“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”MỤC LỤCNỘI DUNGPhần 1. Mở đầuI. Đặt vấn đề1. Thực trạng vấn đề nghiên cứu2. Ý nghĩa của giải pháp mới3. Phạm vi nghiên cứu của đề tàiII. Phương pháp tiến hành1. Cơ sở lý luận2. Cơ sở thực tiễn3. Biện pháp tiến hành4. Thời gian tạo ra giải phápPhần 2. Nội dungI. Mục tiêuII. Mô tả giải pháp của đề tài1. Thuyết minh đề tài:§1Đường lối chung§2Cơ sở lý thuyết§3Phương pháp tiến hànhA] Phương trình bậc ba một ẩn đặc biệt.B] Phương trình bậc bốn một ẩn đặc biệt.Dạng 1: Giải phương trình: ax4 + bx2 + cx + d = 0[a ≠ 0] bằngcách nhẩm nghiệm:Dạng 2:Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0[a ≠ 0]Dạng 3: Phương trình đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0[a ≠ 0]Dạng 4: Phương trình hồi quy : ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = 0 [a≠ 0]Dạng 5: Phương trình [x+a][x+b][x+c][x+d]=mDạng 6: Phương trình [x+a][x+b][x+c][x+d]= mx2Dạng 7: Phương trình [x+a]4 + [x+b]4 = m [1]Dạng 8: Phương trình [x+a]4 + [x+b]4 = [2x+ a+b]4Dạng 9: Phương trình ax2 + bxy + cy2=0 [1][ dạng đẳng cấp bậchai]Dạng 10: Phương trình dạng [ax +b][ax+b+1]2[ax+b+2] = mDạng 11: Phương trình dạng : An = BnDạng 12: Một số dạng khác.C. Ứng dụng giải phương trình bậc 3, 4 để giải một số bàitoán về phương trình quy về bậc hai:Dạng 1. Điều kiện về nghiệm của một số phương trình bậc baquy về bậc hai : ax3 + bx2 + cx + d =0[a ≠ 0]Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTRANG0303040404050506060708081108080911111212Trang141519212326293032343539391“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”Dạng 2. Điều kiện về nghiệm của một số phương trình bậc bốnquy về bậc hai2. Phạm vi áp dụng3. Hiệu quả4. Kết quả thực hiệnPhần 3. Kết luận1. Nhận định chung2. Những điều kiện áp dụng3. Triển vọng vận dụng và phát triển4. Những đề xuất, kiến nghị414747485050505050qPHẦN 1. MỞ ĐẦUI. ĐẶT VẤN ĐỀ1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu. “Toán học không phải là một quyển sách chỉ gói gọn giữa các tờ bìa mà ngườita chỉ cần kiên nhẫn đọc hết nội dung, toán học cũng không phải là một vùng mỏquý mà người ta chỉ cần có thời gian để khai thác; toán học cũng không phải làmột cánh đồng sẽ bị bạc màu vì những vụ thu hoạch; toán học cũng không phảilà lục địa hay đại dương mà ta có thể vẽ chúng lại được. Toán học không cónhững giới hạn như không gian mà trong đó nó cảm thấy quá chật chội choGiáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang2“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”những khát vọng của nó; khả năng của toán học là vô hạn như bầu trời đầy cácvì sao; ta không thể giới hạn toán học trong những quy tắc hay định nghĩa vì nócũng giống như cuộc sống luôn luôn tiến hóa”.Toán học là môn khoa học suy diễn, lôgic loại tri thức có vai trò quan trọngtrong nhà trường cũng như ngoài cuộc sống. Toán học trong nhà trường THCScung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức phổ thông, cơ bản và thiết thực,hình thành và phát triển năng lực nhận thức, năng lực hành động, năng lực xãhội và năng lực cá nhân cho học sinh. Từ đó học sinh có khả năng vận dụng, liênhệ, ứng dụng tốt các kiến thức vào giải quyết các nhiệm vụ cụ thể, thực tế, cóthói quen làm việc khoa học, trung thực, cẩn thận, tỉ mỉ, tự giác, có ý thức tráchnhiệm với bản thân, gia đình, xã hội, có thể hòa hợp với môi trường thiên nhiên,chuẩn bị hành trang đi vào cuộc sống lao động.Dạng toán giải phương trình bậc cao củng cố được nhiều kiến thức cơ bản.Rèn được nhiều kĩ năng cơ bản. Đặc biệt là hình thành thói quen và khả năng tưduy lôgic, óc sáng tạo, cách phân tích tổng hợp, khái quát hóa.Trong thực tế giảng dạy, việc giải bài tập toán học nói chung, bài tập về giảiphương trình bậc cao nói riêng, đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn, một sốhọc sinh làm bài tập một cách máy móc, lúng túng trong phương pháp và cáchtrình bày chưa được khoa học, hợp lý và đôi khi còn không biết bắt đầu từ đâuvà giải như thế nào ?Là một giáo viên dạy Toán , trăn trở với những lỗi học sinh dễ mắc, thườngmắc khi giải toán, đặc biệt với dạng toán giải