Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c. Hãy xác định dấu của các hệ số a, b và c trong mỗi trường hợp dưới đây:. Bài 41 trang 63 SGK Đại số 10 nâng cao – Ôn tập chương 2
Dựa vào đồ thị của hàm số \[y = ax^2 + bx + c\]. Hãy xác định dấu của các hệ số a, b và c trong mỗi trường hợp dưới đây:
Đáp án
a] Parabol [P1] có bề lõm quay xuống nên a < 0
[P1] cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên c = f[0] > 0
Hoành độ đỉnh \[{x_0} = – {b \over {2a}} < 0 \Rightarrow b < 0\] [do a 0
[P1] cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên c = f[0] > 0
Quảng cáoHoành độ đỉnh \[{x_0} = – {b \over {2a}}\] > 0 ⇒ b < 0 [do a >0]
c] Parabol [P3] có bề lõm quay lên nên a > 0
[P3] đi qua gốc O nên c = 0
Hoành độ đỉnh \[{x_0} = – {b \over {2a}}\] < 0 ⇒ b > 0 [do a >0]
d] Parabol [P3] có bề lõm quay xuống nên a < 0
[P3] cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên c < 0
Hoành độ đỉnh \[{x_0} = – {b \over {2a}}\] > 0 ⇒ b > 0 [do a < 0]
16:29:2414/08/2018
Tuy nhiên cũng còn khá nhiều em chưa hiểu rõ và nhớ được các bước khảo sát hàm số bậc 2, trong bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết các bước khảo sát hàm bậc 2, vận dụng vào bài tập để các em hiểu rõ hơn.
I. Khảo sát hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c [a ≠ 0]:
• TXĐ : D = R.
• Tọa độ đỉnh I [-b/2a; f[-b/2a]]. f[-b/2a] = -Δ/4a
• Trục đối xứng : x = -b/2a
• Tính biến thiên :
a > 0 hàm số nghịch biến trên [-∞; -b/2a]. và đồng biến trên khoảng [-b/2a; +∞]
a < 0 hàm số đồng biến trên [-∞; -b/2a]. và nghịch biến trên khoảng [-b/2a; +∞]
- Bảng biến thiên :
* a > 0
* a < 0
• Đồ thị:
- Đồ thị hàm số ax 2 + bx + c là một đường parabol [P] có: Đỉnh I [-b/2a; f[-b/2a]].
- Trục đối xứng : x = -b/2a. Parabol [P] quay bề lõm lên trên nếu a > 0, parabol [P] quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
II. Bài tập áp dụng Khảo sát hàm số bậc 2
* Ví dụ 1 [Bài 2 trang 49 SGK Toán 10 CB]: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a] y = 3x2 – 4x + 1
d] y = -x2 + 4x – 4
* Lời giải:
a] y = 3x2 – 4x + 1 [ a = 3; b =-4; c = 1]
TXĐ : D = R.
Tọa độ đỉnh I [2/3; -1/3].
Trục đối xứng : x = 2/3
Tính biến thiên :
a = 3 > 0 hàm số nghịch biến trên [-∞; 2/3]. và đồng biến trên khoảng 2/3 ; +∞]
bảng biến thiên :
[P] giao trục hoành y = 0 : 3x2 – 4x + 1 = 0 x = 1 v x = ½ Các điểm đặc biệt :
[P] giao trục tung : x = 0 => y = 1
Đồ thị :
Đồ thị hàm số y = 3x2 – 4x + 1 là một đường parabol [P] có:
- Đỉnh I[2/3; -1/3].
- Trục đối xứng : x = 2/3.
- parabol [P] quay bề lõm lên trên .
d] y = -x2 + 4x – 4
TXĐ : D = R.
Tọa độ đỉnh I [2; 0].
Trục đối xứng : x = 2
Tính biến thiên :
a = -1 < 0 hàm số đồng biến trên [-∞; 2]. và nghịch biến trên khoảng 2 ; +∞]
bảng biến thiên :
[P] giao trục hoành y = 0 : -x2 + 4x – 4 = 0 x = 2
[P] giao trục tung : x = 0 => y = -4
Đồ thị :
Đồ thị hàm số y = -x2 + 4x – 4 là một đường parabol [P] có:
- Đỉnh I[2; 0].
- Trục đối xứng : x = 2.
parabol [P] quay bề lõm xuống dưới .
* Ví dụ 2: Cho hàm số :y = f[x] = ax2 + 2x – 7 [P].
Tìm a để đồ thị [P] đi qua A[1, -2]
* Lời giải:
Ta có : A[1, -2] ∈[P], nên : -2 = a.12 + 2.1 – 7 ⇔ a = 3
Vậy : y = f[x] = 3x2 + 2x – 7 [P]
* Ví dụ 3: Cho hàm số :y = f[x] = ax2 + bx + c [P].
Tìm a, b, c để đồ thị [P] đi qua A[-1, 4] và có đỉnh S[-2, -1].
