{1}{n}.\frac{{1 - {e^{ - 1}}}}{{{e^{\frac{1}{n}}} - 1}}\]
LG b
Tìm \[\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\] và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.
Phương pháp giải:
Tính giới hạn \[\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\] và tính diện tích bằng công thức tích phân \[\displaystyle S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} \] rồi so sánh.
Giải chi tiết:
\[\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}}\]
Mặt khác \[\displaystyle S = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx} = - \left. {{e^{ - x}}} \right|_0^1 = 1 - {e^{ - 1}}\].
Do đó \[\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}} = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx} = S\]