Công thức tính nhanh Hình học 12 chương 2

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12MỤC LỤCPHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN.................................................................................................. 541. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP.......................................................................... 542. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN ............................................ 542.1. Khái niệm về hình đa diện ..................................................................................... 542.2. Khái niệm về khối đa diện ..................................................................................... 543. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU .................................................................................... 553.1. Phép dời hình trong không gian ............................................................................ 553.2. Hai hình bằng nhau ............................................................................................... 564. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN ................................................. 565. KHỐI ĐA DIỆN LỒI .................................................................................................. 565.1. Khối đa diện lồi ..................................................................................................... 565.2. Khối đa diện đều ................................................................................................... 575.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi ....................................................... 586. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ....................................................................................... 586.1. Thể tích khối chóp ................................................................................................. 586.2. Thể tích khối lăng trụ............................................................................................. 586.3. Thể tích khối hộp chữ nhật .................................................................................... 596.4. Thể tích khối lập phương....................................................................................... 596.5. Tỉ số thể tích .......................................................................................................... 596.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt ............................................................ 597. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG ........................................................................... 607.1. Hệ thức lượng trong tam giác ................................................................................ 607.2. Các công thức tính diện tích .................................................................................. 608. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP 619. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN................................................ 63PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU ................................................................ 641. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN ................................................................ 641.1. Mặt nón tròn xoay ................................................................................................. 641.2. Khối nón ................................................................................................................ 641.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng ........................................................................... 652. MẶT TRỤ TRÒN XOAY ............................................................................................ 652.1. Mặt trụ .................................................................................................................. 652.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay ............................................................... 653. MẶT CẦU – KHỐI CẦU ............................................................................................ 66Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 51TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 123.1. Mặt cầu .................................................................................................................. 663.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ........................................................... 663.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng ....................................................... 673.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu ............................................................ 674. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI ...................................................... 684.1. Bài toán mặt nón .................................................................................................... 684.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ .............................................. 715. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU................. 725.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ............................................................................. 725.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp..................................................... 755.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ...................................... 755.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện ....................... 765.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu ..................................................... 776. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY ...................... 