Thể tích khối nón, hình trụ, khối cầu là những kiến thức học trong chương trình hình học lớp 12. Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra những định nghĩa có liên quan đến những hình này.
Hình khối nón là hình học không gian trong đó có đáy là hình tròn có có 1 đỉnh. Tương tự như các hình không gian khác, nó cũng có đường cao, thể tích và đường sinh.
Hình trụ là hình tròn xoay bị giới hạn bởi hai đường tròn và mặt trụ. Hai mặt đáy sẽ là các đường tròn. Nó cũng có các yếu tố như đường cao, thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần.
Hình cầu là tập hợp các điểm trong không gian cách 1 điểm với cùng một khoảng cách. Thông thường các bài tập về hình cầu sẽ ít gặp hơn 2 hình còn lại.
Các dạng bài tập về thể tích khối nón
Các bài tập về khối nón có lẽ là bài tập thường gặp trong các đề thi Toán 12 hay những bài toán thực tế:
- Bài tập tính thể tích khối nón
- Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần
- Tính các yếu tố của hình nón
- Chứng minh không gian
Chắc chắn đây là 4 dạng toán phổ biến nhất liên quan đến chuyên đề này. Mỗi dạng lại có vô số những bài tập vận dụng. Nó yêu cầu khả năng tưởng tượng, ghi nhớ công thức cũng như tư duy của học sinh.
Nhiều bạn học sinh thậm chí khi hết lớp 12 vẫn không thể nào vẽ được hình nón, hình trụ. Chúng tôi nghĩ đơn giản bởi các bạn chưa đủ cố gắng mà thôi. Do đó, luyện tập thật chăm chỉ, “cần cù bù thông minh” là cách tốt nhất để học tốt môn Toán.
Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Cho khối nón có đường sinh dài 5 cm, bán kính của đáy là 3cm. Hãy tính thể tích khối nón đã cho.
Lời giải:
Gọi O là đỉnh của khối nón đã cho
H là tâm hình tròn đáy
B là một điểm bất kì thuộc đường tròn đáy
Theo đề bài đã cho: OB = 5cm. HB = 3cm
Xét tam giác vuông OHB:
OH = √[OB2 – HB2] = √[52 – 32] = 4
Thể tích của khối nón là:
V = 1/3. П. R2. h = 1/3. П. 32 . 4 = 12П [cm3]
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho đường gấp khúc ACB quay quanh AB.
Lời giải:
Xét tam giác vuông ABC tại A ta có:
AC = √[BC2 – AB2] = √[102 – 82] = 6 [cm]
Khi cho đường gấp khúc ACB quay quanh AB ta được một khối nón có đỉnh là B, đường kính hình tròn đáy là AC, đường cao là AB.
Có thể bạn quan tâm: Phương pháp tọa độ trong không gian [bản đầy đủ]
Như vậy, h = 8 cm, R = 6cm
Thể tích của khối nón tạo thành là:
V = 1/3. П. R2. h = 1/3. П. 62 . 8 = 96П [cm3].
Những lưu ý để làm tốt bài tập hình khối
Khối nón, hình trụ, hình cầu, … là những kiến thức quan trọng trong hình học không gian 12. Chắc chắn những kiến thức này sẽ xuất hiện trong đề thi THPT QG môn Toán. Vậy cần lưu ý những gì để làm bài tốt hơn.
Chúng tôi có một vài lời khuyên cho các bạn như sau:
- Nên vẽ hình bất kể làm bài toán hình dễ hay khó. Sau đó hãy liệt kê những giả thiết bằng cách ghi chú vào hình vẽ. Bước này làm trong giấy nháp.
- Khi làm bài tự luận, nên ghi rõ công thức áp dụng. Như vậy, khi ôn tập lại các bạn sẽ nhớ tại sao lại làm như vậy!
- Kiểm tra lại tính toán sau khi đã hoàn thành.
- Có thể sử dụng sơ đồ ngược để tìm ra cách giải cho bài toán
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Sưu tầm: Trần Thị Nhung
Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Các công thức mặt nón, mặt cầu, mặt trụ Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 2 trang, tổng hợp đầy đủ lí thuyết công thức mặt nón, mặt cầu, mặt trụ, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
Bài giảng Toán 12: Mối quan hệ nón - trụ - cầu
CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MẶT NÓN, MẶT TRỤ , MẶT CẦU
1. MẶT NÓN
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có:
+ Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l
+ Diện tích đáy [hình tròn]: Sđ=π.r2
+ Diện tích toàn phần hình tròn: S = Sđ + Sxq
+ Thể tích khối nón: Vnón = B.h = π.r2.h.
