Cho hàm số yfx có đạo hàm là 2 2 fxxxxx 1;3 1 Hỏi hàm số fx có bao nhiêu điểm cực tiểu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [6.69 MB, 96 trang ]
[1]
MỤC LỤC
DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ ... 2
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU ... 12
DẠNG 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀO PT, BPT, HPT, BĐT ... 21
DẠNG 4: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU ... 26
DẠNG 5: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC ... 28
DẠNG 6: TÌM CỰC TRỊ DỰA VÀO BBT, ĐỒ THỊ ... 37
DẠNG 7: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI 1 ĐIỂM X0 CHO TRƯỚC ... 42
DẠNG 8: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN ..
... 44
DẠNG 9: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐK
... 49
DẠNG 10: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC HÀM SỐ KHÁC CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN
ĐIỀU KIỆN ... 52
DẠNG 11: GTLN, GTNN TRÊN ĐOẠN ... 56
DẠNG 12: GTLN, GTNN TRÊN KHOẢNG ... 63
DẠNG 13: SỬ DỤNG CÁC ĐÁNH GIÁ, BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN ... 64
DẠNG 14: ỨNG DỤNG GTNN, GTLN TRONG BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ... 65
DẠNG 15: GTLN, GTNN HÀM NHIỀU BIẾN ... 69
DẠNG 16: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG, TỐI ƯU, THỰC TẾ ... 73
DẠNG 17: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VỀ MAX MIN ... 81
DẠNG 18: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ [KHÔNG CHỨA
THAM SỐ] HOẶC BIẾT BBT, ĐỒ THỊ ... 83
DẠNG 19: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ .
... 84
DẠNG 20: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN ... 87
DẠNG 21: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ ... 87
DẠNG 22: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN
THIÊN ... 90
TUYỂN CHỌN CÁC CÂU HÀM SỐ MỨC ĐỘ VD-VDC
PHÂN TÍCH DẠNG TỐN VÀ HƯỚNG SUY LUẬN
[2]
DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ
Câu 1. [SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019]Cho hàm số có bảng xét dấu
của đạo hàm như sau
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn xét tính đơn điệu của hàm số tổng dựa vào bảng biến thiên.
2. Hướng giải: Xét
B1: Tính đạo hàm của của hàm số g x'
.B2: Lập bảng xét dấu của g x'
từ đó suy ra khoảng đồng biến [nghịch biến].Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Xét .
Ta có , .
Dựa vào bảng xét dấu của , ta có bảng xét dấu của :
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 2. [SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01]Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên.
Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn xét tính đơn điệu của hàm số tổng dựa vào đồ thị.
2. Hướng giải: Vì y f x
là hàm số bậc bốn nên có dạngvà
y f x
2 2019
y f x
4; 2
1;2
2; 1
2;4
2
2019y g x f x
2
2019y g x f x
2
2019
2
g x f x f x
2
1
0
2
4
x
x
g x
x
x
f x g x
y g x
1;2
[ ]
y f x y f x[ ]
x
y
O
-4 -3 -2 2
-3
1
-1
-2
3 2
3 [ ] 6 9
y f x x x x
0; 2
1;1
1;
2; 0
4 3 2
[ ] ,[ 0]
[3]
B1: Hàm số f x'
đi qua bốn điểm nên xác định được cơng thức của hàm số.B2: Khi đó, để xét tính đồng biến của hàm số cần tìm, ta tính đạo hàm và lập bảng xét dấu.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Hàm số ; .
Đồ thị hàm số đi qua các điểm nên ta có:
Do đó hàm số
. Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
Câu 3. Cho là hàm đa thức bậc , có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hàm số
đồng biến trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn xét tính đơn điệu của hàm số hợp dựa vào đồ thị.
2. Hướng giải:
B1: Dựa vào đồ thị hàm sốf x'
, có hai điểm đặc biệt trên đồ thị [2 điểm cực trị ] có hồnh độ1, .2
x x Khi đó f ''
x a xx1
xx2
nên f x'
chính là nguyên hàm của hàm số f''
x . Từđây, ta tìm được cơng thức của hàm số f x'
.B2: Tính đạo hàm của hàm số g x'
dựa vào hàm số f x'
.B3: Lập bảng xét dấu, từ đồ thị suy ra khoảng đồng biến [nghịch biến].
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
4 3 2
[ ] ,[ 0]
f x ax bx cx dx e a f x[ ] 4 ax33bx22cx d
[ ]
y f x [ 4;0],[ 2;0],[0; 3],[2;1]
5
96
256 48 8 0
7
32 12 4 0
24
3
7
32 12 4 1 24
3
a
a b c d
a b c d b
d
c
a b c d
d
3 2 2 5 3 15 2 55
3 [ ] 6 9 ; 3 [ ] 4 3 3
24 8 12
y f x x x x y f x x x x x x
11
0 0
2
x
y x
x
[ 11;0]
2;
y f x 4 y f x
5 2
4 2 10y f x x x
5
3
1
2
1
y
x
O
3;4 2;52
3 ;22
0;23
[4]
Từ đồ thị của ta suy ra có hai điểm cực trị .
Ta có , do đó .
Thay tọa độ các điểm vào ta được hệ: .
Vậy .
Đặt hàm có TXĐ .
Đạo hàm ,
Ta có bảng xét dấu của
Từ BBT ta chọn đáp án B.
Câu 4. [SỞ GD&ĐT CẦN THƠ NĂM 2018-2019]Cho hàm số liên tục trên R và có đồ thị
hàm số như hình vẽ dưới.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn xét tính đơn điệu của hàm số tổng dựa vào đồ thị.