786.1. Chỏm cầu .............................................................................................................. 786.2. Hình trụ cụt ........................................................................................................... 786.3. Hình nêm loại 1 ..................................................................................................... 796.4. Hình nêm loại 2 ..................................................................................................... 796.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay ..................................................................... 796.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip ........................................... 796.7. Diện tích hình vành khăn ....................................................................................... 796.8. Thể tích hình xuyến [phao] .................................................................................... 79PHẦN 3. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ ......................................... 801. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ...................................................................................... 801.1. Các khái niệm và tính chất ..................................................................................... 801.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp ........................................................... 822. MẶT PHẲNG.............................................................................................................. 822.1. Các khái niệm và tính chất ..................................................................................... 822.2. Viết phương trình mặt phẳng................................................................................. 832.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng......................................................................... 852.4. Khoảng cách và hình chiếu .................................................................................... 852.5. Góc giữa hai mặt phẳng ........................................................................................ 862.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu..................................................................................................................................... 863. ĐƯỜNG THẲNG ....................................................................................................... 873.1. Phương trình của đường thẳng .............................................................................. 87Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 52TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 123.2. Vị trí tương đối ...................................................................................................... 873.3. Góc trong không gian ............................................................................................ 903.4. Khoảng cách .......................................................................................................... 903.5. Lập phương trình đường thẳng ............................................................................. 913.6. Vị trí tương đối ...................................................................................................... 943.7. Khoảng cách .......................................................................................................... 943.8. Góc ........................................................................................................................ 954. MẶT CẦU ................................................................................................................... 954.1. Phương trình mặt cầu ............................................................................................ 954.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng ............................................................................. 964.3. Một số bài toán liên quan....................................................................................... 965. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN ...................................... 995.1. Dạng 1 ................................................................................................................... 995.2. Dạng 2 ................................................................................................................... 995.3. Dạng 3 ................................................................................................................... 995.4. Dạng 4 ................................................................................................................... 995.5. Dạng 5 ................................................................................................................... 995.6. Dạng 6 ................................................................................................................... 995.7. Dạng 7 ................................................................................................................. 1005.8. Dạng 8 ................................................................................................................. 1005.9. Dạng 9 ................................................................................................................. 1005.10. Dạng 10 ............................................................................................................. 100Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 53TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP Khối lăng trụ [chóp] là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ [chóp]kể cả hình lăng trụ [chóp] ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởimột hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy. Điểm không thuộc khối lăng trụ [khối chóp, khối chóp cụt] được gọi là điểm ngoàicủa khối lăng trụ [khối chóp, khối chóp cụt]. Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng khôngthuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ [khối chóp, khối chóp cụt] đó được gọi làđiểm trong của khối lăng trụ [khối chóp, khối chóp cụt].B'SC'D'A'F'NE'ABBCDMAFEDC2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN2.1. Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện [gọi tắt là đa diện] là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giácthỏa mãn hai tính chất: Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnhchung, hoặc chỉ có một cạnh chung. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theothứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.2.2. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đadiện đó.Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 54TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi làđiểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tậphợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giaonhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài làchứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó.dMieàn ngoaøiÑieåm trongNÑieåm ngoaøiM3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU3.1. Phép dời hình trong không gianTrong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ' xác định duy nhấtđược gọi là một phép biến hình trong không gian.Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cáchgiữa hai điểm tùy ý.* Một số phép dời hình trong không gian:3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ vNội dungHình vẽLà phép biến hình biến mỗi điểm M thành M ' sao cho MM '  v .M'vM 3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng PNội dungHình vẽ Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc P biến mỗi điểm M không thuộc PMthành chính nó,thành điểm M ' sao choP  là mặt phẳng trung trực của MM ' .Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P  biến hình  H  thànhchính nó thì  P  được gọi là mặt phẳng đối xứng của  H  .IPM'Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 55TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 123.1.3. Phép đối xứng qua tâm ONội dungHình vẽLà phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗiđiểm M khác O thành điểm M ' sao cho O là trung điểm MM 'M'O Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nó thìMO được gọi là tâm đối xứng của  H 3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng  [phép đối xứng trục  ]Nội dungHình vẽLà phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc  thành điểmM ' sao cho  là đường trung trực của MM ' .M'I Nếu phép đối xứng trục  biến hình H thành chính nó thìM được gọi là trục đối xứng của  H * Nhận xét: Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.  thành đa diện H '  , biến đỉnh, cạnh, mặt của H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của  H '  . Phép dời hình biến đa diện H3.2. Hai hình bằng nhauHai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thànhhình kia.4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆNNội dungHình vẽ  H  sao cho H  và H  không có chung điểm trong nàothì ta nói có thể chia được khối đa diện  H  thành hai khốiđa diện  H  và  H  , hay có thể lắp ghép hai khối đa diệnH  và H  với nhau để được khối đa diện H  .Nếu khối đa diện H là hợp của hai khối đa diện H 1 ,21112[H1]22[H][H2]5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI5.1. Khối đa diện lồiMột khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nóthì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó.Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 56TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Khối đa diện lồiKhối đa diện không lồi5.2. Khối đa diện đều5.2.1. Định nghĩa Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: Các mặt là những đa giác đều n cạnh. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.  Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n, p .5.2.2. Định lí     Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại 3; 3 , loại 4; 3 , loại 3; 4 , loại 5;3 , loại 3;5 .Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khốilập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.5.2.3. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đềuKhối đa diện đềuSốSốSốLoạiSố MPĐXđỉnhcạnhmặtTứ diện đều4643; 36Khối lập phương81264; 39Bát diện đều61283; 4Mười hai mặt đều2030125; 3915Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 57TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Hai mươi mặt đều12303;52015 Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt.Khi đó: p Đ  2C  nM .5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi5.3.1. Kết quả 1Cho một khối tứ diện đều. Khi đó: Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều; Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều [khối támmặt đều].5.3.2. Kết quả 2Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.5.3.3. Kết quả 3Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương.5.3.4. Kết quả 4Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùngthuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khốibát diện đều. Khi đó: Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau; Ba đường chéo bằng nhau.6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN6.1. Thể tích khối chópNội dungV Hình vẽ1S .h3 đáy S đáy : Diện tích mặt đáy. h : Độ dài chiều cao khối chóp.VS.ABCD 1d.S3 S,ABCD  ABCD6.2. Thể tích khối lăng trụNội dungHình vẽSưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 58TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12V  S đáy .h S đáy : Diện tích mặt đáy. h : Chiều cao của khối chóp.Lưu ý:Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.6.3. Thể tích khối hộp chữ nhậtNội dungHình vẽV  a.b.c6.4. Thể tích khối lập phươngNội dungHình vẽV  a36.5. Tỉ số thể tíchNội dungVS .AB C VS .ABCHình vẽSA SB  SC ..SA SB SCSV hB  B   BB 3B’A’Thể tích hình chóp cụt ABC .AB C C’ABCVới B, B , h là diện tích hai đáy và chiều cao.6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là : a 2  b 2  c 2 Đường cao của tam giác đều cạnh a là:a 32Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 59TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 127. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG7.1. Hệ thức lượng trong tam giác7.1.1. Cho ABC vuông tại A , đường cao AH222 AB  AC  BC AB 2  BH .BC2 AC  CH .BC AH .BC  AB.AC2 AH  BH .HC11122AHABAC 2 AB  BC . sin C  BC . cos B  AC . tan C  AC . cot B7.1.2. Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài các trung tuyến là ma , mb , mc bán kínhđường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi p. Định lí hàm số cosin:a 2  b 2  c 2 - 2bc.cos A; b 2  c 2  a 2  2ca.cos B; c 2  a 2  b 2  2ab.cos C Định lí hàm số sin:abc 2Rsin A sin B sin C Độ dài trung tuyến:ma2 b2  c2 a 2c2  a 2 b2a 2  b2 c2 ; mb2  ; mc2 2424247.2. Các công thức tính diện tích7.2.1. Tam giác111 S  a.ha  b.hb  c.hc222111 S  bc sin A  ca.sin B  ab sin C222abc4R S  pr S  S  p p a p b p c ABC vuông tại A : S AB.AC BC .AH22 ABC đều, cạnh a : AH a 3a2 3, S 247.2.2. Hình vuông2 S a[ a : cạnh hình vuông]Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 60TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 127.2.3. Hình chữ nhật S  ab[ a, b : hai kích thước]7.2.4. Hình bình hành S = đáy  cao  AB. AD.sin BAD7.2.5. Hình thoi  1 AC.BD S  AB. AD.sin BAD27.2.6. Hình thang1a  b h [ a, b : hai đáy, h : chiều cao]27.2.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC & BD S  S 1AC .BD28. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶPNội dungChohìnhchópSAB  , SBC  , SAC SABCvớiHình vẽcácmặtphẳngAvuông góc với nhau từng đôi một,diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt là S 1, S2 , S3 .Khi đó: VS .ABC C2S1.S2 .S33BCho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với ABC ,hai mặt phẳngSSAB vàSBC  vuôngSgóc với nhau,  , ASB .BSCCA3Khi đó: VS .ABC SB . sin 2 . tan 12BCho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đềucạnh bằng a, cạnh bên bằng b .Khi đó: VS .ABC a 2 3b 2  a 212SCAGMBCho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng aSvà mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  .Khi đó: VS .ABC a 3 tan 24CAGMBSưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 61TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh bênbằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  .3b 3 .sin  cos2 4Khi đó: VS .ABC SCAGMBCho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh đáybằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  .Khi đó: VS .ABC a 3 . tan 12SCAGMBCho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD làhình vuông cạnh bằng a, và SA  SB  SC  SD  b .Khi đó: VS .ABC Sa 2 4b 2  2a 26DAMOCBCho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằngSa, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là  .Khi đó: VS .ABCD a 3 . tan 6ADMOBCCho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằngS   với     ;  a, SAB4 2Khi đó: VS .ABCD a3D2tan   16AMOCBCho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh bênSbằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là  với    0;  .A232  tan  2MO4a 3 . tan Khi đó: VS .ABCD DBC3Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 62TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằngS a. Gọi P là mặt phẳng đi qua A song song với BC vàFNA vuông góc với SBC , góc giữa P với mặt phẳng đáy làECxG.Khi đó: VS .ABCDBa 3 cot 24Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lậpA'B'O'phương cạnh a.Khi đó: V MD'a36O1C'O2O4AO3BODCCho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bênSta được khối lập phương.G22a 3 2Khi đó: V 27DA G1NMCBS'9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆNCông thứcĐiều kiện tứ diệnabc1  cos2   cos2   cos2   2cos cos  cos6Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diệnSA  a, SB  b, SC  c ASB  , BSC   , CSA  1VABCD  abd sin 6Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và gócAB  a,CD  bd AB,CD  d, AB,CD  VS.ABC 2 cạnh đóVSABC 2S 1S 2 sin 3aCông thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữaS SAB  S1, S SAC  S2, SA  a SAB , SAC  2 mặt kềabcSA  a, SB  b, SC  csin  sin  sin 6  SAB ,  SAC   Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc nhị diện ASB   , ASC  VS .ABC Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 63TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12VABCD a3 212VABCD 212aTứ diện đềutất cả các cạnh bằng a2 b2  c2 b 2  c2  a 2 a 2  c2  b2Tứ diện gần đềuAB  CD  aAC  BD  bAD  BC  cPHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN1.1. Mặt nón tròn xoayNội dungHình vẽĐường thẳng d ,  cắt nhau tại O và tạo thành góc   với 00    900 , mp P chứa d , . P quay quanh trục với góc  không đổi  mặt nón tròn xoay đỉnh O.  gọi là trục. d được gọi là đường sinh. Góc 2  gọi là góc ở đỉnh.1.2. Khối nónNội dungHình vẽLà phần không gian được giới hạn bởi một hình nóntròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộckhối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón.Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hìnhnón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón.Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh,mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r . Diện tích xung quanh: của hình nón: S xq   rl . Diện tích đáy [hình tròn]: S đáy   r 2 . Diện tích toàn phần: của hình nón: S tp   rl   r 2 . Thể tích khối nón: V 1 2r h .3Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 64TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 121.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳngĐiều kiệnKết quảCắt mặt nón tròn xoay bởi mp [Q ] đi qua đỉnh của mặt nón. mp[Q ] cắt mặt nón theo 2 đường sinh. Thiết diện là tam giác mp[Q ] tiếp xúc với mặt nón theo một đườngcân. [Q ] là mặt phẳng tiếpsinh.diện của hình nón.Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp [Q ] không đi qua đỉnh của mặt nón. mp[Q ] vuông góc với trục hình nón. Giao tuyến là 1 đườngparabol. mp[Q ] song song với 2 đường sinh hình nón. mp[Q ] song song với 1 đường sinh hình nón. Giao tuyến là 2 nhánhcủa 1 hypebol. Giaotuyếnlàmộtđường tròn.2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY2.1. Mặt trụNội dungHình vẽTrong mặt phẳng  P  cho hai đường thẳng  và lsong song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r . Khiquay mặt phẳng  P  xung quanh  thì đường thẳng lsinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay,gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng  gọi là trục. Đường thẳng l là đường sinh. r là bán kính của mặt trụ đó.2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoayNội dungHình vẽTa xét hình chữ nhật ABCD . Khi quay hình chữ nhậtABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó,chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB sẽ tạothành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt làhình trụ. Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi làhai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ. Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 65TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanhAB gọi là mặt xung quanh của hình trụ. Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hìnhtrụ.Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ trònxoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoàicủa khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi lànhững điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụcũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiềucao h, đường sinh l và bán kính đáy r. Diện tích xung quanh: S xq  2 rl . Diện tích toàn phần: S tp  2 rl  2 r 2 . Thể tích: V   r 2h .3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU3.1. Mặt cầuNội dungHình vẽCho điểm I cố định và một số thực dương R .Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách Imột khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I , bán kính R.Kí hiệu: S I ; R . Khi đó: S I ; R  M IM  R3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng  Cho mặt cầu S I ; R và mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P  d  IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng P . Khi đó:d RMặt cầu và mặt phẳngkhông có điểm chung.d RMặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:d RMặt phẳng cắt mặt cầu theoP là mặt phẳng tiếp diện của thiết diện là đường tròn có tâmIvàbánkínhmặt cầu và H : tiếp điểm.r  R 2  IH 2Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 66TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Lưu ý:  Khi mặt phẳng Pđi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng P được gọi là mặt phẳngkính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳngCho mặt cầu S I ; R và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của I lên  . Khi đó:IH  R không cắt mặt cầu.IH  R tiếp xúc với mặt cầu.  : Tiếp tuyến của SIH  R cắt mặt cầu tại haiđiểm phân biệt.H : tiếp điểm.Lưu ý:  Trong trường hợp  cắt S tại 2 điểm A, B thì bán kính R của S được tính như sau: d I ;   IH2 AB  .222R  IH  AH  IH   2 3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầuNội dungHình vẽGiao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ làtrục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.Giao tuyến [nếu có] của mặt cầu với các mặt phẳngvuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là haicực của mặt cầu* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện:Nội dungHình vẽMặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếpxúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đadiện ngoại tiếp mặt cầu.Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 67TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnhcủa hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hìnhđa diện nội tiếp mặt cầu.Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chópS .ABCD khi và chỉ khiOA  OB  OC  OD  OS  rCho mặt cầu S I ; R2 Diện tích mặt cầu: S  4 R . Thể tích khối cầu: V 4 R3 .34. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI4.1. Bài toán mặt nón4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳngNội dungHình vẽThiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giáccân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là nhữngđường tròn có tâm nằm trên trục củahình nón.4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nónCho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh l .Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳngchứa thiết diện là d.Nội dungHình vẽSưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 68TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó: AC  SMI. Góc giữa SAC và ABC là góc SMI  Góc giữa SAC  và SId  I , SAC    IH  d..là góc MSIDiện tích thiết diện11Std  SSAC  SM.AC SI 2  IM 2 .2 AI 2  IM 222h 2d 2h 2d 22 r2  2.hh  d2h2  d 24.1.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chópNội dungHình vẽHình nón nội tiếp hình chóp S .ABCD đều là hình nóncó đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCDHình chóp tứ giác đềuS .ABCDS.Khi đó hình nón có:AB,2 Đường cao h  SI , đường sinh l  SM. Bán kính đáy r  IM ADIMBCHình nón ngoại tiếp hình chóp S .ABCD đều là hình nón Hình chópcó đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông S .ABCDABCD .tứgiácđềuSKhi đó hình nón có: Bán kính đáy: r  IA AC AB 2.22ADICB Chiều cao: h  SI . Đường sinh: l  SA.Hình nón nội tiếp hình chóp S .ABC đều là hình nón có Hình chóp tam giác đềuđỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC .S .ABCSKhi đó hình nón có Bán kính đáy: r  IM  Chiều cao: h  SI . Đường sinh: l  SM .AM AB 3.36ACIMBHình nón ngoại tiếp hình chóp S .ABC đều là hình nón Hình chóp tam giác đềucó đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .S .ABCSưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 69TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12SKhi đó hình nón có: Bán kính đáy: r  IA 2AM AB 3.33 Chiều cao: h  SI .