2. MẶT TRỤ
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:
+ Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrl
+ Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp=Sxq+Sđ=2πrl+2πr2
+ Thể tích khối trụ: V = Bh = πr2h
3. MẶT CẦU
Cho hình cầu có bán kính R, khi đó:
+] Diện tích mặt cầu: 4πR2
+] Thể tích mặt cầu: 43πR3
Xem thêm
Trang 1
Trang 2
HS cần :
- Nhớ lại và khắc sâu khái niệm hình trụ [đáy, trục, mặt xung quanh, đường sinh, độ dài đường cao của hình trụ, mặt cắt khi nó song song với trục hoặc song song với đáy của hình trụ].
- Nắm chắc và sử dụng thành thạo công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.
- Vận dụng tốt các công thức đã học để tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ trong các bài tập và các hình trụ trong thực tế.
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chương IV: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút TẢI VỀ ở trên
h trụ. Bài 28/120 [SGK] -Nêu công thức và cách tính diện tích xung quanh của xô. -Tính chiều cao của xô rồi áp dụng công thức tính thể tích và tính. 3. Củng cố : Qua bài học chú ý : Nắm chắc các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón; các công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt. Vận dụng tốt công thức trong việc tính toán, giải các bài tập ứng dung thực tế. 4.Hướng dẫn học sinh học ở nhà : Học các công thức tính : Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón; diện tích xung quanh và thể tích của hìnhnón cụt. Làm các bài tập : 25; 26; 29 trang119; 120 . Tiết : 62-63 § 3. HÌNH CẦU. DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU I./ MỤC TIÊU : HS cần : Nhớ lại và nắm chắc các khái niệm của hình cầu : Tâm, bán kính, đường kính, đường tròn lớn, mặt cầu. Vận dụng thành thạo công thức tính diện tích mặt cầu và công thức tính thể tích hình cầu. Thấy được các ứng dụng của các công thức trên trong đời sống thực tế. II./ CHUẨN BỊ : Giáo viên : Các mô hình về hình cầu. Học sinh :Tìm các hình có dạng hình cầu trong thực tế. III./ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY - HỌC TRÊN LỚP : 1. Kiểm tra bài cũ : 2. Dạy - học bài mới : HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH Hoạt động 1 -Dùng mô hình và hình vẽ nhắc lại và giới thiệu các khái niệm : Mặt cầu, tâm và bán kính của hình cầu, mặt cầu. Hoạt động 2:Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng : [SGK] O R Hỏi : Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng thì phần nằm trong hình cầu đó là hình gì ? -Hướng dẫn HS thực hiện [SGK] ° Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm [gọi là đường tròn lớn]. ° Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng không đi Hoạt động 3 : -Giới thiệu công thức tính diện tích mặt cầu : . [R là bán kính, d là đường kính của mặt cầu] -Hướng dẫn HS thực hiện ví dụ [SGK]. Hoạt động 4: Thể tích của hình cầu -Nêu cách so sánh thể tích của hình cầu và thể tích cầu hình trụ, bán kính đáy của hình trụ bằng bán kính của hình cầu, chiều cao của hình trụ bằng đường kính của hình cầu. [Hình 106 SGK]. -Hướng dẫn HS ví dụ [SGK]. Hoạt động 5: . Củng cố : Bài 32 /124 -Nêu cách tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại ? r 2r 1.Hình cầu : [SGK] A O B · A O B · 2.Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng : [SGK] Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng, ta được một hình tròn. -Hoàn thành bảng [SGK]. Từ đó rút ra nhận xét [SGK]. -Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng, ta được một hình tròn. Cắt mặt cầu bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn. ° Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phằng đi qua tâm. ° Đường tròn có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm. 3.Diện tích mặt cầu : Diện tích mặt cầu : [R là bán kính, d là đường kính của mặt cầu] Ví dụ : [SGK] -Gọi d là độ dài đường kính của mặt cầu thứ hai, ta có : Suy ra 4.Thể tích của hình cầu : -Nhận xét : - Sau khi nhấc hình cầu ra khỏi hình trụ : +Độ cao của cột nước còn lại bằng chiều cao của hình trụ. +Do đó thể tích của hình cầu bằng thể tích của hình trụ. Hay Thể tích của hình cầu bán kính R là : -Thực hiện ví dụ [SGK] Thể tích của hình cầu được tính theo công thức : hay Lượng nước ít nhất cần phải có là : Bài 32 /124 [SGK] Diện tích xung quanh của hình trụ Tổng diện tích hai nửa mặt cầu Diện tích cần tính là -Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ [bán kính đường tròn đáy là r cm, chiều cao là 2r cm] và diện tích hai nửa mặt cầu bán kính r cm. 4. Hướng dẫn học sinh học ở nhà : - Học công thức tính diện tích mặt cầu và thể hình cầu . - Làm các bài tập : 33; 34; 35; 36; 37 trang 125; 126 [SGK] Tiết : 64 LUYỆN TẬP I./ MỤC TIÊU : Củng cố và khắc sâu các khái niệm của hình cầu : Tâm, bán kính, đường kính, đường tròn lớn, mặt cầu. Nắm chắc và sử dụng thành thạo công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích của hình cầu. Vận dụng tốt các công thức đã học để tính diện tích mặt cầu thể tích mặt cầu trong các bài tập và các trong thực tế. II./ CHUẨN BỊ : Giáo viên : Các mô hình về hình cầu. Học sinh :Các bài tập về nhà. III./ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY - HỌC TRÊN LỚP : 1.Kiểm tra bài cũ : HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH Hỏi : -Nhắc lại các công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu ? -Diện tích của mặt cầu : -Thể tích của hình cầu : 2.Luyện tập : HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH Bài 34/ 125 -Gọi một HS lên bảng tính diện tích mặt khinh khí cầu. Bài 35/ 126 -Nêu cách tính thể tích của bồn chứa xăng ? [Hình 110 SGK]. -Tính thể tích của hình trụ đường kính 1,80m, chiều cao 3,62m ? -Tính thể tích củ hình cầu đường kính 1,80m ? -Tính thể tích của bồn chứa xăng? Bài 36 / 126 -So sánh h + 2x với AA’ ? -Tính diện tích bề mặt của chi tiết máy theo a và x ? -Tính thể tích của chi tiết máy theo a và x ? h 2x h · · O O’ Bài 37/ 126 -Y êu cầu HS ° Chứng minh . ° Chứng minh AM.BN = OP2, từ đó suy ra AM. BN = R2. ° Từ . Tỉ số ° Tính thể tích của hình cầu do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra. Bài 34/ 125[SGK] -Diện tích mặt khinh khí cầu là : Bài 35/ 126 -Thể tích cần tính bằng tổng thể tích hình trụ và thể tích của một hình cầu đường kính 1,8 m. -Thể tích của hình trụ đường kính 1,80m, chiều cao 3,62m : -Thể tích của hình cầu đường kính 1,80 m: -Thể tích của bồn chứa xăng : Bài 36/ 126 [SGK] h + 2x = AA’ = 2a. -Diện tích bề mặt của chi tiết máy : -Thể tích của chi tiết máy : Bài 37/ 126 [SGK] -Chứng minh -Ta có : AM = MP và BN = NP Vậy AM.BN = MP.PN = OP2 = R2 - Khi thì do AM.BN = R2 Þ BN = 2R. Ta tính được Þ . Vậy - Nửa hình tròn APB quay quanh đường khính AB sinh ra một hình cầu bán kính R, có thể tích là 3. Củng cố : Qua bài học chú ý : Nắm chắc các công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích của hình cầu. Vận dụng tốt công thức trong việc tính toán, giải các bài tập ứng dung thực tế. 4.Hướng dẫn học sinh học ở nhà : Học các công thức tính : Diện tích mặy cầu và thể tích của hình cầu. Làm các bài tập : Tiết : 65-66 ÔN TẬP CHƯƠNG IV I./ MỤC TIÊU : Hệ thống hoá các về hình trụ, hình nón, hình cầu [đáy, chiều cao, đường sinh [với hình trụ và hình nón]]. Hệ thống hoá các công thức tính diện tích xung quanh, thể tích theo bảng ở trang 128]. Rèn luyện kĩ năng áp