2. Hướng giải: Đặt .
B1: Tính đạo hàm của hàm số g x'
B2: Số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng
B3: Nếu trên khoảng đồ thị hàm nằm hồn tồn phía trên đường thẳng
thì .
Nếu trên khoảng đồ thị hàm nằm hoàn tồn phía dưới đường thẳng
thì .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
y f x y f x
A
0;1 ,B 2;5
2
2 2f x ax x ax ax
3 2
13
ax
y f x ax b
,
A B
11
8
4 5
3
b
a
a b
1
3
b
a
3 3 2 1f x x x
5 2
4 2 10g x f x x x
2
5 2
4 5 4 4
3 24 2 43 22
g x f x x x x x
0 24 52
x
g x
x
g x
[ ]
y f x
[ ]
y f x
2
[ ]
2
y
f x
x
x
[ 1; 2] [1;3] [0;1] [;0]
2
[ ]
[ ]
2
y g x
f x
x
x
[ ] 0
g x f x[ ]
[ ] : y2x2
[ ; ]a b f x[ ]
[ ] : y2x2 g x[ ] 0 x [ ; ]a b
[5]
Chọn C
Đặt .
Ta có: .
.
Số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và
đường thẳng [như nhình vẽ dưới].
Dựa vào đồ thị ta thấy
Dấu của trên khoảng được xác định như sau:
Nếu trên khoảng đồ thị hàm nằm hồn tồn phía trên đường thẳng
thì .
Nếu trên khoảng đồ thị hàm nằm hoàn tồn phía dưới đường thẳng
thì .
Dựa vào đồ thị ta thấy trên đồ thị hàm nằm hoàn tồn phía dưới đường thẳng
nên .
Do đó hàm số nghịch biến trên mà nên hàm số nghịch
biến trên .
Câu 5. [SỞ GD&ĐT CÀ MAU NĂM 2018-2019]Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ
sau
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số hợp dựa vào đồ thị.
2. Hướng giải: Đặt .
B1: Tính đạo hàm của hàm số .
B2: Dựa vào đồ thị, giải phương trình g x'
0.2
[ ] [ ] 2
y g x f x x x
2
[ ] [ [ ] 2 ] [ ] 2 2
g x f x x x f x x
[ ] 0 [ ] 2 2
g x f x x
[ ] 0
g x f x[ ]
[ ] : y2x2
1
0 1
3
x
g x x
x
[ ]
g x [ ; ]a b
[ ; ]a b f x[ ] [ ] : y2x2
[ ] 0 [ ; ]
g x x a b
[ ; ]a b f x[ ]
[ ] : y2x2 g x[ ] 0 x [ ; ]a b
[ 1;1] f x[ ]
[ ] : y2x2 g x[ ] 0 x [ 1;1]
2
[ ] 2
y f x x x [ 1;1] [0;1] [ 1;1]
[0;1]
y f x f x
2 2
g x f x
1;3
3; 1
0;1
4;
2
[ ]
[ ]
2
y g x
f x
x
x
2 2
[6]
B3: Lập bảng xét dấu của x, f x'
22
và g x'
. Từ đó tìm được khoảng nghịch biến.Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
.
.
, .
Bảng xét dấu của :
Vậy nghịch biến trên khoảng .
Câu 6. [Sở GD&ĐT Quảng Bình năm 2018-2019]Cho hàm số y f x
có bảng xét dấu đạo hàmnhư hình bên. Hàm số y e 3f2 x 13f2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây.
A.
1;
B.
; 2
. C.
1;3
. D.
2;1
.Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số g x
amf u x nbcf u x d khi biết bảng xét dấuđạo hàm của hàm số y f x
.Phương pháp giải: Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm của hàm số y f x
, xét dấu của hàm số
y g x , từ đó kết luận khoảng đồng biến của hàm số g x
amf u x nbcf u x d.2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số
mf u x n cf u x dg x a b ;
'. mf u x nln
'. cf u x dlng x mf u x n a a cf u x d b b.
B2: Tìm tất cả các giá trị của biến x để g x
0.B3: Đối chiếu với các phương án và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
2 2
g x f x
x22 .
f x22
2 .x f x
22
22
2
0 0
2 0
0 2 1 1
2 0
2
2 2
x x
x
g x x x
f x
x
x
2 2
0 2 2 2 22
x
f x x
x
2 2 0 2 2 2 2 2
f x x x
g x
[7]
Từ bảng đạo hàm ta thấy '
0 11 4
x
f x
x
.
3f 2 x 1 3f 2 x
y e
3 2 1
2 ' 3. ' 2 f x ' 2 .3f x.ln 3
y f x e f x
3 2 1 2 ' ' 2 3 f x 3f x.ln 3
y f x e
.
Để hàm số đồng biến thì y' f' 2
x
3e3f2 x13f2x.ln 30
' 2 0
f x
[vì 3e3f2 x13f2x.ln 3 0 ]
2 1 3' 2 0
1 2 4 2 1
x x
f x
x x
.
Đối chiếu các đáp án, chọn x thuộc khoảng
2;1
.Câu 7. [Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2018-2019 lần 1]Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên.
Đồ thị của hàm số y f x'
như hình vẽHàm số g x
f
2x 1
x1
2x 4
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?A. 2; 1
2
. B.
; 2
. C.1
;
2
. D.
1
; 2
2
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số g x
f u x
v x
khi biết đồ thị hàm số
y f x .
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số y f x
xét dấu của hàm số y g x
, từ đó kếtluận tính biến thiên của hàm số g x
f u x
v x
.2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số g x
f u x
v x
; g x
u x f u
. v x'
.B2: Đặt t 2x 1, tìm các giá trị t để y' 2 'f t
2t2
t f t'
0, suy ra tất cả cácgiá trị của biến x để g x
0.B3: Đối chiếu với các phương án và kết luận.
