Cách giải và biện luận phương trình bậc 1

Phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những phương trình cơ bản nhất của Đại số sơ cấp.

Bằng chứng là ngay từ những năm Trung học cơ sở thì chúng ta đã được thầy [cô] giáo của mình giảng dạy về phương trình này rồi.

Và hôm này chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại cách giải, cũng như cách biện luận phương trình bậc nhất một ẩn và tìm hiểu thêm cách giải bằng máy tính CASIO nhé.

#1. Phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng $ax+b=0$ [với a, b là những số thực cho trước, a khác 0]

Ví dụ: $2x+3=0, -5x+7=0, -11x-13=0$ là những phương trình bậc nhất một ẩn.

#2. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp #1. Dựa vào kiến thức Toán học

Ví dụ 1. Giải phương trình $2x+3=0$

Lời giải:

$a=2, b=3$

$2x+3=0 \Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\frac{-3}{2}$

Ví dụ 2. Giải phương trình $7-5x=0$

Lời giải:

$a=-5, b=7$

$7-5x=0 \Leftrightarrow x=\frac{-7}{-5} \Leftrightarrow x=\frac{7}{5}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\frac{7}{5}$

Ví dụ 3. Giải phương trình $x+\frac{11}{13}=0$

Lời giải:

$a=1, b=\frac{11}{13}$

$x+\frac{11}{13}=0 \Leftrightarrow x=\frac{-\frac{11}{13}}{1} \Leftrightarrow x=-\frac{11}{13}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $-\frac{11}{13}$

Ví dụ 4. Giải phương trình $17+\frac{x}{23}=0$

Lời giải:

$a=\frac{1}{23}, b=17$

$17+\frac{x}{23}=0 \Leftrightarrow x=\frac{-17}{\frac{1}{23}} \Leftrightarrow x=-391$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $-391$

Bước 1: Chọn phương thức tính toán Calculate

NOTE: Chúng ta cần đảm bảo rằng phương thức thức tính toán Calculate đang được chọn vì tính năng Solve [tính năng dò tìm nghiệm của phương trình] chỉ hoạt động được trong phương thức tính toán này

Bước 2: Nhập phương trình …

Bước 2.1: Ẩn x được nhập vào bằng cách nhấn phím x, hoặc nhấn phím ALPHA rồi nhấn phím [

Bước 2.2: Dấu = của phương trình được nhập vào bằng cách nhấn phím ALPHA => rồi nhấn phím CALC

Bước 3: Tiến hành dò tìm nghiệm, nhấn phím SHIFT => rồi nhấn phím CALC => nhấn phím =

Ví dụ 5. Giải phương trình $2x+3=0$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $-1.5$ hay $-\frac{3}{2}$

Chú ý:
Ngay sau khi nhấn phím SHIFT rồi nhấn phím CALC [phím SOLVE] máy tính sẽ yêu cầu chúng ta nhập giá trị x ban đầu.
Vì phương trình đang dò tìm nghiệm là phương trình bậc nhất nên giá trị x ban đầu này không quan trọng, bạn cứ nhấn tiếp phím =

Ví dụ 6. Giải phương trình $x+\frac{11}{13}=0$

Chú ý: Ở phương trình này nghiệm hiển thị dưới dạng thập phân, để hiển thị dưới dạng phân số bạn hãy nhấn phím AC => nhấn phím Ans => nhấn phím =

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $-\frac{11}{13}$

#3. Cách biện luận phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình $[m-1]x+[m-2]=0$

Lời giải:

Trường hợp 1: $m-1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$

Lúc bấy giờ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là $x=\frac{-[m-2]}{m-1}=\frac{-m+2}{m-1}$

Trường hợp 2: $m-1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$, phương trình đã cho trở thành $[1-1]x+[1-2]=0 \Leftrightarrow 0x-1=0$

Phương trình đã cho vô nghiệm:

#4. Lời kết

Việc giải phương trình bậc nhất một ẩn không có gì khó khăn cả, thậm chí có thể giải được dễ dàng và chính xác nhờ vào sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi CASIO.

Tương tự như vậy, việc biện luận cũng thế, nhiều bạn cho là khó nhưng thực sự nó cũng đơn giản như việc giải mà thôi. Chỉ có một lưu ý là khi hệ số đứng trước a là tham số thì cần xét hai trường hợp là bằng không và khác không. Vậy thôi !

Ngoài ra, nếu bạn là sinh viên sư phạm, hoặc là giáo viên thì bạn có thể sử dụng thêm công cụ Slider của phần mềm GeoGebra để tạo mô hình minh họa trực quan tập nghiệm của phương trình để học sinh tiện theo dõi hơn, cũng như sẽ dễ hiểu hơn.

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !

I. Tóm tắt lý thuyết

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0

a. Giải phương trình khi m = 0

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x - 1 = 0 ⇔ x = 1/6

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6

b. Ta có [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0 ⇔ [m-1][m-6]x + [m-1][m+1] = 0

Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.

Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 [Vô lí]. Khi đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [2m - 4]x = m - 2 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

B. Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m

I. Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2 + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

- Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b2 - 4ac. Khi đó:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm [kép]: x = -b/2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Lưu ý:

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm 

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất 

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Phương trình [m–1]x2 + 3x – 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:

Hướng dẫn:

Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3

Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4[m-1] = 4m + 5

Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0

Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm

Bài 2: Phương trình [x2 - 3x + m][x - 1] = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:

Hướng dẫn:

Phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình [2] có hai nghiệm phân biệt khác 1

Tham khảo các bài học khác