hệ phương trình bậc cao.Trong giảng dạy tôi luôn cố gắng tìm tòi, phát hiện và ghi chép lại những lỗihọc sinh dễ mắc, thường mắc để có biện pháp khắc phục, điều chỉnh phươngpháp giảng dạy phù hợp kiến thức, đối tượng học sinh và kiểu bài lên lớp. Từngbước hướng dẫn học sinh nắm vững cách phân tích tìm tòi lời giải phù hợp vớiđặc trưng , với yêu cầu từng bài. Chọn cách giải ít dẫn đến sai sót về kiến thứcvà kĩ năng. Đảm bảo bài giải đúng, khoa học và sáng tạo.Qua nghiên cứu và phân dạng bài tập tôi nhận thấy dạng bài tập này là mộtdạng toán khó thường có trong các kì thi : vào 10, học sinh giỏi…Xuất phát từ những lí do trên tôi đã nghiên cứu và thực hiện đề tài “ Ph¬ng pháp giải phương trình bậc cao ®Æc biÖt cho học sinh lớp8, 9” đểgóp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy bộ môn Toán học.2. Ý nghĩa của giải pháp mớiGiáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang3“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”Trên cơ sở nghiên cứu về đề tài, tôi đã hệ thống lại các dạng bài về giảiphương trình bậc cao, trên cơ sở hệ thống các kiến thức liên quan, xây dựngphương pháp giải chung cho từng loại và lập kế hoạch cho học sinh từng bướctiếp cận với từng dạng bài sao cho phù hợp với thời lượng chương trình và nộidung kiến thức trên lớp. Sau mỗi nội dung thực hiện được, tôi có phương phápkiểm tra đánh giá kịp thời, nhằm đánh giá sự tiến bộ của học sinh, cũng như thulại tín hiệu ngược của quá trình giảng dạy để từ đó có các biện pháp cải tiếnphương pháp dạy học phù hợp cho từng đối tượng nhằm nâng cao dần chấtlượng giảng dạy và gây hứng thú, say mê cho học sinh.Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy học sinh đã biết cách làmcác dạng bài toán giải phương trình bậc cao một cách nhanh và gọn. Học sinhkhông còn lúng túng và thấy ngại khi gặp dạng bài tập này.Kết quả nhận được như sau:Học sinh của tôi không còn lúng túng về phương pháp giải cho từng-dạng bài trên.Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn, lời giải chặt chẽ.3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài- Đề tài được tiến hành nghiên cứu tại trường THCS Thị trấn Khoái Châu- Khoái Châu - Hưng Yên- Đối tượng: học sinh lớp 9A là lớp thực nghiệm và lớp 9B là lớp đốichứng.- Lĩnh vực khoa học nghiên cứu là lĩnh vực chuyên môn.II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH1. Cơ sở lý luậnQuy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duytrừu tượng. Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không, cóbền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạocủa chủ thể.Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làmngười lớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức. ỞGiáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang4“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”lứa tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tựđiều chỉnh hoạt động học tập và sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khácnhau. Các em có nguyện vọng muốn các hình thức học tập mang tính chất“Người lớn” tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiệnnguyện vọng của mình, chưa nắm được các phương thức thực hiện cáchình thức học tập mới .Vì vậy cần có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệthuật của các thầy cô.Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy. Trong môn toán sựthống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thểthực hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạyhọc toán trong và bằng hoạt động. Dạy học theo phương pháp mới phảilàm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiềuhơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học.Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháptư duy quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy bộ óccủa học sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, trừu tượnghoá, khái quát hoá .. . Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm.Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi, tự mình phát hiện và phátbiểu vấn đề dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bàitoán, hướng chứng minh một định lý . . .Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy họcmôn toán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học,thông qua nhiều năm học, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy họctrong nội khoá cũng như ngoại khoá.2. Cơ sở thực tiễnTrong quá trình giảng dạy môn Toán học THCS tôi nhận thấy lượng kiếnthức mà học sinh phải chiếm lĩnh trong một giờ lên lớp tương đối nhiều, số tiếtdành cho luyện tập rất ít, mà đặc điểm của học sinh THCS là khả năng tập trung,Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang5“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”tổng hợp, khái quát hóa chưa cao. Hơn nữa trong một lớp học có nhiều đốitượng học sinh có trình độ nhận thức khác nhau, điều đó gây không ít khó khăncho giáo viên khi vừa phải chú ý bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, lại vừa phải quantâm học sinh yếu kém. Xuất phát từ thực tiễn đó nên tôi thiết nghĩ nếu khôngphân dạng các bài tập toán học nói chung và bài tập về giải phương trình bậccao nói riêng, mà giáo viên hướng dẫn giải bài tập một cách dàn trải sẽ khó thuđược kết quả cao trong thời lượng tiết học có hạn, khối lượng kiến thức rất lớnmà phạm vi ứng dụng lại đa dạng, với nhiều mức độ nhận thức khác nhau củahọc sinh từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng ở cấp độ thấp đến vận dụng ở cấp độcao. Trên cơ sở đó, tôi mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện đề tài để vừa đảm bảokiến thức cơ bản vừa có thể kích thích khả năng tự lực, sáng tạo, tích cực, tựgiác của học sinh để nâng cao chất lượng đại trà cũng như chất lượng mũi nhọncủa bộ môn.3. Các biện pháp tiến hànhQua quá trình nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo, tạp chígiáo dục… trong xu thế đẩy mạnh công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện tronggiáo dục, xuất phát từ mâu thuẫn giữa thực tiễn dạy học và đảm bảo đạt chuẩnmục tiêu đầu ra, tôi nhận thấy phải đổi mới toàn diện từ mục tiêu, nội dung,phương pháp dạy học cho từng nội dung, từng bài, từng chương nhằm tích cựchóa hoạt động của người học để người học tự giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức,hình thành và phát triển năng lực nhận thức và năng lực hành vi.Trong phạm vi của đề tài, tôi đã thực hiện một số biện pháp đạt hiệu quảcao như: phân dạng các bài tập một cách khái quát, xây dựng phương pháp giảivà có các bài tập minh họa, bài tập tương tự cho từng dạng bài.Đổi mới phươngpháp dạy học tích cực và đổi mới kiểm tra đánh giá, vừa thực hiện tự đánh giávà đánh giá lẫn nhau – nghĩa là sau khi các nhóm học sinh hoàn thành nhiệm vụgiáo viên có thể đưa ra đáp án chuẩn, phương pháp trình bày khoa học nhất từđó yêu cầu các em tự đánh giá hoặc cho các nhóm đánh giá chéo nhau để đảmbảo khách quan, kết hợp với đánh giá của giáo viên. Giáo viên đánh giá cao cáccách giải hay, sáng tạo của học sinh nhằm kịp thời động viên các em tích cựcphát huy vận dụng sáng tạo trong học tập. Việc kết hợp đổi mới mục tiêu, nộidung và phương pháp dạy học như vậy không những khiến cho học sinh pháttriển về mặt trí tuệ, thể lực, nhân cách, còn giúp cho các giờ học trở nên nhẹnhàng, hiệu quả, đồng thời rèn cho các em nhiều kĩ năng như tự nghiên cứu, tưGiáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang6“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”duy tổng hợp, khái quát hóa, khả năng liên hệ, vận dụng linh hoạt, kĩ năng raquyết định, nhận xét, đánh giá và kĩ năng giao tiếp…4. Thời gian tạo ra giải phápTôi nghiên cứu và thực hiện đề tài này trong năm học 2015-2016. hoàn thànhvào tháng 05 năm 2016.PHẦN THỨ 2. NỘI DUNGA. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI* Kiến thức:- Học sinh hệ thống được các dạng bài tập về giải phương trình bậc cao đặcbiệt, từ đó có phương pháp giải phù hợp cho từng dạng.- Học sinh hiểu và vận dụng các phương pháp giải phương trình bậc cao đểgiải một số dạng bài tập khác.* Kĩ năng:- Củng cố kĩ năng giải phương trình, và một số dạng toán quy về phươngtrình bậc 2.