dụng các công thức vào việc giải toán. II./ CHUẨN BỊ : Giáo viên : Các bài tập ôn tập chương. Học sinh :Các bài tập về nhà. III./ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY - HỌC TRÊN LỚP : 1.Kiểm tra bài cũ : GV : -Đưa ra các hình vẽ về hình trụ, hình nón, hình cầu. -Yều cầu HS nắhc lại công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của các hình. -Lập bảng tóm tắt các kiến thức cần nhớ. Hình Hình vẽ Diện tích xung quanh Thể tích Hình trụ r h Hình nón h r Hình cầu · R · 2. Ôn tập : HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH Bài 38/ 129 -Nêu cách tính thể tích của chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình vẽ ? -Nêu cách tính diện tích bề mặt chi tiết máy ? 11 cm 2 cm 7 cm 7 cm Bài 40/ 129 o 5,6m · 2,5m a] · 3,6m 4,8m b] -Gọi một HS lên bảng tính diện tích toàn phần của hình nón [hình a] và một HS lên bảng tính diện tích toàn phần của hình nón [hình b]. Bài 41/ 129 a]Gọi một HS lên bảng chứng minh . Từ đó suy ra AC.BD = ab [không đổi] . b]Hỏi: Có nhận xét gì về ? -Yêu cầu HS tính AC, BD. Từ đó tính diện tích SABCD . c]-Khi quay hình vẽ quanh AB. thì các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành là hình gì ? -Yêu cầu HS tình tỉ số thể tích của hai hình nón tạo thành. Bài 45/ 131 r cm · · · O Hỏi : Cho biết bán kính của hình cầu, bán kính của đáy hình trụ, chiều cao của hình trụ ? -Yêu cầu HS tính thể tích của hình cầu, thể tích của hình trụ, từ đó suy ra hiệu thể tích hình trụ và thể tích của hình cầu. -Yêu cầu HS tính thể tích của hình nón có bán kính đáy r cm, chiều cao 2r cm. Hỏi : So sánh thể tích hình nón nội tiếp trong hình trụ với hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu nội tiếp trong hình trụ ấy ? Bài 38/ 129 [SGK] -Thể tích của phần cần tính là tổng các thể tích của hai hình trụ. -Tính thể tích của hình trụ có đường kính đáy là 11 cm, chiều cao là 2 cm. -Tính thể tích của hình trụ có đường kính đáy là 6 cm, chiều cao là 7 cm. -Tính tổng thể tích của hai hình trụ là thể tích của chi tiết máy. -Diện tích bề mặt chi tiết máy bằng tổng diện tích hai mặt xung quanh của hai hình trụ và diện tích hai đáy của hình trụ lớn. -Thể tích chi tiết máy là : -Diện tích bề mặt của chi tiết máy : Bài 40/ 129 [SGK] -Một HS lên bảng tính diện tích toàn phần của hình nón [hình a]. Diện tích toàn của hình nón [hình a] : -Một HS lên bảng tính diện tích toàn phần của hình nón [hình b]. Diện tích toàn phần của hình nón [hình b] : Bài 41/ 129 [SGK] Một HS lên bảng chứng minh . Từ đó suy ra AC.BD = ab [không đổi]. a] và có : nên [Không đổi] [*] b] vuông ở A có nên là nửa tam giác đều. -Các hình nón. c]Khi quay hình vẽ xung quanh cạnh AB: ° AOC tạo nên hình nón, bán kính đáy là AC, chiều cao AO. ° BOC tạo nên hình nón, bán kính đáy BD và chiều cao OB. Ta có : -Tỉ số của hai hình nón tạo thành : Bài 45/ 131 [SGK] -Một HS lên bảng tính thể tích hình cầu, thể tích của hình trụ. Từ đó suy ra hiệu giữa thẻ tích hình trụ và hình cầu. a]Thể tích của hình cầu bán kính r cm là . b]Thể tích của hình trụ có bán kính r cm và chiều cao 2r cm : c]Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu : -Một HS lên bảng tính thể tích của hình nón có bán đáy r cm, chiều cao 2r cm. Thể tích hình nón có bán kính đáy r cm, chiều cao 2r cm là : e]Thể tích hình nón “nội tiếp” trong một hình trụ bằng hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu nội tiếp trong hình trụ ấy. 3. Củng cố : -Vận dụng tốt công thức trong việc tính toán, giải các bài tập ứng dung thực tế. 4.Hướng dẫn học sinh học ở nhà : Học các công thức tính : Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của các hình. Bài tập về nhà : 43/ 130 [SGK].