[8]
Ta cóy g x
f
2x 1
x1
2x 4
f
2x 1
2x22x4.
' 2 ' 2 1 4 2
y f x x .
Đặt t 2x 1 2x t 1. Khi đó y' 2 ' 2f
x 1
4x2 trở thành
' 2 ' 2 2 '
y f t t t f t
Xét y' 2 'f t
2t2
t f t'
0 t f t'
2
3 2 1 3
1
2 5 2 2 1 5 2
2
x
t x
t x x
.
Vậy hàm số g x
f
2x 1
x1
2x 4
đồng biến trên các khoảng
1
2; , 2; .
2
Câu 8. [Sở GD&ĐT Bình Phước năm 2018-2019 lần 1]Cho hàm số y f x
có bảng biến thiênnhư sau
Hàm sốy f x
22
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?A.
2;
. B.
0; 2 . C.
; 2
. D.
2;0
.Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số g x
f u x
khi biết bảng biến thiên của hàmsố y f x
.Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x
xét dấu của hàm số
,y g x từ đó kết luận tính biến thiên của hàm số g x
f u x
.2. Hướng giải:
[9]
B3: Xét dấu hàm số y g x
[dựa vào dấu của u x
và f u
] và kết luận.Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có y' 2 . ' x f x
22
.
2
2 2
2
0
0
0 2 2
' 0 2
' 2 0 2 0
2
2 2
x
x
x x
y x
f x x
x
x
.
Do các nghiệm của phương trình ' 0y đều là nghiệm bội lẻ, mà y' 3
6 ' 7f
0nên tacóbảng xét dấu 'y
Vậy hàm số y f x
22
nghịch biến trên khoảng
2;
.Câu 9. [Sở GD&ĐT Lào Cai năm 2019]Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên . Đồ thịhàm số y f x
như hình vẽ.Số điểm cực trị của hàm số y f x
2017
2018x2019 làA. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Tìm số điểm cực trị của hàm số F x
f u x
g x
khi biết đồ thị hàm số
y f x .
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số y f x
tìm số nghiệm của phương trình
0F x và xét dấu hàm số y F x
, từ đó suy ra số cực trị của hàm số
F x f u x g x .
2. Hướng giải:
B1: Đặt t x 2017. Đưa hàm số đã cho về hàm số y f t
.B2: Tính đạo hàm của hàm số y f t
. Giải phương trình f t
0 [dựa vào đồ thị hàm số
y f x ].
B3: Xét sự đổi dấu của hàm số y f t
và kết luận số cực trị.[10]
Lời giải
Chọn A
Đặt t x 2017 x t 2017, ta được hàm số y f t
2018
t2017
2019
2018 2018.2017 2019y f t t
.
Khi đó: y f t
2018.
0 2018
y f t
Từ đồ thị ta thấy đường thẳng y2018 cắt đồ thị hàm số y f x
tại một điểm duy nhấtnên phương trình y 0 có nghiệm duy nhất t0.
Với t t 0, ta có: y t
0.Với t t 0, ta có: y t
0.Vậy hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
Câu 10. [Sở GD&ĐT Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019]Cho hàm số y f x
có đạo hàm trên .Đồ thị hàm số y f x
như hình vẽ.Hỏi hàm số y f x
2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?A.
1;0
. B.
;1
. C.
1; 4 . D.
4;
.Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số g x
f u x
khi biết đồ thị hàm số y f x
.Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số y f x
xét dấu của hàm số y g x
, từ đó kếtluận tính biến thiên của hàm số g x
f u x
.2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số g x
f u x
; g x
u x f u
. .B2: Giải phương trình g x
0.B3: Xét dấu hàm số y g x
[dựa vào dấu của u x
và f u
] và kết luận.Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
[11]
+] .
+]
2
2
2
1 2 1
0
1 2
1 4
x x
f x
x
x
.
+]
2
2
2
1 1
1 1
0 2
4
2
x
x
f x x
x
x
.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y f x
2 nghịch biến trên khoảng
1;0
.Câu 11. [Sở GD-ĐT Nam Định 2018-2019] Cho hàm số f x
liên tục trên và có đạo hàm f x
thỏa mãn f x
1 x x
2
g x 2018 với g x
0, x . Hàm số
1
2018 2019y f x x nghịch biến trên khoảng nào ?
A.
1;
. B.
0;3 . C.
;3
. D.
4;
.Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn:Đây là dạng tốn tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm hợp.
2. Hướng giải:
B1: Tìm đạo hàm của hàm hợp đề bài cho theo công thức f u
u f u .
B2: Đề bài có yếu tố f
1x
nên thay x bằng 1x. Đề bài yêu cầu tìm khoảng nghịch biếnnên tiến hành giải bất phương trình y 0.
Từ đó ta có lời giải cụ thể như sau :
Lời giải
Chọn D
Đặt: y h x
f
1 x
2018x2019.Ta có: h x
f
1 x
2018 x
3x g
1x
.Xét h x
0 x
3x
0 [vì g
1x
0, x ]0 x 3.
Vậy hàm số h x
nghịch biến trên
0;3 nên đáp án đúng là đáp án B.
2
2 2
2
1
1
0 1
2
4
x
x
f x x
x
x
[12]
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
Câu 12. [Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2018-2019 lần 01]Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm
số y x 33mx23x1 đồng biến trên
là:
A. m
1;1
. B. m
; 1
1;
.C. m
; 1
1;
. D. m
1;1
.Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Tìm tham số để hàm số bậc ba đơn điệu trên một khoảng Dcho trước.
2. Hướng giải:
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
B2: Đề bài yêu cầu hàm đồng biến trên nên y 0 x . Sau đó ta triển khai theo 2
hướng.