* Thái độ và phẩm chất:- Học sinh có hứng thú khi học tập bộ môn từ đó tích cực, tự tin, tự chủ, chủđộng sáng tạo trong việc chiếm lĩnh kiến thức.Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang7“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”* Năng lực: Tự học, sáng tạo, tính toán, giao tiếp.B. MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI1. Thuyết minh đề tài§1ĐƯỜNG LỐI CHUNG1]Trước tiên học sinh nắm được kiến thức cơ bản và kiến thức mở rộngđể vận dụng vào làm các dạng toán về giải phương trình bậc cao.2] Phân chia các dạng bài tập.A] Phương trình bậc ba một ẩn đặc biệt.B] Phương trình bậc bốn một ẩn đặc biệt.Dạng 1: Giải phương trình: ax4 + bx2 + cx + d = 0[a ≠ 0] bằng cách nhẩmnghiệm:Dạng 2:Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0[a ≠ 0]Dạng 3: Phương trình đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 [a ≠ 0]Dạng 4: Phương trình hồi quy : ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = 0 [a ≠ 0]Dạng 5: Phương trình [x+a][x+b][x+c][x+d]=mDạng 6: Phương trình [x+a][x+b][x+c][x+d]= mx2Dạng 7: Phương trình [x+a]4 + [x+b]4 = m [1]Dạng 8: Phương trình [x+a]4 + [x+b]4 = [2x+ a+b]4Dạng 9: Phương trình ax2 + bxy + cy2=0 [1][ dạng đẳng cấp bậc hai]Dạng 10: Phương trình dạng [ax +b][ax+b+1]2[ax+b+2] = mDạng 11: Phương trình dạng : An = BnDạng 12: Một số dạng khác.C. Ứng dụng giải phương trình bậc 3, 4 để giải một số bài toán về phươngtrình quy về bậc hai:Dạng 1. Điều kiện về nghiệm của một số phương trình bậc ba quy về bậc hai :ax3 + bx2 + cx + d =0[a ≠ 0]Dạng 2. Điều kiện về nghiệm của một số phương trình bậc bốn quy về bậc hai§2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT- Phương trình tích:.F[x]. G[x] ... H[x] = 0 F[x] = 0G[x] = 0⇔............. H[x] = 0- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ :[A +B]2 = A2 + 2AB +B2Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang8“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”[A - B]2 = A2 – 2AB +B2A2 – B2 = [A – B][A + B][A + B]3 = A3 + 3A2B+3AB2 + B3[A - B]3 = A3 - 3A2B+3AB2 - B3A3 + B3 = [A+B][A2 - AB +B2]A3 – B3 = [A - B][A2 +AB +B2]- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :Đối với phương trình ax2 + bx +c = 0∆ = b 2 − acNếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:x1 =−b+ ∆−b− ∆và x 2 =2a2aNếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x 2 = −b2aNếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.- Định lí Vi- ét : Nếu x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c =0 [abx+x=−12a≠ 0] thì c x1 x 2 =a- Sơ đồ Horner:nn −1Chia đa thức P[ x ] = a0 x + a1 x + ...a n−1 x + a n cho x= c ta có:P[ x ] = [ x − c][b0 x n −1 + b1 x n −2 + ... + bn −1 x + bn −1 ] + bnSơ đồ xác định b1a0a1cb0b1Với b0 = a0 và bi = cbi-1+a1[i =1,2,...,n]- Tam giác Pascas:Giáo viên: Hữu Thị Hoaa2b2Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu......anbnTrang9“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”§3 PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNHA. Phương trình bậc ba một ẩn đặc biệt: ax3 + bx2+ cx+d = 0[a ≠ 0] [1].a] Phương pháp giải:- Nếu phương trình có : b + d = a + c thì phương trình luôn có một nghiệmx = -1.- Nếu phương trình có : a + b + c + d= 0 thì phương trình luôn có mộtnghiệm x = 1.- Nếu x = m ≠ ±1 là nghiệm thì dùng máy tính cầm tay để nhẩm nghiệm .Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang10“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”- Phân tích vế trái thành nhân tử hoặc dùng sơ đồ Honer để đưa phươngtrình[1] về dạng phương trình tích.b] Ví dụ:a. Giải phương trình: x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 [1]Hướng dẫn : Nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng không nêncó một nghiệm bằng 1. Do đó dùng sơ đồ Honer để biến đổi vế trái về dạng tích.Giải :Ta có a + b + c + d = 1 - 6 +11 - 6 = 0 nên phương trình có một nghiệmx=1.Thực hiện phép chia đa thức vế trái cho x-1 .Sơ đồ Honer:111-6-5116-60Khi đó [1] ⇔ [x-1][x2-5x+6]=0⇔ [x-1][x2 - 3x-2x+6]=0⇔ [x-1][x - 3][x-2]=0 x −1 = 0 x =1⇔ x − 3 = 0 ⇔ x = 2 x − 2 = 0 x = 3Vậy S = { 1;3;2}b. Giải phương trình: x3 - 5x2 + 7x - 2 = 0 [1]Hướng