Chứng min hai đường thẳng song song là một dạng toán hay và khó trong chương trình toán 8, Top lời giải xin giới thiệu chi tiết nhất để các bạn có thể tự tin chứng minh hai đường thẳng song song.
I. Lý thuyết liên quan đến hai đường thẳng song song
1.Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thằng này đến đường thẳng kia.
2. Tính chất của các điểm các đều một đường thẳng cho trước
Các điểm cách đều một đường thẳng b một khoảng là h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.
Nhận xét:Tập hớp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng cách bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.
3. Đường thẳng song song cách đều
Cho các đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và khoảng cách giữa các đường thẳng a và b, b và c, c và d bằng nhau. Khi đó ta gọi a, b, c, d là các đường thẳng song song cách đều.
Ta có định lí:
– Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
– Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
II. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp 1:Sử dụng tính chất hình bình hành.
Tính chất: Trong hình bình hành các cạnh đối song song
Phương pháp 2:Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang.
Tính chất:
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy
Phương pháp 3:Sử dụng định lí Talet đảo:
Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì song song với cạnh còn lại của tam giác
III. Một số bài tập vận dụng chứng minh hai đường thẳng song song
Bài 1: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy.Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của OA,OB. Đường vuông góc với OA tại D và đường vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C. Chứng ming rằng: CA // DE
Hướng dẫn:Sử dụng tính chất hình bình hành
+] Tứ giác ECDO là hình chữ nhật [vì có 4 góc vuông]
+] Lại có EC // DA [cùng vuông góc Oy]
=> EC = OD mà OD = DA [gt]; EC = DA
=> tứ giác ECDA là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết hbh]
Bài 2:Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác của góc C cắt BA tại N.
Chứng minh rằng: MN // AC.
Phân tích: Để chứng minh MN // AC có nhiều cách để chứng minh. Theo bài ra cho các đường phân giác của các góc vì thế ta sẽ sử dụng tính chất đường phân giác đưa ra các tỉ lệ bằng nhau, từ đó áp dụng định lý Talet đảo để chứng minh MN // AC
Bài 3:Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm của DE.
a] Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng.
b] Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào?
c] Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất?
Lời giải:
a] Tứ giác ADME có
∠A=∠D=∠E=90∘∠A=∠D=∠E=90∘nên ADME là hình chữ nhật
O là trung điiểm của đường chéo DE nên O cũng là trung điểm của đường chéo AM.
Vậy A, O, M thẳng hàng.
b] Kẻ AH⊥ BC. Tương tự như bài 70 ta có hai cách chứng minh như sau:
- Cách 1:
Kẻ OK⊥ BC. Ta có OA = OM, OK // AH [cùng vuông góc BC]
=> OK = ½. Ạ. Điểm O cách đoạn thẳng BC cố định một khoảng không đổi bằng ½ AH.
Mặt khác khi M trùng C thì O chính là trung điểm của AC, khi M trùng B thì O chính là trung điểm của AB. Vậy O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của tam giác ABC.
- Cách 2:
Vì O là trung điểm của AM nên HO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AM.
Do đó OA = OH. Suy ra điểm O di chuyển trên đường trung trực của AH. Mặt khác vì M di chuyển trên cạnh BC nên O chỉ di chuyển trên cạnh PQ. Vậy điểm O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ABC.
Bạn muốn biết cách chứng minh hình bình hành, hãy tham khảo ngay bài viết dưới đây của GiaiNgo để nhận được câu trả lời xác đáng nhất nhé!
Khái niệm về hình bình hành có lẽ chẳng còn xa lạ gì đối với mỗi người. Nếu bạn đã quên mất cách chứng minh hình bình hành, hãy cùng GiaiNgo ôn lại trong nội dung bài viết dưới đây.
Hình bình hành là gì?
Hình bình hành là gì?
Hình bình hành là tứ giác mà có 2 cặp cạnh đối song song với nhau hoặc 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Hình bình hành là một trường hợp đặc biệt của hình thang.
Ví dụ: Cho hình bình hành MNPQ từ đó ta sẽ được cặp: MN//PQ và MQ//NP.
Dấu hiệu nhận biết hình bình hành
Sau đây là những dấu hiệu nhận biết hình bình hành
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
- Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
Tính chất hình bình hành
Tính chất hình bình hành được thể hiện như sau:
- Các cạnh đối song song và bằng nhau.
- Các góc đối bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Cách chứng minh hình bình hành
Tứ giác có các cạnh đối song song
Cách chứng minh hình bình hành qua các cạnh đối song song
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD như hình dưới đây:
- Điểm E là trung điểm của đoạn thẳng AB.
- Điểm F là trung điểm của đoạn thẳng BC.
- Điểm G là trung điểm của đoạn thẳng DC.
- Điểm H là trung điểm của đoạn thẳng AD.