* Lời giải:
Ta có : A[-1, 4] ∈ [P], nên : 4 = a – b + c [1]
Ta có : S[-2, -1] ∈ [P], nên : -1 = 4a – 2b + c [2]
[P] có đỉnh S[-2, -1], nên : xS = -b/2a ⇔ 4a – b = 0 [3]
Từ [1], [2] và [3], ta có hệ : a-b+c=4 và 4a-2b+c=-1 và 4a-b=0
Giải hệ này được: a=5; b=20; c=19
Vậy : y = f[x] = 5x2 + 20x + 19 [P]
III. Bài tập khảo sát hàm số bậc 2 tự giải
* BÀI 1 : cho hàm số bậc hai : y = f[x] = x2 + 2mx + 2m – 1 [Pm]. đường thẳng [d] : y = 2x – 3
a] Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b] Tìm m để [Pm] tiếp xúc [d].
c] Tìm m để [d] cắt [Pm] tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam giác OAB vuông tại O.
* BÀI 2 : Cho hàm số :y = f[x] = ax2 + bx + 3 [P]. tìm phương trình [P] :
a] [P] đi qua hai điểm A[1, 0] và B[2, 5].
b] [P] tiếp xúc trục hoành tại x = -1.
c] [P] đi qua điểm M[-1, 9] và có trục đối xứng là x = -2.
* BÀI 3 : Cho hàm số y = f[x] = x2 – 4|x|, [P]
a] Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số [P].
b] Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm : x2 – 4|x| + 2m – 3 = 0.
* Bài 4 : Cho hàm số: y = f[x] = -2x2 +4x – 2 [P] và [D] : y = x + m.
a] Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số [P].
b] Xác định m để [d] cắt [P] tại hai điểm phân biệt A và B thỏa AB = 2.
Như vậy, để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 2 các em cần nhớ các công việc chính như: Tìm Tập xác định của hàm số, Tìm đỉnh và trục đối xứng, lập bảng biến thiên, tìm một số điểm đặc biệt [x=0 để tìm y hay cho y=0 để tìm x] và vẽ đồ thị.
Hy vọng rằng với phần hướng dẫn chi tiết về hàm số bậc 2, cách vẽ đồ thị hàm số bậc 2 ở trên, các em đã hiểu rõ cách làm và vận dụng giải toán, chúc các em học tốt.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Xác định hàm số bậc hai, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Xác định hàm số bậc hai: Xác định hàm số bậc hai. Phương pháp: [P] nhận x = xp làm trục đối xứng. [P] có giá trị nhỏ nhất [hay lớn nhất] bằng y. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1. Xác định Parabol y = ax + bx + c đạt cực tiểu bằng 4 tại x = -2 và đồ thị đi qua A[0; 6]. Hướng dẫn giải: Parabol có đỉnh I[-2; 4] và đi qua A[0; 6]. Ví dụ 2. Parabol y = ax + bx + c đi qua A[3; 0] và có đỉnh I [6; -12]. Xác định a, b, c. Từ giả thiết ta có hệ. Ví dụ 3. Tìm các hệ số a, b, c của [P]: y = ax + bx + c, a] [P] đi qua A[-1; 0]; B[2; 0]; C[0; -4]; b] [P] đi qua A[-1; -2] và có đỉnh I[1; 2]. Vì [P] đi qua A[-1; -2] nên a – b + c = -2. Mặt khác, vì [P] có đỉnh là I[1; 2] nên I[1; 2] [P] hay a + b + c = 2. Ví dụ 4. Tìm các hệ số a, b, c của [P]: y = ax + bx + c, a] y nhận giá trị bằng -3 khi x = 2 và [P] cắt d: y = x + 1 tại hai điểm có hoành độ bằng 0, b] [P] đi qua hai điểm A[-1; 6], B[4; 3] và có trục đối xứng là x = 2. Giải. a] Theo đề: y nhận giá trị bằng 3 khi x = 2 nên 4a + 2b + c = -3. Gọi [P] cắt d tại hai điểm M và N. Suy ra: M[0; 1], N[1; 6]. Bài tập trắc nghiệm. Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. f[x] = 3x + 2x – 5 là tam thức bậc hai. B. f[x] = 2x – 4 là tam thức bậc hai. C. f[x] = 3x + 2x – 1 là tam thức bậc hai. D. f[x] = x – x + 1 là tam thức bậc hai. Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f[x] = 3x + 2x – 5 là tam thức bậc hai. Câu 2. Xác định parabol [P]: y = ax + bx + c, biết [P] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = A. Ta có [P] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1: Khi x = 0 thì y = 1 = c = 1. [P] có giá trị nhỏ nhất bằng 3. Câu 3. Đồ thị của hàm số nào sau đây là parabol có đỉnh I[-1; 3].
Câu 4. Do đó chỉ có đáp án C thoả. Cho parabol [P]: y = ax + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng x = 1. Khi đó 4a + 2b bằng 2a. Câu 5. Do parabol [P]: y = ax + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng x = 1. Đồ thị hàm số y = mx – 2mx là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng y = x – 3 thì m nhận giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây? Xác định a, b, c biết Parabol có đồ thị hàm số y = ax + bx đi qua các điểm M[0; -1], N[1; -1], P[-1; 1]. Tìm parabol [P]: y = ax + 3x − 2, biết rằng parabol có trục đối xứng x = -3. Câu 8. Trục đối xứng của [P]. Biết rằng hàm số y = ax + bx + c đạt cực tiểu bằng 4 tại x = 2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A[0; 6]. Tính tích P = abc.