dẫn : Nhận thấy, phương trình không có tổng các hệ số bằngkhông hoặc tổng các hệ số chẵn bằng tổng các hệ số lẻ . Do đó phương trìnhkhông thể có nghiệm bằng 1 hoặc -1. Nên dùng máy tính để nhẩm nghiệm và [1]có nghiệm là 2. Nên x- 2 là một nhân tử của vế trái.Giảix3 - 5x2 + 7x - 2 = 0 [1]⇔ x3 - 2x2 - 3x2 + 6x + x - 2 = 0⇔ x2[x-2] -3x[x-2] + [x-2] = 0⇔ [x-2][x2 - 3x + 1] = 0Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang11“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”39 5⇔ [ x − 2 ] x 2 − 2.x. + − ÷ = 024 423 5⇔ [ x − 2 ] x − ÷ − = 02 435 35⇔ [ x − 2] x − −÷ x − +÷= 02 2 2 2 x−2=0 x=2353+ 5⇔ x− −= 0 ⇔ x =2 22x − 3 + 5 = 0x = 3− 52 22 3 ± 5 2 Vậy S = 2;Lời bình: Khi giải phương trình ở câu a thì học sinh thấy rất dễ dàng vì có thểnhẩm nghiệm được luôn nhưng đến ví dụ ở câu b thì phương trình không cónghiệm là 1 hoặc -1. Do đó học sinh lúng túng nên giáo viên cần hướng dẫn họcsinh dùng máy tính nhẩm nghiệm để tìm ra một nghiệm rồi phân tích vế tráithành nhân tử, biến đổi đưa về phương trình tích.Bài tập tương tực] -6x3 + x2 + 5x - 2 = 0d] x3 + 3x2 - 10x - 24 = 0B. Phương trình bậc bốn một ẩn đặc biệt.Dạng 1: Giải phương trình: ax4 + bx3+ cx2 + dx+ e = 0[a ≠ 0] [1] bằng cáchnhẩm nghiệm:a]Phương pháp giải:- Nếu phương trình có : a+c+e = b+d thì phương trình luôn có một nghiệmx = -1.- Nếu phương trình có : a+ b+c+d+e=0 thì phương trình luôn có một nghiệmx = 1.- Nếu x= m ≠ ±1 là nghiệm của [1] thì thay x=m vào [1], vế trái có giá trịbằng 0 [ thông thường áp dụng cho những nghiệm có giá trị nhỏ].- Phân tích vế trái thành nhân tử hoặc dùng sơ đồ Honer đê đưa phươngtrình[1]về dạng tích.Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang12“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”b] Ví dụ:a. Giải phương trình: x4 - 8x3 + 11x2 + 8x - 12 = 0 [1]Hướng dẫn : Nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng khôngnên có một nghiệm bằng 1. Do đó dùng sơ đồ Honer để biến đổi vế trái về dạngtích.GiảiNhận thấy :1 - 8 + 11 + 8- 12 = 0 nên phương trình luôn có nghiệm x= 1. Do đó :[1] ⇔ x4 - x3- 7x3 + 7x2+ 4x2 - 4x + 12x - 12 = 0⇔ x3[x - 1]- 7x2[x-1] + 4x[x - 1] + 12[x - 1] = 0⇔ [x - 1][x3 -7x2 + 4x+ 12] = 0 [2]Đến đây có thể dùng máy tính nhẩm nghiệm bậc ba hoặc dùngphương pháp nhẩm nghiệm như bước một : 1 + 4 = -7 + 12 = 5. Do đó phươngtrình có nghiệm là x = -1 .[2] ⇔ [x- 1][x3 + x2 - 8x2 - 8x + 12x + 12] = 0⇔ [x-1][x+1][x2 - 8x + 12] = 0⇔ [x-1][x+1][x2 - 6x - 2x+ 12] = 0⇔ [x-1][x+1][x - 6][x - 2] = 0⇔ x-1= 0; x+1=0; x - 6=0; x - 2 = 0⇔ x=1; x= -1; x =6; x = 2Vậy S = { ±1;6;2}b. Giải phương trình: -3x4 + 20x3 - 35x2 - 10x + 48 = 0 [1]Hướng dẫn : Nhận thấy phương trình có tổng các hệ số chẵn bằngtổng các hệ số lẻ nên có một nghiệm bằng - 1. Do đó biến đổi vế trái thành nhântử bằng cách tách hạng tử.GiảiNhận thấy -3 -35 + 48 = 20 - 10 = 10 nên phương trình luôn có nghiệm x = - 1.Do đó :[1] ⇔ - 3x4 - 3x3 + 23x3 + 23x2 - 58x2 - 58x + 48x + 48 = 0⇔ - 3x3[x+1] + 23x2[x + 1] - 58x[x + 1] + 48[x+1] = 0⇔ [x+1][- 3x3 + 23x2 - 58x + 48] = 0⇔ [x+1][- 3x3 + 6x2+ 17x2 - 34x - 24x + 48] = 0⇔ [x+1][x - 2][-3x3 + 17x2 - 24] = 0⇔ [x+1][x - 2][-3x3 + 9x2 + 8x2 - 24] = 0Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang13“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”⇔ [x+1][x - 2][x - 3][-3x + 8] = 0⇔ x = -1; x= 2; x = 3; x =838Vậy S = −1;2;3; 3Lời bình: ở ví dụ a, b học sinh làm tương tự dạng phương trình bậc 3 đặc biệt .Cần chú ý cho học sinh khi phân tích thành nhân tử ở vế trái cẩn thận khi tách ,nhóm các hạng tử.Bài tập tương tực] -2x4 - 7x3 - x2 + 7x + 3 = 0d] x4 - 4x3 - 6x2 + 11x - 2 = 0Dạng 2:Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0[a ≠ 0] [1]a] Nhận biết: phương trình bậc bốn, khuyết bậc ba và bậc một.b] Phương pháp giải:+ Đặt t = x2 [ t ≥ 0 ] [2] khi đó [1]: at2 + bt + c = 0 [3]+ Giải [3] bằng cách nhẩm nghiệm hoặc công thức nghiệm tìm t.