Các bạn hãy cho biết tứ giác EFGH là hình gì? Chứng minh điều đó?
Bài làm:
Sau khi vẽ hình và nhìn vào hình vẽ, chúng ta có:
- EF là đường trung bình của tam giác ABC, nên ta suy ra được EF // AC.
- HG là đường trung bình của tam giác ADC, nên ta suy ra được HG // AC.
- Từ hai dữ liệu trên chúng ta có thể biết được rằng EF//HC.
Tiếp theo chúng ta có:
- FG là đường trung bình của tam giác BDC, nên FG // BD.
- EH là đường trung bình của tam giác BDA, nên EH // BD.
- Từ dữ liệu trên chúng ta có thể biết được cạnh FG // EH.
Chúng ta xét tứ giác EFGH và thấy được rằng cạnh EF // HG và FG // EH.
Hình tứ giác EFGH là hình bình hành vì nó có hai cặp cạnh đối song song [điều phải chứng minh]
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
Cách chứng minh hình bình hành qua các cạnh đối bằng nhau
Ví dụ: Cho Tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆CDA. Chứng minh rằng ABCD là Hình bình hành.
Bài làm:
Theo bài ra, ta có:
∆ABC = ∆CDA => AD = BC và AB = CD
=> ABCD là hình bình hành dó có các cặp cạnh đối bằng nhau.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm BC. Chứng minh rằng BEDF là hình bình hành.
Bài làm:
Ta có:
ABCD là hình bình hành => AD // BC và AD = BC
AD // BC => DE // BF [1]
E là trung điểm AD => DE = AD/2
F là trung điểm BC => BF = BC/2
Mà AD = BC [ABCD là hình bình hành]
DE = BF [2]
Từ [1] và [2] => Tứ giác DEBF là hình bình hành do có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
Tứ giác có các góc đối bằng nhau
Ví dụ: Cho hình tứ giác ABCD có tam giác ABC = tam giác ADC, tam giác ADB = tam giác CDB. Hãy chứng minh tứ giác trên chính là hình bình hành?
Bài làm:
Dựa theo đề bài đã cho chúng ta có:
- Tam giác ABC= tam giác ADC nên góc B= góc D[1]
- Tam giác ADB = tam giác CDB nên góc A= góc C[2]
Từ 1 và 2 chúng ta có thể kết luận rằng tứ giác ABCD chính là hình bình hành vì nó có các góc đối bằng nhau.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại mỗi trung điểm mỗi đường
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Kẻ thêm đường AE vuông góc với BD và CF vuông góc với BD. Hãy chứng minh rằng tứ giác AFCE là hình bình hành.
Bài làm:
Áp dụng tính chất của hình bình hành chúng ta có AO=OC[1].
Xét tam giác vuông AOE và AOF có:
Góc E= góc F= 90 độ vì góc AOE = góc AOF[ hai đỉnh đối nhau]
Từ đó suy ra được tam giác AOE = tam giác COF nên cạnh OE=OF[2]
Từ[1] và [2] ta kết luận được rằng tứ giác AECE là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Xem thêm: Cách tính diện tích hình bình hành, ví dụ minh họa – Toán 4
Bài tập liên quan đến cách chứng minh hình bình hành
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD [AB > BC]. Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.
Bài làm:
a] Ta có :
Góc B = Góc D”> Góc B = Góc D [Vì ABCD”>ABCD là hình hành] [1]
Góc B1 = Góc B2 = Góc B2″> Góc B1 = Góc B2 [vì BF”> BF là tia phân giác góc B”> Góc B] [2]
Góc D1 = Góc D2 = Góc D2″> Góc D1 = Góc D2 [vì DE”>DE là tia phân giác góc D> Góc D] [3]
Từ [1], [2], [3] ⇒ Góc D2= Góc B1″>⇒ Góc D2 = Góc B1, mà hai góc này ở vị trí so le trong do đó: DE//BF”>DE//BF [*]
b] Tứ giác DEBF có:
DE // BF [chứng minh ở câu a]
BE // DF [vì AB // CD]
Nên theo định nghĩa DEBF là hình bình hành.
Bài 2: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Bài làm:
Tứ giác EFGH là hình bình hành.
EB = EA, FB = FC [gt] nên EF là đường trung bình của ∆ABC.
Do đó EF // AC
Tương tự HG là đường trung bình của ∆ACD.
Do đó HG // AC
Suy ra EF // HG [1]
Tương tự EH // FG [2]
Từ [1] và [2] suy ra EFGH là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết 1].
Vừa rồi GiaiNgo đã chia sẻ cho bạn cách chứng minh hình bình hành. Hy vọng bạn có thể vận dụng bài viết một cách chính xác nhất. Cùng GiaiNgo cập nhật các kiến thức bổ ích khác qua các bài viết sau nha!