11:01:1025/06/2022
Các em đã biết cách chia đơn thức cho đơn thức, biết khi nào đơn thức A chia hết cho đơn thức B, thì cách chia đa thức cho đơn thức hiểu đơn giản là dạng nâng cao hơn của chia đơn thức cho đơn thức.
Vậy cách chia đa thức cho đơn thức thực hiện như thế nào? Quy tắc chia đa thức cho đơn thức ra sao, phát biểu như thế nào? cho ví dụ chia đa thức cho đơn thức và bài tập vận dụng? sẽ được chúng ta sẽ tìm hiểu qua bài viết dưới đây.
1. Đa thức chia cho đơn thức
Với A là đa thức và B là đơn thức, B≠0. Ta nói A chia hết cho B nếu tìm được một biểu thức Q [Q có thể là đa thức hoặc đơn thức] sao cho A= B.Q.
Trong đó:
A là đa thức bị chia.
B là đơn thức chia.
Q là thương.
Kí hiệu: Q= A : B hoặc
2. Phát biểu quy tắc đa thức chia cho đơn thức
• Muốn chia đa thức A cho đơn thức B [trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B], ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
* Lưu ý: Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích thành nhân tử trước để rút gọn cho nhanh.
3. Ví dụ thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức
* Ví dụ 1: Thực hiện phép tích chia đa thức cho đơn thức:
[12x4y3 + 8x3y2 - 4xy2] : 2xy
* Lời giải:
- Ta có: [12x4y3 + 8x3y2 - 4xy2] : 2xy
= [12x4y3 : 2xy] + [8x3y2 : 2xy ] - [4xy2 : 2xy]
= 6x4 - 1.y3 - 1 + 4x3 - 1.y2 - 1 - 2x1 - 1.y2 - 1
= 6x3y2 + 4x2y - 2y
* Ví dụ 2: Thực hiện phép tích chia đa thức cho đơn thức:
[-2x5 + 6x2 - 4x3] : 2x2
* Lời giải:
- Ta có: [-2x5 + 6x2 - 4x3] : 2x2
= [-2x5:2x2] + [6x2:2x2] - [4x3:2x2]
= -x5 - 2 + 3x2 - 2 - 2x3 - 2
= - x3 - 2x + 3.
4. Bài tập chia đa thức cho đơn thức
* Bài tập 1: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức:
[3a2x4 + 8ax3 - 4ax2 ]: [-4ax2]
* Bài tập 2: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức:
[x - 4] + 3[3x2 - x] : [-3x] - [2x + 1]
* Bài tập 3: Tìm số tự nhiên m để đa thức A chia hết cho đơn thức B với:
A = 7xm - 1y5 - 5x3y4;
B = 5x2ym
* Hướng dẫn:
Ta có A:B = [ 7xn - 1 y5 - 5x3y4 ]:[ 5x2yn ] = [7/5]xn - 3 y5 - n - xy4 - n
Theo đề bài đa thức A chia hết cho đơn thức B
Vậy giá trị m cần tìm là m = 3 hoặc m = 4 hay: m ∈ {3; 4}
* Bài tập 4: Tìm đa thức A biết: A.4x4 = 24x9 - 32x8 + 12x5
Hy vọng với bài viết Cách chia đa thức cho đơn thức, Phát biểu quy tắc, Ví dụ và Bài tập chia đa thức cho đơn thức Toán lớp 8 ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.
1. Qui tắc
Muốn chia đa thức \[A\] cho đơn thức \[B\] [trường hợp các hạng tử của đa thức \[A\] đều chia hết cho đơn thức \[B\]], ta chia mỗi hạng tử của \[A\] cho \[B\] rồi cộng các kết quả với nhau.
2. Chú ý
Trường hợp đa thức \[A\] có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh.
3. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức để thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức.
Ví dụ: Thực hiện phép tính \[\left[ -12{{x}^{4}}y+4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right]:\left[ -4{{x}^{2}} \right]\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left[ { - 12{x^4}y + 4{x^3} - 8{x^2}{y^2}} \right]:\left[ { - 4{x^2}} \right]\\ = \left[ { - 12{x^4}y} \right]:\left[ { - 4{x^2}} \right] + \left[ {4{x^3}} \right]:\left[ { - 4{x^2}} \right] - \left[ {8{x^2}{y^2}} \right]:\left[ { - 4{x^2}} \right]\\ = 3{x^2}y - x + 2{y^2}.\end{array}\]
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại \[x = {x_0}\]
Phương pháp:
Thay \[x = {x_0}\] vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.
Nếu biểu thức có nhiều biến thì ta thay lần lượt từng biến theo giả thiết.
Ví dụ:
Tính giá trị biểu thức \[A = \left[ {{x^2}y + {y^2}x} \right]:xy\] tại \[x=1;y=1\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}A = \left[ {{x^2}y + {y^2}x} \right]:xy\\ = {x^2}y:xy + {y^2}x:xy\\ = x + y
\end{array}\]
Với \[x=1;y=1\] ta có: \[A = x + y = 1 + 1 = 2\]
Dạng 3: Tìm \[m\] để phép tính chia cho trước là phép chia hết.