Hướng 1. Nếu cô lập được D sang 1vế, vế còn lại đặt là h x
thì so sánh mvới h x
trênD.Nếu
min
x D x D
m h x x D m h x
, nếu
max
x D x D
m h x x D m h x
.
Hướng 2. Nếu khơng cơ lập được m thì ta dùng tính chất của hàm bậc ba hoặc dấu tam thức
bậc hai.
Từ đó ta có lời giải chi tiết sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có y 3x26mx3
Hàm số đồng biến trên y 0, x .
Đạo hàm là hàm bậc hai, nên:
0,
y x
2
2
3 0
1 0 1;1
36 1 0
y
m m
m
.
Câu 13. [Sở GD&ĐT Quảng Ninh năm 2018-2019 lần 01]Cho hàm số
2
x m
y
x
. Tập hợp tất cả các
giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng
0;
làA.
2;
. B.
;2
. C.
; 2
. D.
2;
.Phân tích hướng dẫn giải.
1. Dạng tốn: Tìm tham số để hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên một khoảng
D cho trước.
2. Hướng giải:
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
Cách tính nhanh :
2ax b ad bc
cx d cx d
B2: Hàm số có tập xác định K. Hàm số chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác
định nên trước hết phải đảm bảo DK.
B3: Đạo hàm của hàm u
v số có dạng 2
m
v ; trong đó
2 0,
v x K nên chỉ cần xét dấu của m.
Nếu hàm đồng biến thì m0; hàm nghịch biến thì m0. [lưu ý, khơng xảy ra dấu “=”]
Từ đó ta có lời giải chi tiết như sau:
[13]
TXĐ: D\ 2
.Như vậy
0;
DTa có
22
2
m
y
x
.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
0;
y 0, x
0;
.2 m 0 m 2
hay m
; 2
.Câu 14. [Sở GD&ĐT Hà Tính năm 2018-2019]Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để
hàm số y x 4mx2 đồng biến trên khoảng
2;
.A. 4 . B. 8. C. 9. D. 7.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Tìm tham số để hàm trùng phương đơn điệu trên một khoảng D cho trước.
2. Hướng giải:
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
B2: Đề bài yêu cầu hàm đồng biến trên
2;
nên y 0 x
2;
. Theo tính chất hàmtrùng phương, phương trình y 0 ln có 1 nghiệm bằng0. Tách x ra cịn hàm bậc hai. Sử
dụng dấu tam thức bậc hai hoặc lập bảng biến thiên để xét dấu đạo hàm.
Từ đó ta có lời giải chi tiết sau:
Lời giải
Chọn B
+ TXĐ: D. Ta có y 4x32mx.
Hàm số đồng biến trên
2;
y 0, x
2;
.
3
2
2
4 2 0, 2;
2 2 0
x
x mx x
x x m
2 2 2
2;
2x m 0 x 2; m 2x x 2; m min 2x
Lập bảng biến thiên của hàm bậc hai y2x2 và xét trên khoảng
2;
ta được :Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m8.
Vì m nguyên dương nên m
1; 2;3; 4;5;6;7;8
.Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn YCBT: 8.
Câu 15. [Sở GD&ĐT Điện Biên năm 2018-2019]Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm
số 1 3 2 2
2 3
43
y x x m x đồng biến trên khoảng
1;
.A.
0;
. B. 1;2
. C.
1
;
2
. D.
;0
.Phân tích hướng dẫn giải
[14]
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
B2: Đề bài yêu cầu hàm đồng biến trên khoảng
1;
nên y 0 x
1;
. Sau đó tatriển khai theo 2 hướng.
Hướng 1. Nếu cô lập được m sang 1 vế, vế còn lại đặt là h x
thì so sánh m với h x
trênD.Nếu
min
x D x D
m h x m h x
, nếu
max
x D x D
m h x m h x
.
Hướng 2. Nếu không cô lập được m thì ta dùng tính chất của hàm bậc ba hoặc tính chất của
hàm đạo hàm.
Từ đó ta có lời giải chi tiết sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có y x24x2m3
Hàm số đồng biến trên khoảng
1;
y 0, x
1;
.
2 4 2 3 0, 1;
x x m x
.
2 2
1;
2m x 4x 3, x 1; 2m min x 4x 3 *
.
Đặt g x
x24x3.
2 4g x x ; g x
0 x 2.Lập bảng biến thiên của g x
ta được:Dựa vào bảng biến thiên,
* 2m g
1 m 0.Câu 16. [SỞ GD&ĐT NINH BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02]Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số thuộc đoạn để hàm số nghịch biến trên khoảng
?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng toán định mđể hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước .
PP chung: Trước tiên ta đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số m
2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm .
B2: Xét phương trình có .
B3: Biện luận theo tham số m.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
m
10;10
y x 33x23mx2019
1;210 20 11 21
2
3 2
y x x m
2 2 0
[15]
Hàm số .
Tập xác định: .
Ta có .
Xét phương trình có .
*Với ta có nên do đó hàm số ln đồng biến [khơng thỏa mãn]
*Với ta có nên có hai nghiệm phân biệt , [ ].Ta có bảng
biến thiên của hàm số
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi
Kết hợp yêu cầu bài tốn ta có .
Câu 17. [SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG NĂM 2018-2019]Cho hàm số [
là tham số]. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số để hàm số đã cho
đồng biến trên khoảng . Tính số phần tử của biết rằng .
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán định mđể hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước .
PP chung: Trước tiên ta đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số m[ độc lập tham số m
nếu được]
2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm .
B2: Độc lập tham số m :
B3: Đặt f x
là biểu thức độc lập tham số m.Khi đó ta sẽ tìm minf x
, x
6;
.Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi .
.
.