+ Thay t vào [2] tìm x.c] Bài tập:a. Giải phương trình: x4 - 13x2 + 36 = 0 [1]Hướng dẫn : Nếu ta đặt t =x2 [ t ≥ 0 ] thì [1] quy về phương trình bậchai. Sau đó, có thể giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm hoặc đưavề phương trình tích.GiảiĐặt t = x2 [ t ≥ 0 ] [2] khi đó [1]: t2 - 13t + 36 = 0⇔ t2 - 4t - 9t + 36 = 0⇔ [t - 4][t - 9] = 0⇔ t - 4 = 0 hoặc t - 9 = 0⇔ t = 4 [TM] hoặc t = 9[TM]* t = 4 thay vào [2] : x2 = 4 ⇔ x = ±2* t = 9 thay vào [2] : x2 = 9 ⇔ x = ±3Vậy S = { ±2; ±3}Lời bình: Với ví dụ này học sinh rất dễ quên không đặt điều kiện cho ẩn phụ,dẫn đến khi tìm được nghiệm của ẩn t không so sánh với điều kiện để loại nếu làGiáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang14“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”nghiệm âm. Sai lầm thứ 2 là khi thay giá trị của t dương để tìm x thì chỉ có mộtgiá trị của x. Giáo viên khi dạy dạng này cần chú ý cho học sinh.b. Giải phương trình: 2x4 + 5x2 + 2 = 0 [1]Đặt t = x2 [ t ≥ 0 ] [2] khi đó [1]: 2t2 + 5t + 2 = 0⇔ 2t2 +4t + t + 2 = 0⇔ [t +2 ][2t +1] = 0⇔ t + 2 = 0 hoặc 2t + 1 = 0⇔ t = -2 [KTM] hoặc t = -1[KTM]2Vậy S = ΦBài tập tương tực. 9x4 + 6x2 + 1 = 0d. 2x4 - 7x2 - 4 = 0Dạng 3: Phương trình đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 [a ≠ 0] [1]a] Nhận biết : ở vế trái, các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và sốhạng cuối thì bằng nhau..b] Phương pháp giải:- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của [1] chia cả hai vế củaphương trình cho x2 và nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuốithành từng nhóm được phương trình [2]:ax 2 + bx + c +b a+ =0x x21 1⇔ a x 2 + 2 ÷+ b x + ÷+ c = 0 [2]x x1x- Đặt ẩn phụ x + = t [3] ⇒ x 2 +1= t 2 − 2 rồi thế vào phương trình [2]2xa[t2 - 2] + bt + c = 0⇔ at2 + bt – 2a + c = 0 giải phương trình trung gian này tìm được t.- Thế giá trị của y vào [3] để tìm x.c. Ví dụa] Giải phương trình : 3x4 - 13x3 + 16x2 - 13x + 3 = 0 [1]Hướng dẫn:Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang15“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”Trước tiên, yêu cầu học sinh nhận biết xem đây có phải là phương trình đốixứng không? Và thấy rằng: ở vế trái, các hệ số của các số hạng cách đều sốhạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau nên áp dụng cách giải tổng quát để giải.Giải- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của [1] chia cả hai vế của phương trình3x 2 − 13 x + 16 −cho x2 ta được: 3 x 2 +13 3+ =0x x21 1− 13 x − ÷+ 16 = 0 [2]2 ÷x x1x- Đặt x + = t [3] ⇒ x 2 +1= t 2 − 2 rồi thế vào phương trình [2]:2x⇔3[t2-2] - 13t + 16 = 0⇔ 3t2 - 13t + 10 = 0[t - 1] [3t – 10] = 0t - 1 = 0 hoặc 3t – 10 = 0t = 1 hoặc t =103* t = 1 thay vào [3] :1=1x⇔ x2 − x + 1 = 013⇔ [ x − ] 2 + > 0∀x24x+*t=10thay vào [3] :31 10=x 3⇔ 3 x 2 − 10 x + 3 = 0⇔ [ x − 3][3 x − 1] = 01⇔ x = 3; x =3x+ Vậy S = 3; 1 3Lời bình: Ở ví dụ này học sinh phải hiểu được tại sao lại phải nhận xét x=0không phải là nghiệm thì mới chia. Vấn đề là nếu x=0 là một nghiệm củaphương trình thì khi chia sẽ làm mất nghiệm. Thứ 2 là khi ra đế phương trìnhGiáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang16“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”này x 2 − x + 1 = 0 dễ dàng chứng minh được nó vô nghiệm nhưng đôi khi lại mấtthời gian đi giải chúng.b] Giải phương trình : 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + 6 = 0 [1]- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của [1] chia cả hai vế của phương trình6x 2 + 7 x − 36 −cho x2 ta được: 6 x2 +7 6+ =0x x21 1+ 7 x − ÷− 36 = 0 [2]2 ÷x x1x- Đặt x − = t [3] ⇒ x 2 +1= t 2 + 2 rồi thế vào phương trình [2]:2x⇔6[t2+2] + 7t - 36 = 0⇔ 6t2 + 7t – 24 = 0[3t + 8] [2t – 3] = 03t + 8 = 0 hoặc 2t – 3 = 0t=*t=-83hoặc t =328thay vào [3] :318=−x32⇔ 3x + 8x − 3 = 0⇔ [ x + 3][3 x − 1] = 01⇔ x = −3; x =3x−*t=3thay vào [3] :21 3=x 2⇔ 2 x 2 + 3x − 2 = 0⇔ [ x − 2][2 x + 1] = 01⇔ x = 2; x = −2x−1 1Vậy S = −3; ;2; − 32Phương pháp giải của dạng này còn áp dụng giải phương trình đối xứng bậc 5:ax5 + bx4 +cx3 + cx2 + bx + a = 0 [1]Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang17“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”Sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm : nếu phương trình có tổng các hệ số bậclẻ bằng tổng các hệ số bậc chẵn thì phương trình