Phương pháp:
Sử dụng nhận xét:
Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu các hạng tử của đa thức \[A\] đều chia hết cho đơn thức \[B\].
Đơn thức \[A\] chia hết cho đơn thức \[B\] khi mỗi biến của \[B\] đều là biến của \[A\] với số mũ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của nó trong \[A\] .
Ví dụ: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:
\[A=7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}}-5{{x}^{3}}{{y}^{4}}\]
\[B=5{{x}^{2}}{{y}^{n}}\]
Ta có:
\[A:B=\left[ 7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}}-5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right]:\left[ 5{{x}^{2}}{{y}^{n}} \right]\]\[=\left[ 7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}} \right]:\left[ 5{{x}^{2}}{{y}^{4}} \right]\]\[-\left[ 5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right]:\left[ 5{{x}^{2}}{{y}^{n}} \right]\]
Đa thức A chia hết cho đơn thức B khi \[\left\{ \begin{array}{l}n - 1 \ge 2\\4 \ge n\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\n \le 4\end{array} \right.\]
\[\Rightarrow 3 \le n \le 4\] mà \[n\in \mathbb N\] nên \[n\in\{3;4\}\]
Loigiaihay.com
Trong toán học, các bạn đã biết đến cách chia đa thức cho đa thức hay chưa? Nếu các bạn vẫn chưa nắm rõ được những kiến thức về cách chia đa thức với đa thức thì đừng bỏ lỡ bài viết này cùng Studytienganh.vn nhé!
1. Cách chia đa thức cho đa thức [ lý thuyết ]
Chia đa thức A cho đa thức B. Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến số [B≠0], khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A=B.Q+R, trong đó R=0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.
[Hình ảnh về lý thuyết chia đa thức cho đa thức]
Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B.
Nếu R=0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.
Các bạn có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia đa thức nhé!
[A3+B3]:[A+B]=A2−AB+ B2
[A3−B3]:[A−B]=A2+AB+B2
[A2−B2]:[A+B]=A−B
Bài tập ví dụ: Hãy áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia dưới đây:
[125 X3+1]:[5x+1]
[X2–2xy+Y2]:[y–x]
Hướng dẫn giải:
[1253+1]:[5x+1]=[[5x]3+1]:[5x+1]= 5x2−5x+1= 252−5x+1
[X2−2xy+Y2]:[y−x]= [x-y]2:[−[x−y]]=−[x−y]=y−x
Hoặc [x2–2xy+y2]:[y−x]=[y2−2xy+x2]:[y−x]
2. Một số cách chia đa thức cho đa thức nâng cao
Cách 1: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức
Phương pháp giải là từ điều kiện đề bài đã cho, các bạn đặt phép chia A:B được kết quả là thương Q và dư R.
[Hình ảnh minh họa phép tính chia đa thức cho đa thức]
Cách 2: Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B.
Bài tập ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức 4n3−4n2−n+4 chia hết cho biểu thức 2n+1
Hướng dẫn giải bài tập:
Thực hiện phép chia hai đa thức 4n3−4n2−n+4 cho 2n+1 ta được:
4n3−4n2−n+4 = [2n+1][n2+1]+3
Từ đó suy ra, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n+1, có nghĩa là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n+1 là ước của 3, ta có:
- 2n+1= 3 ⇔ n=1
- 2n+1=1 ⇔ n=0
- 2n+1= −3 ⇔ n=−2
- 2n+1= −1 ⇔ n=−1
Vây n=1; n=0 ; n=2 sẽ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cách 3: Bên cạnh đó các bạn có thể ứng dụng định lý Bezout khi giải bài toán.
Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan như chia đa thức chứa tham số hay dạng toán chia đa thức với đa thức nguyên hàm.
3. Một số bài toán về phép chia đa thức với đa thức
[Hình ảnh minh họa của phép tính chia đa thức cho đa thức]
Bài tập 1: Tính nhanh những phép đa thức dưới đây:
- [ 4x2 - 9y2] : [2x-3y]
- [ 27x3-1] : [ 3x - 1]
- [ 8x3+1]: [4x2-2x + 1]
- [x2- 3x + xy - 3y] : [ x+y]
Bài giải:
- [4x2- 9y2]: [ 2x - 3y] = [[2x]2- [3y]2]: [2x - 3y] = 2x+3y
- [27x3-1] : [ 3x - 1] = [[3x]3-1] : [ 3x - 1] = [3x]2- 3x + 1 = 9x2- 3x+ 1.
- [ 8x3+1]: [4x2-2x + 1] = [ 2x + 1][ 4x2- 2x+ 1]: [ 4x2- 2x+ 1] = 2x + 1
- [x2- 3x + xy - 3y] : [ x+y] = [ x+y][x-3]: [ x+y] = x-3.
Bài tập 2: Tìm số a để đa thức 2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 2
Bài tập 3: Cho hai đa thức A= 3x4+x3+6x−5 và B=x2+1. Hãy tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A= B.Q+R.
Trên đây là những kiến thức về cách chia đa thức với đa thức mà các bạn có thể tham khảo cùng Studytienganh.vn. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của Studytienganh.vn nhé!