3 3 2 3 2019y f x x x mx
D
2
3 2
y x x m
2 2 0
x x m 1 m
1
m 0 f x
0, x 1
m 0 f x
0 x1 x2 x1x2
y f x
y f x
1;2
1 2
3. 1 0 1 0
1 2 0
0
3. 2 0
f m
x x m
m
f
10; 9;...; 1;0
m
4 3 2
2019
4 3 2
x mx x
y mx
m S m
6;
S m20204041 2027 2026 2015
3 2 3 2 1 0, 6;
y x mx x m x m x x x
6;
y 0, x
6;
3 2 3 2 1 0, 6;
y x mx x m x m x x x
3
2 1 , 6;
x x
m x x
x
[16]
Đặt thì .
.
Mà nên , có phần tử. Ta chọn B.
Câu 18. Do câu 18 trùng với câu 16 nên không làm lại câu này ạ.
Câu 19. [SỞ GD&ĐT CÀ MAU NĂM 2018-2019]Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để hàm số đồng biến trên khoảng .
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn định mđể hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước đối với
hàm nhất biến .
PP chung: Tìm tập xác đinh,đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số m, và nghiệm mẫu
nằm ngoài khoảng đồng biến hoặc nghịch biến mà đề yêu cầu.
2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm .
B2: Để hàm số đồng biến trên khoảng
B3: Giải và giao nghiệm để tìm ra tham số m.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Tập xác định .
Ta có .
Để hàm số đồng biến trên khoảng
. Vì ngun dương nên .
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Câu 20. [SỞ GD&ĐT LẠNG SƠN NĂM 2018-2019]Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để
hàm số đồng biến trong khoảng ?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán định mđể hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước .
PP chung: Trước tiên ta đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số m[ độc lập tham số m
nếu được]
2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm .
f x x m f x
, x
6;
m min f x
, x
6;
6
m
2020
m m
2020; 2019;...,6
2027m
1
mx
y
x m
; 3
4 1 3 2
2
2
1
m
y
x m
; 3
2 1 0
; 3
m
m
\
D m
2
2
1
m
y
x m
; 3
2 1 0
; 3
m
m
1
1
3
m
m
m
; 1
1;3
m
m m
2;3m
3 3 2 2 3 2 4 1
y x m x m m x
0;11 3 2 4
2 2
3 6 2 3 4
y x m x m m
[17]
B2: Do bài này việc độc lập tham số m phức tạp nên ta dự đoán nghiệm của bài toán
B3: Ta lập bảng biến thiên dụa vào nghiệm vừa tìm được và so sánh với khoảng đề bài cho để
tìm được tham số m.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có
Bảng biến thiên:
Để hàm số đồng biến trên khoảng thì .
Vì nguyên nên . Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
Câu 21. [CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01]Gọi S là tập hợp các số nguyên
m để hàm số
2 33 2
x m
y f x
x m
đồng biến trên khoảng
; 14
. Tính tổng T củacác phần tử trong S?
A. T 10 . B. T 9. C. T 6. D. T 5.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm điều kiện của tham số để hàm số phân thức hữu tỉ bậc nhất
trên bậc nhất đơn điệu trên một khoảng cho trước [cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng
tốn này nếu được]
2. Hướng giải:
B1: Tìm tập xác định D\ 3
m2
B2: Tính đạo hàm
25 5
3 2
m
f x
x m
B3: Hàm số đồng biến trên
; 14
khi và chỉ khi hàm số liên tục trên
; 14
và
0
; 14
f x x [ f x
0 tại hữu hạn điểm thuộc
; 14
.Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Tập xác định D\ 3
m2
.0
4
x m
y
x m
3 3 2 2 3 2 4 1
y x m x m m x
2 2
3 6 2 3 4
y x m x m m
3x22
m2
x m m
4
0
4
x m
y
x m
0;1 m 0 1 m 4 3 m 0[18]
Ta có
25 5
3 2
m
f x
x m
.
Hàm số đồng biến trên
; 14
5 5 0 1
3 2 ; 14 3 2 14
m m
m m
1
4 1
4
m
m
m
.
Vậy S
4; 3; 2; 1;0
T 4 3 2 1 10.Câu 22. [SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01]Cho hàm số y f x
liên tục trên và có đạo hàm f x
x x2
2
x2 6x m
với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên mthuộc đoạn
2019; 2019
để hàm số g x
f
1x
nghịch biến trên khoảng
; 1
?A. 2012 . B. 2009 . C. 2011. D. 2010 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm điều kiện của tham số để hàm số hợp đơn điệu trên một
khoảng cho trước [cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng toán này nếu được]
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số g x
f
1x
là g x
f
1x
2
2
1 x x 1 1 x 6 1 x m
2
2
1 1 4 5
x x x x m
B2: Hàm số g x
nghịch biến trên khoảng
; 1
0, 1 *
g x x
, [dấu " " xảy ra tại hữu hạn điểm].
B3: Đánh giá với x1 thì
x 1
2 0 và x 1 0 nên
* x2 4x m 5 0, x 1 m x2 4x 5, x 1.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
2
2
1 1 1 1 6 1
g x f x x x x x m
x 1
2 x 1
x2 4x m 5
.
Hàm số g x
nghịch biến trên khoảng
; 1
0, 1 *
g x x
, [dấu " " xảy ra tại hữu hạn điểm].
Với x1 thì
x 1
2 0 và x 1 0 nên
* x2 4x m 5 0, x 12 4 5, 1
m x x x
.
Xét hàm số y x2 4x 5
trên khoảng
; 1
, ta có bảng biến thiên:[19]
Kết hợp với m thuộc đoạn
2019;2019
và m nguyên nên m
9;10;11;...;2019
.Vậy có 2011 số nguyên m thỏa mãn đề bài.
