cho hệ phương trình:
x+2y=2
mx-y=m[m là tham số]
a] giải và biện luận hệ phương trìnhđã cho theo m
b] Trong trg hợp hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất.[x,y].Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
Cho hệ phương trình x+2y=2 mx-y=m [m là tham số] a, Giải hpt khi m=2 b, Tìm m để hệ phương trình nhận cặp [x;y]=[2;-1] làm nghiệm c, Giải và biện luận hệ phương trình theo m d,Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x;y]: i, Chứng minh x+2y-2=0 với mọi m ii, Tìm giá trị của m để [x;y] âm iii, Tìm giá trị của m để x.y>0
iv, Tìm giá trị của m để biểu thức P=2y-x^2 đạt giá trị lớn nhất
Đáp án A
Ta có x+2y=2mx−y=m
⇔x=2−2ym2−2y−y=m⇔x=2−2y2m+1y=m
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì m≠−12
Suy ra y=m2m+1⇒x=2−2.m2m+1⇒x=2m+22m+1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2m+22m+1y=m2m+1
Để x>1y>0
⇔2m+22m+1>1m2m+1>0⇔12m+1>0m2m+1>0⇔2m+1>0m>0⇔m>−12m>0⇒m>0
Kết hợp điều kiện m ≠−12 ta có m > 0
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Số câu hỏi: 28
Đáp án A
Ta có x+2y=2mx−y=m
⇔x=2−2ym2−2y−y=m⇔x=2−2y2m+1y=m
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì m≠−12
Suy ra y=m2m+1⇒x=2−2.m2m+1⇒x=2m+22m+1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2m+22m+1y=m2m+1
Để x>1y>0
⇔2m+22m+1>1m2m+1>0⇔12m+1>0m2m+1>0⇔2m+1>0m>0⇔m>−12m>0⇒m>0
Kết hợp điều kiện m ≠−12 ta có m > 0
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hệ phương trình [[ x + 2y = 2 mx - y = m right.. ] Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất [[ [x;y] ] ], tìm điều kiện của m để [x > 1 ] và [y > 0. ]
Câu 8150 Vận dụng
Cho hệ phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\mx - y = m\end{array} \right..\] Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left[ {x;y} \right]\], tìm điều kiện của m để \[x > 1\] và \[y > 0.\]
Đáp án đúng: a
Phương pháp giải
Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm $\left[ {x,y} \right]$ theo tham số $m$
Bước 2: Thay $x,y$ vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm $m$
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số --- Xem chi tiết
...Giải thích các bước giải:
Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\mx - y = m\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]
\end{array} \right.\]
a,
Thay \[m = 2\] vào hệ phương trình đã cho ta được:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\2x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\2x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\2.\left[ {2 - 2y} \right] - y = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\4 - 5y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\5y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\y = \dfrac{2}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{5}\\y = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {\dfrac{6}{5};\dfrac{2}{5}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình đã cho khi \[m = 2\].
b,
Hệ phương trình nhận cặp \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {2; - 1} \right]\] là nghiệm nên ta thay \[x = 2;\,\,y = - 1\] vào hệ phương trình đã cho ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}2 + 2.\left[ { - 1} \right] = 2\\m.2 - \left[ { - 1} \right] = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 2\\m = - 1
\end{array} \right.\]
Hệ phương trình trên vô nghiệm nên không có giá trị nào của \[m\] thỏa mãn cặp \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {2; - 1} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
c,
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\mx - y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\m.\left[ {2 - 2y} \right] - y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\2m - 2my - y = m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\2m - \left[ {2m + 1} \right]y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\\left[ {2m + 1} \right]y = m\end{array} \right.\,\,\,\,\left[ * \right]
\end{array}\]
Với \[m = \dfrac{{ - 1}}{2}\] thì hệ phương trình [*] trở thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\0y = - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\]
Hệ phương trình trên vô nghiệm hay với \[m = \dfrac{{ - 1}}{2}\] thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Với \[m \ne - \dfrac{1}{2}\] thì hệ phương trình [*] trở thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\y = \dfrac{m}{{2m + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2.\dfrac{m}{{2m + 1}}\\y = \dfrac{m}{{2m + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2.\left[ {2m + 1} \right] - 2m}}{{2m + 1}}\\y = \dfrac{m}{{2m + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}}\\y = \dfrac{m}{{2m + 1}}
\end{array} \right.\]
Do đó, với \[m \ne - \dfrac{1}{2}\] thì hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm duy nhất \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {\dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}};\,\,\dfrac{m}{{2m + 1}}} \right]\]
d,
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì \[m \ne - \dfrac{1}{2}\]
i,
Theo phương trình [1] thì: \[x + 2y = 2 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\,\,\,\,\,\forall m\]
ii,
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}} < 0\\\dfrac{m}{{2m + 1}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {2m + 2} \right]\left[ {2m + 1} \right] < 0\\m\left[ {2m + 1} \right] < 0\\m \ne - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < - \dfrac{1}{2}\\ - \dfrac{1}{2} < m < 0\\m \ne - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\left[ {vn} \right]\]
Suy ra không có giá trị nào của \[m\] thỏa mãn \[x;y < 0\]
iii,
Ta có:
\[\begin{array}{l}x.y > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}}.\dfrac{m}{{2m + 1}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m\left[ {2m + 2} \right]}}{{{{\left[ {2m + 1} \right]}^2}}} > 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left[ {2m + 2} \right] > 0\\m \ne - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 1\end{array} \right.\\m \ne - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 1\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[m > 0\] hoặc \[m < - 1\] thì \[xy > 0\]
iv,
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left[ 1 \right] \Leftrightarrow 2y = 2 - x\\P = 2y - {x^2} = \left[ {2 - x} \right] - {x^2} = - {x^2} - x + 2 = - \left[ {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right] + \dfrac{9}{4}\\ = - {\left[ {x + \dfrac{1}{2}} \right]^2} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{4} - {\left[ {x + \dfrac{1}{2}} \right]^2} \le \dfrac{9}{4},\,\,\,\forall x\\ \Rightarrow {P_{\max }} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow {\left[ {x + \dfrac{1}{2}} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}} = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \dfrac{5}{6}
\end{array}\]