luôn có một nghiệm là - 1, nếuphương trình có tổng các hệ số bậc lẻ bằng đối tổng các hệ số bậc chẵn thìphương trình luôn có một nghiệm là 1. Để để biến đổi [1] thành phương trìnhtích rồi chuyển về giải phương trình bậc 4 đối xứng.c]Giải phương trình : 3x5 - 10x4 + 3x3 + 3x2 - 10x + 3 = 0 [1]Nhận thấy 3 + 3 - 10 = -10 + 3 + 3 = - 7 nên phương trình luôn cómột nghiệm là - 1. Do đó [1]:3x5 + 3x4 - 13x4 - 13x3 + 16x3 + 16x2 - 13x2 - 13x +3x + 3 = 0⇔ 3x4[x+1] - 13x3[x+1] + 16x2[x+1] - 13x[x+1] + 3[x+1] = 0⇔ [x+ 1][3x4 - 13x3 + 16x2 - 13x + 3] = 0⇔ x = 1 hoặc 3x4 - 13x3 + 16x2 - 13x + 3 = 0 [*]Giải [*] : 3x4 - 13x3 + 16x2 - 13x + 3 = 0- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của [1] chia cả hai vế củaphương trình cho x2 ta được: 3 x 2 +3x 2 − 13 x + 16 −13 3+ =0x x21 1− 13 x − ÷+ 16 = 0 [2]2 ÷x x1x- Đặt x + = t [3] ⇒ x 2 +1= t 2 − 2 rồi thế vào phương trình [2]:x2⇔3[t2-2] - 13t + 16 = 0⇔ 3t2 - 13t + 10 = 0[t - 1] [3t – 10] = 0t - 1 = 0 hoặc 3t – 10 = 0t = 1 hoặc t =103* t = 1 thay vào [3] :1=1x⇔ x2 − x + 1 = 0x+21 3⇔ x − ÷ + > 0∀x2 4*t=10thay vào [3] :3Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang18“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”1 10=x 3⇔ 3 x 2 − 10 x + 3 = 0⇔ [ x − 3][3 x − 1] = 01⇔ x = 3; x =3x+Vậy S = 1;3; 13Bài tập tương tựd] 6x4 + 5x3 - 38x2 +5x + 6 = 0e] 2x4 - 9x3 + 14x2 - 9x + 2 = 0Dạng 4: Phương trình hồi quy : ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = 0 [a ≠ 0] [1]2nma] Nhận biết : = ÷a bb] Phương pháp giải: Tương tự phương trình đối xứng chỉ khác bước đặt ẩnphụt = x+mm22m⇒ x2 + 2 2 = t 2 −bxb xbc] Ví dụa. Giải phương trình : x4 + 5x3 + 10x2 + 15x + 9 = 0 [1]Hướng dẫn:2915- Yêu cầu học sinh nhận dạng phương trình : = ÷ = 9 nên đây là1 5phương trình hồi quy. Do đó áp dụng cách giải tổng quát để giải.Giải- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của [1] chia cả hai vế của phương trìnhx 2 + 5 x + 10 +cho x2 ta được: x2 +15 9+=0x x29 3+ 5 x + ÷+ 10 = 0 [2]2 ÷x x3x- Đặt x + = t [3] ⇒ x 2 +9= t 2 − 6 rồi thế vào phương trình [2]:2x⇔t2-6 + 5t + 10 = 0⇔ t2 + 5t + 4 = 0Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang19“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”[t + 1] [t +4] = 0t + 1 = 0 hoặc t +4 = 0t = -1 hoặc t = - 4* t = -1 thay vào [3] :3= −1x⇔ x2 + x + 3 = 0111⇔ [ x − ] 2 + > 0∀x24x+* t = -4 thay vào [3] :3= −4x⇔ x2 + 4x + 3 = 0⇔ [ x + 1][ x + 3] = 0⇔ x = −1; x = −3x+Vậy S = { −1; −3}Lời bình: Khi dạy ở dạng này, học sinh hay lúng túng bước chuyển từ ẩn x sang3xt ở chỗ x + = t [3] ⇒ x 2 +9= t 2 − 6 áp dụng hằng đẳng thức số 1 khi cộng với 22xlần tích thì rút gọn hết ẩn x [còn 6] đấy là cái hay của bài toán,b. Giải phương trình : x4 + 5x3 -14x2 -20x + 16 = 0 [1]- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của [1] chia cả hai vế của phương trìnhx 2 + 5 x − 14 −cho x2 ta được: x2 +20 16+ =0x x216 4+ 5 x − ÷− 14 = 0 [2]2 ÷x x4x- Đặt x − = t [3] ⇒ x 2 +16 2= t + 8 rồi thế vào phương trình [2]:x2⇔t2+ 8 + 5t - 14 = 0⇔ t2 + 5t - 6 = 0[t - 1] [t +6] = 0t - 1 = 0 hoặc t +6 = 0t = 1 hoặc t = - 6* t = 1 thay vào [3] :Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang20“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”4=1x⇔ x2 − x − 4 = 0117⇔ [ x − ]2 − = 024117 117 ⇔x− −÷ x − +÷= 022 22 x−⇔x=1 ± 172* t = - 6 thay vào [3] :4= −6x⇔ x2 + 6 x − 4 = 0x−⇔ [ x + 3] 2 − 13 = 0⇔ [ x + 3 − 13 ] [ x + 3 + 13 ] = 0⇔ x = −3 ± 131 ± 17; −3 ± 13 2Vậy S = Bài tập tương tực. 2x4 - 5x3 -27x2 + 25x + 50 = 0d. 3x4 + 6x3 -33x2 -24x + 48 = 0Dạng 5: Phương trình dạng: [x+a][x+b][x+c][x+d] = ma] Nhận biết : a + d = c + bb] Phương pháp giải :- Khai triển vế trái [x+a][x+b][x+c][x+d] = m [1]⇔ [x+a][x+d][x+b][x+c] = m⇔ x 2 + [a + d ] x + ad x 2 + [c + b] x + cb -m = 0 x 2 + [ a + d ] x + ad x 2 + [b + c] x + bc - Đặt ẩn phụ t = [2]hoặc là một trong hai2biểu thức khi đó [1] :[t- n][t + n] – m = 0⇔ t2 - n2 – m = 0 [3]- Giải phương [3] tìm t thay vào [2] tìm x.Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang21“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”c] Ví dụ:a] Giải phương trình : [x-1][x-3][x+5][x+7] = 297[1]Hướng dẫn:Nhận thấy - 1+5 = -3 + 7 = 4 nên phải khai triển vế trái như thế nào đểđặt ẩn phụ hợp lí? Áp dụng cách giải tổng quát để giải.Giải[1] ⇔ [x-1][x+5][x-3][x+7] = 297⇔ [x2 + 4x – 5][x2 + 4x – 21] – 297 = 0 [2]Đặt t = x2 + 4x – 13 [2] khi đó [1][t+ 8][t- 8] – 297 = 0⇔ t2 – 64 – 297 = 0⇔ t2 – 192 = 0⇔ [t - 19] [t + 19] =0⇔ t = 19 hoặc t = - 19* t = 19 thay vào [2]:x2 + 4x – 13 = 19⇔ x2 + 4x – 32 = 0⇔ [x – 4][x + 8] = 0⇔x=4;x=-8* t = -19 thay vào [2]:x2 + 4x – 13 = - 19⇔ x2 + 4x + 6 = 0⇔ [x + 2]2 + 2 > 0 ∀ xVậy S = { 4; −8}Lời bình: Khi dạy dạng này học sinh hay mắc sai lầm là không nhận biếta + d = c + b mà nhóm bừa 2 trong 4 biểu thức [x+a][x+b][x+c][x+d] rồinhân nên sau khi nhân xong thì bế tắc không giải được. Do vậy bước nhậnbiết rất quan trọng.b] Giải phương trình : [x2+ 7x +12][x2- 15x + 56] = 180 [1]Hướng dẫn:Nếu đặt ẩn phụ là một trong hai biểu thức ở vế trái là t thì [1] không thànhdạng hằng đẳng thức và như vậy phương trình không giải được. Vậy làm thếGiáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang22“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”nào để biến đổi về dạng phương trình dạng câu a? Phân tích 2 biểu thứctrong ngoặc thành nhân tử, [1] về dạng câu a.Giải[1] ⇔ [x+3][x+4][x-7][x- 8] = 180⇔ [x+3][x-7][x+4][x- 8] = 180⇔ [x2 - 4x – 21][x2 - 4x – 32] – 180 = 0 [2]Đặt t = x2 - 4x – 21 [2] khi đó [1]t[t- 11] – 180 = 0⇔ t2 – 11t – 180 = 0⇔ [t+9] [t - 20] =0⇔ t = -9 hoặc t = 20* t = -9 thay vào [2]:x2 - 4x – 21 = - 9⇔ x2 - 4x – 12 = 0⇔ [x +2][x - 6] = 0⇔ x = -2 ; x = 6* t = 20 thay vào [2]:x2 - 4x – 21 = 20⇔ x2 - 4x – 41 = 0⇔ [x - 2]2 - 45 = 0⇔ [x - 2]2 - 45 = 0⇔ [x - 2 - 3 5 ][x -2 + 3 5 ] = 0⇔ x = 2 ±3 5Vậy S = { −2;6;2 ± 3 5}Bài tập tương tực] x[x+1] [x+2][x+3]= 24d] [x+2][x+5][x-6][x-9]=280Dạng 6: Phương trình [x+a][x+b][x+c][x+d]= mx 2 [1]1] Nhận biết : ad = cb2] Phương pháp giải :Cách 1:- Khai triển vế trái [x+a][x+b][x+c][x+d] = mx2Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang23“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”⇔ [x+a][x+d][x+b][x+c] – mx2 = 0⇔ x 2 + [a + d ] x + ad x 2 + [c + b] x + cb -mx2 = 0 x 2 + [ a + d ] x + ad x 2 + [b + c] x + bc - Đặt ẩn phụ t = [2]hoặc là một trong hai2biểu thức khi đó [1] :[t- nx][t + nx] – mx2 = 0⇔ t2 - x2 [n2+m] = 0 [3]- Giải phương [3] tìm t thay vào [2] tìm x.Cách 2: Giải tương tự phương trình đối xứng3] Ví dụa] Giải phương trình : [x+10][x+12][x+15][x+18]= 2x2 [1]Hướng dẫn:Nhận xét 10 . 18 = 12 . 15 = 180 nên khai triển vế trái như thế nào để đặtẩn phụ hợp lí nhất ? Nên vế trái giao hoán x-18 với x+10 và x+12 với x+15để nhân đa thức với đa thức . Khi đó áp dụng cách giải tổng quát để giải.Giải⇔ [x+10][x+18][x+12][x+15]= 2x2Cách 1⇔ [x2 + 28x + 180][x2 + 27x + 180] = 2x2 [1]Đặt t = x2 + 28x + 180[2] khi đó [1]:t [t-x] - 2x2 = 0⇔ t2 - tx - 2x2 = 0⇔ [t+x][ t- 2x] =0⇔ t = - x ; t = 2x* t = - x thay vào [2]:-x = x2 + 28x + 180⇔ x2 + 29x + 180 = 0⇔ [x+20][x+2] = 0⇔ x = - 20; x = -2* t = 2x thay vào [2]:2x = x2 + 28x + 180⇔ x2 + 26x + 180 = 0⇔ [x+13]2 + 11 > 0 ∀ xVậy S = { −20; −2}Giáo viên: Hữu Thị HoaTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang24“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9”Cách 2 : Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả haivế của [1] cho x2 được :180 180 x + 28 +÷ x + 27 +÷ = 2 [2]x x Đặt t = x +55 180+[3]2xKhi đó [2]: 1 1 t + ÷ t − ÷ = 2 2 2 9⇔ t2 − = 04 3 3 ⇔ t − ÷ t + ÷ = 0 2 2 3⇔t=±2* t=3thay vào [3]:255 1803+=−2x22⇔ 2 x + 58 x + 360 = 0x+⇔ x 2 + 29 x + 180 = 0Giải tương tự cách [1] x = - 20; x = - 2* t=3thay vào [3]:255 180 3+=2x22⇔ 2 x + 52 x + 360 = 0x+⇔ x 2 + 26 x + 180 = 0Giải tương tự cách [1] phương trình vô nghiệm.Lời bình: Ở dụ này, có 2 cách giải tuy nhiên cách 1 trình bày đơn giản hơntương tự dạng 5b] Giải phương trình : [x-1][x+2][x+3][x-6]+ 32x2 = 0⇔ [x-1][x-6][x+3][x+2]+ 32x2 = 0⇔ [x2 – 7x + 6][x2 + 5x +6] + 32x2 = 0 [1]Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của [1]2cho x được :Giáo viên: Hữu Thị Hoa6 6 x − 7 + ÷ x + 5 + ÷+ 32 = 0[2]x xTrường THCS Thị Trấn Khoái ChâuTrang25