Câu 23. [SỞ GD&ĐT YÊN BÁI NĂM 2018-2019]Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên và hàm số y f x
có đồ thị như hình vẽ.Xét hàm sốg x
f x
25
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?A. Hàm số g x
nghịch biến trên khoảng
; 2
.B. Hàm số g x
đồng biến trên khoảng
2;0
.C. Hàm số g x
đồng biến trên khoảng
2;
.D. Hàm số g x
nghịch biến trên khoảng
2;2
.Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn xét tính đơn điệu của hàm số hợp [cố gắng đưa ra phương pháp
chung cho dạng tốn này nếu được]
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm g x
2x f x
25
.B2: Giải phương trình g x
0.B3: Xét dấu đạo hàm g x
, từ đó suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Ta có g x
2x f x
25
;
2
0
0
5 0
x
g x
f x
.
Từ đồ thị ta suy ra 2
2
0 0
5 1 2
5 2 7
x x
x x
x x
.
Bảng biến thiên
+ +
+
+
+
+
+
0
0
0
0
0 0
0
7
f ' x
2-5x
2
0
0
0 +∞
∞
+
0
2
7
g
g'
[20]
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g x
đồng biến trên khoảng
2;0
.Câu 24. [SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019] Cho hàm số y f x
liên tục trên và cóbảng xét dấu f x
như hình vẽGiá trị của tham số m để hàm số
1
2 1 21
y g x f x
x mx m
chắc chắn luôn
đồng biến trên
3;0
.A. m
2; 1
. B. m
; 2
. C. m
1;0
. D.
0;
.Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm điều kiện của tham số để hàm số hợp đơn điệu trên một
khoảng cho trước [cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng toán này nếu được]
2. Hướng giải:
B1: Tìm điều kiện xác định: x2 mx m2 1 0
B2: Tính đạo hàm
2 2
22
1
1
x m
g x f x
x mx m
B3: Đặt ẩn phụ t 1 x x;
3;0
, t
1;4 .Hàm số đồng biến trên khoảng
3;0
khi và chỉ khi g x
0 x
3;0
.Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: x2 mx m2 1 0 [luôn đúng vì
2 2
2 2 1 3 1 0
2 4
m m
x mx m x
]
2 2
22
1
1
x m
g x f x
x mx m
.
Đặt t 1 x x;
3;0
t
1;4 f
1x x
,
3;0
chính là f t t
, 1; 4 . Dođó từ bảng biến thiên suy ra f t
0, t
1;4 f
1 x
0, x
3;0
Ycbt
2 2
2
2
0, 3;0
1
x m
x
x mx m
2x m 0, x
3;0
3;0
2 , 3; 0 min 2 0
m x m x m
.
[21]
DẠNG 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀO PT, BPT, HPT, BĐT
Câu 25. [SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho phương trình
2
ln 1 2 ln 1 2 0 1
m x x m x x . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình
1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0 x1 2 4 x2 là khoảng
a;
.Khi đó a thuộc khoảng
A.
3,8;3,9
. B.
3,6;3,7
. C.
3,7;3,8
. D.
3,5;3,6
.Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn
điều kiện cho trước bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số [cố gắng đưa ra phương pháp
chung cho dạng toán này nếu được]
2. Hướng giải:
B1: Tìm điều kiện: x1.
B2: Biến đổi phương trình tương đương với
2 2
ln 1
1 1 0
x
m
x
x
e
B3: Xét hàm số
2
ln 1
x
f x
x
trên khoảng
0;
, lập bảng biến thiên. Từ đó kết luận vềđiều kiện của m để thỏa mãn u cầu bài tốn.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x1.
Vì x0 khơng thỏa mãn phương trình nên ta có
1 mln
x 1
x 2 ln
x 1
1 0
ln 1 2
ln 1 1
m x x
x
2 2
ln 1
1
1
x
m
x
x
e
.
Do nghiệm x 1 1 0
e
nên phương trình
1 có hai nghiệm thoả mãn 0 x1 2 4 x2 khivà chỉ khi phương trình
2 có hai nghiệm phân biệt sao cho 0 x1 2 4 x2.Xét hàm số
2
ln 1
x
f x
x
trên khoảng
0;
ta có
2
2
ln 1
1
ln 1
x
x
x
f x
x
.
0 ln
1
2 0 3
1
x
f x x
x
.
Xét hàm số
ln
1
21
x
h x x
x
có
21 1
0 0
1 1
h x x
x x
, nên h x
đồngbiến trên
0;
do đó phương trình f x
0 có khơng q một nghiệm.[22]
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn1 2
0 x 2 4 x khi và chỉ khi 6 6 ;
ln 5 ln 5
m m
.
Vậy 6
3,7;3,8
ln 5
a .
Câu 26. [SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hàm số y f x[ ] có bảng biến
thiên như sau:
Giá trị lớn nhất củam để phương trình:
3 13 2 3
2 [ ] [ ] 7 [ ]
2 2
f x f x f x
e m có nghiệm trên đoạn
0; 2 .A. e5 . B. e1513. C. e3. D. e4.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm tham số m để phương trình có nghiệm
2. Hướng giải:
B1: Lập bảng biến thiên
B2: Dựa vào bảng biến thiên tìm GTLN và GTNN của hàm số 3 2
13 3
2 [ ] [ ] 7 [ ]
2 2
f x f x f x
y e trên
0; 2 .B3: Kết luận về giá trị lớn nhất của m
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3 13 2 3
2 [ ] [ ] 7 [ ]
2 2
f x f x f x
e m 2 3[ ] 13 2[ ] 7 [ ] 3 ln
2 2
f x f x f x m .
Đặt [ ] 2 3[ ] 13 2[ ] 7 [ ] 3
2 2
g x f x f x f x .
2
[ ] [ ] 6 [ ] 13 [ ] 7
[23]
Ta có
[ ] 0 1; 3
[ ] 0 [ ] 1 1; 3
7 0
[ ]
6
f x x x
g x f x x x a
x b
f x
.
Bảng biến thiên trên đoạn
0; 2 :Giá trị lớn nhất của để phương trình có nghiệm trên đoạn
0; 2 là: lnm 4 m e4.Câu 27. [SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01] Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số để phương trình3 4 13 4sin
2 2019
sin
2 2019
2 3 2 3
m m x x
có nghiệm
thực?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm tham số m để phương trình có nghiệm. Tuy nhiên bài tốn
không thể cô lập được tham số ngay mà sau khi đặt ẩn phụ đưa về được dạng f t[ ] f a[ ], với
[ ]
f t là hàm đơn điệu.
2. Hướng giải:
B1: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình.
B2: Từ hệ phương trình ta suy ra được f t[ ] f a[ ], với f t[ ] là hàm đơn điệu. Dựa vào bảng
biến thiên tìm GTLN và GTNN của hàm số f t[ ].
B3: Kết luận về giá trị lớn nhất của m
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Đặt sin
x22019
a
a
1;1
Phương trình đã cho 3 4 13 4
2 3 2 3
m
m a a
Đặt 3 1 4
2m3a t
3
3
3
3
1 4 1 4
2 3 2 3
1 4
1 4
2 3
2 3
m a t m a t
m t a
m t a
3 4 3 4
3 3
a a t t
Xét hàm [ ] 3 4
3
f t t t với t . Ta có [ ] 32 4 0
3
f t t với t .
m
m
[24]
3 4
[ ]
3
f t t t
đồng biến trên . Từ [*] suy ra f t[ ] f a[ ] t a.
Do đó1 4 3 2 3 8
2m3a a m a 3a với a
1;1
. Đặt3 8 2 8
[ ] 2 ; [ ] 6
3 3
g a a a g a a .
Ta có 2
2
8 3
[ ] 6 0
2
3
3
a
g a a
a
[thỏa mãn]
Khi đó: [1] 2; [ 1] 2; 2 32; 2 32
3 3 3 27 3 27
g g g g
Phương trình có nghiệm khi
1;1 1;1
32 32
min [ ]g a m max [ ]g a 27 m 27 m 1;0;1
m
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị âm của tham số để phương trình 2019m 2019m x 2 x2 có hai
nghiệm thực phân biệt?
A. . B. . C. Vơ số. D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
Tuy nhiên ta không thể cô lập được tham số ngay mà sau khi đặt ẩn phụ đưa về được dạng
[ ] [ ]
f t f a , với f t[ ] là hàm đơn điệu.
2. Hướng giải:
B1: Đưa phương trình về dạng f t[ ] f a[ ] với f t[ ] là hàm đơn điệu suy ra
[ ] [ ]
f t f a t a
B2: Từ phương trình t a g x[ ]h m[ ]. Lập bảng biến thiên của hàm số g x[ ].
B3: Kết luận về giá trị lớn nhất của m
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Điều kiện 2019m x 20.
Phương trình 2019m 2019m x 2 x22019m 2019m x 2 x4
2 2 4 2
2019m x 2019m x x x
[1].
Xét hàm số f t[ ] t2 t trên
0;
, ta có f t [ ] 2 1 0,t t 0 suy ra f t[ ] luôn đồngbiến trên
0;
.Khi đó [1] f
Tính đơn điệu của hàm số liên kết | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [3.45 MB, 39 trang ]
[1]
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K .
1. Định nghĩa 1.
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y f x
là một hàm số xác định trên K. Tanói:
+ Hàm số y f x
được gọi là đồng biến [tăng] trên K nếu
1, 2 , 1 2 1 2
x x K x x f x f x
+ Hàm số y f x
được gọi là nghịch biến [giảm] trên K nếu
1, 2 , 1 2 1 2
x x K x x f x f x
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.
2. Nhận xét.
a. Nhận xét 1.
Nếu hàm số f x
và g x
cùng đồng biến [nghịch biến] trên D thì hàm số f x
g x cũng đồng biến[nghịch biến] trên D. Tính chất này có thể khơng đúng đối với hiệu f x
g x .b. Nhận xét 2.
Nếu hàm sốf x
và g x
là các hàm số dương và cùng đồng biến [nghịch biến] trên D thì hàm số
.f x g x cũng đồng biến [nghịch biến] trên D. Tính chất này có thể khơng đúng khi các hàm số
,f x g x không là các hàm số dương trên D.
c. Nhận xét 3.
Cho hàm số u u x
, xác định với x
a b; và u x
c d; . Hàm số f u x cũng xác định với
;
x a b . Ta có nhận xét sau:
i. Giả sử hàm số u u x
đồng biến với x
a b; . Khi đó, hàm số f u x đồng biến với
;
x a b f u đồng biến với u
c d; .ii. Giả sử hàm số u u x
nghịch biến với x
a b; . Khi đó, hàm số f u x nghịch biến với
;
x a b f u nghịch biến với u
c d; .3. Định lí 1.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
a] Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x'
0, x K.b] Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x'
0, x K.4. Định lí 2.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
a] Nếu f x'
0, x K thì hàm số f đồng biến trên K.b] Nếu f x'
0, x K thì hàm số f nghịch biến trên K.c] Nếu f x'
0, x K thì hàm số f không đổi trên K.Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có
thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:
[2]
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn
a b; và f x'
0, x
a b; thì hàm số f đồng biến trên đoạn
a b; .Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau:
5. Định lí 3.[mở rộng của định lí 2]
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
a] Nếu f x'
0, x K và f x'
0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.b] Nếu f x'
0, x K và f x'
0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
Nếu f x'
0 với mọi x K và f x'
0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f đồngbiến trên K .
Nếu f x'
0 với mọi x K và f x'
0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f nghịchbiến trên K .
BÀI TẬP MẪU:
[ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020]Cho hàm số f x
. Hàm số y f x'
có đồ thị như hình bên. Hàmsố g x
f
1 2 x
x2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?A. 1;3
2
. B.
1
0;
2
. C.
2; 1
. D.
2;3 .Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn dạng g x
f u x
v x
khibiết đồ thị của hàm số y f x
.2. HƯỚNG GIẢI:
x
y
– 2
4
1
[3]
Cách 1:
B1: Tính đạo hàm của hàm số g x
, g x
u x f u x
.
v x
.B2: Sử dụng đồ thị của f x
, lập bảng xét dấu của g x
.B3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
B1: Tính đạo hàm của hàm số g x
, g x
u x f u x
.
v x
.B2: Hàm số g x
đồng biến g x
0; [Hàm số g x
nghịch biến g x
0] [*]B3: Giải bất phương trình
* [dựa vào đồ thị hàm số y f x
] từ đó kết luận khoảng đồng biến,nghịch biến của hàm số.
Cách 3: [Trắc nghiệm]
B1: Tính đạo hàm của hàm số g x
, g x
u x f u x
.
v x
.B3: Hàm số g x
đồng biến trên K g x
0, x K; [Hàm số g x
nghịch biến trên K
0,g x x K
] [*]
B3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g x
để loại các phương án sai.Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Ta có: g x
f
1 2 x
x2x g x
2f
1 2 x
2x1.Hàm số nghịch biến
0
1 2
1 22
x
g x f x
.
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y f t
và2
t
y .
Dựa vào đồ thị ta có:
2 04
2
t
t
f t
t
.
Khi đó:
1 3
2 1 2 0 2 2
' 0
1 2 4 3
2
x
x
g x
x x
.
Cách 2:
Ta có: g x
f
1 2 x
x2x g x
2f
1 2 x
2x1.
0 ' 1 2
1 22
x
[4]
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y f t
và2
t
y .
Từ đồ thị ta có:
2
' 0
2
4
t
t
f t t
t
. Khi đó:
3
2
1 2 2
1
0 1 2 0
2
1 2 4 3
2
x
x
g x x x
x
x
.
Ta có bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 3
2
và
1 3
;
2 2
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN:Đây là dạng tốn xét tính đơn điệu của hàm liên kết [ ]h x f u[ ]g x[ ] khi biết
BBT,BXD, đồ thị của hàm số
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
- Cách tính đạo hàm của hàm hợp
- Các bước lập bảng biến thiên của hàm số
- Đồ thị và sự tương giao hai đồ thị
3. HƯỚNG GIẢI:
Lời giải
Chọn A
Ta có : g x
f
1 2 x
x2x g x'
2 ' 1 2f
x
2x1
' 0 2 ' 1 2 2 1 0
g x f x x
Đặt 1 2 0 2 '
'
2
t
t x f t t f t
Vẽ đường thẳng
2
x
[5]
Dựa vào đồ thị '
2, 0, 42
t
f t t t t
Hàm số g x
nghịch biến '
0 '
2 04
2
t
t
g x f t
t
Như vậy
1 3
2 1 2 0
1 2 2 2
1 2
4 1 2 3
2
2
x
x
x
f x
x
x
.
Vậy hàm số g x
f
1 2 x
x2x nghịch biến trên các khoảng 1 3;
2 2
và
3
;
2
.
Mà 1;3 1 3;
2 2 2
nên hàm số
2
1 2
g x f x x x nghịch biến trên khoảng 1;3
2
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 50.1: Cho hàm số f x
. Hàm số y f x
có đồ thị như hình bên dưới.Hàm số g x
f
3x 1 3
x2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?A. 1;3
2
. B.
2
0;
3
. C.
1;0
. D.2
; 2
3
.
x
y
– 2
4
1
[6]
Chọn B
Ta có: g x
3f
3x 1
6x 2
3Hàm [ ]g x đồng biến trên khoảng K khi
0g x [dấu = xảy ra tại một số hữu hạn điểm]
3f 3x 1 6x 2 3 0
[1]
Đặt u3x1 ta được: h u
3f u
2u3.Ta có: [1] 3
2 3 0
2 13
u
f u u f u
Từ đồ thị hàm số y f x
ta có đồ thị hàm số y f u
và3 1
2
y u như hình vẽ
Để h u
0 ta cần có đồ thị y f u
phải nằm bên trên của đồ thị hàm3 1
2
y u
Từ đó ta có h u
0 0 33
u
u
0 3 1 3
3 1 3
x
x
1 2
;
3 3
4
3
x
x
Cho nên ta chọn đáp án B vì 0;2 1 2;
3 3 3
Câu 50.2: Cho hàm số f x
. Đồ thị y f x'
cho như hình bên. Hàm số
2
1
2
x
[7]
A.
2; 4 . B.
0;1 . C.
2;1
. D.
1;3 .Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
1
2
x
g x f x g x
f x
1
x.
0
1
0
1
1 1
g x f x x f x x
Đặt t x 1 thì f t
t 1Vẽ đường thẳng y trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số x 1 y f x
[như hìnhvẽ bên].
Dựa vào đồ thị f t'
t 1 t 3,t1,t3Hàm số nghịch biến g x
f x
1
x 0 f t
t t [ ; 3] [1;3]Do đó x [ ; 2] [2; 4] vậy g[x] nghịch biến trên
2; 4 .[8]
Hàm số g x
f x
22x
x2 2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?A.