Đường sinh: l  SA.CAMIB4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụtKhi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm tronghình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hìnhnón cụt.Nội dungHình vẽKhi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song vớiđáy thì được mặt cắt là một hình tròn.Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song vớitrục thì được mặt cắt là một hình thang cân.rCho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính đáylớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.hDiện tích xung quanh của hình nón cụt:S xq   l R  r .RDiện tích đáy [hình tròn]:S đáy 1   r 22SR đáy 2Sđáy  r 2  R2 .Diện tích toàn phần của hình nón cụt:S tp   l R  r   r 2   R 2 .Thể tích khối nón cụt:V 1 h R2  r 2  Rr .34.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hìnhquạtNội dungHình vẽSưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 70TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Từ hình tròn O; R cắt bỏ đi hình quạt AmB. Độ dàicung AnB bằng x. Phần còn lại của hình tròn ghép lạiđược một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dàiđường sinh của hình nón đó.Hình nón được tạo thành cól  R2.2 r  x  r xh  l 2  r 24.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳngNội dungHình vẽThiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính RThiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trongOAGMBđó AB  2R và AD  h . Nếu thiết diện qua trục là mộthình vuông thì h  2R .Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hìnhchữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục là:d OO '; BGHCCDH   OM4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáyNội dungHình vẽNếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên haiđáy của hình trụ thì:VABCD 1AB.CD.OO '.sin AB,CD6OA* Đặc biệt:Nếu AB và CD vuông góc nhau thì:1VABCD  AB.CD.OO ' .64.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cáchCO'DNội dungHình vẽGóc giữa AB và trục OO ' :AB, OO '  A ' ABBOAO'A'Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142BPage 71TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Khoảng cách giữa AB và trục OO ' :OAd AB;OO '  OM .O'MA'Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụAOBBthì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo củahình trụ.INghĩa là cạnh hình vuông:DO'AB 2  4R2  h 2 .C4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khốitrụ trong bài toán tối ưuNội dungHình vẽMột khối trụ có thể tích V không đổi.Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tíchtoàn phần nhỏ nhất:VR  34Stp min  h  2 3 V4Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tíchxung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất:VR  3S min  h  3 V4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứngCho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì4V9Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ABCD.A ' B 'C ' D ' ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tíchthể tích khối trụ là V[T] xung quanh hình trụ là S xq thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là S xq 2S5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện5.1.1. Các khái niệm cơ bảnTrục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy vàvuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy  Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giácthì cách đều các đỉnh của đa giác đó.Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 72TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng vàvuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuônggóc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópTâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nóicách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặtphẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phươngNội dungHình vẽTâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật[hình lập phương]  Tâm là I , là trung điểm của AC ' .Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữnhật [hình lập phương]. Bán kính: R AC '.25.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường trònNội dungHình vẽXét hình lăng trụ đứng A1A2A3 ...An .A1' A2' A3' ...An' , trong đó A ...An và A1' A2' A3' ...An' nội tiếp đường tròn Ocó 2 đáy AA1 2 3 và O ' . Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: Tâm: I với I là trung điểm của OO ' . Bán kính: R  IA1  IA2  ...  IAn' .5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuôngNội dung  SBC  900 .Hình chóp S .ABC có SACHình vẽ Tâm: I là trung điểm của SC .SC IA  IB  IC .2Hình chóp S .ABCD có  SBC  SDC  900 .SAC Bán kính: R  Tâm: I là trung điểm của SC . Bán kính: R SC IA  IB  IC  ID .2Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 73TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 125.1.3.4. Hình chóp đềuNội dungHình vẽCho hình chóp đều S .ABC ... Gọi O là tâm của đáy  SO là trục của đáy. Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnhbên, chẳng hạn như mp SAO , ta vẽ đường trungtrực của cạnh SA là  cắt SA tại M và cắt SOtại I  I là tâm của mặt cầu.Bán kính:Tacó:R  IS SMI ∽ SOA SM SISO SABánkính:SM.SA SA2 IA  IB  IC  ...SO2SO5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáyNội dungHình vẽCho hình chóp S .ABC ... có cạnh bên SA   ABC... vàđáy ABC ... nội tiếp được trong đường tròn tâm O .Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS .ABC ... được xác định như sau: Từ tâm O ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽđường thẳng d vuông góc với mp ABC... tại O . Trong mp d, SA , ta dựng đường trung trực  củacạnh SA , cắt SA tại M , cắt d tại I  I là tâm mặtcầu ngoại tiếp hình chóp và bán kínhR  IA  IB  IC  IS  ... Tìm bán kínhTa có: MIOB là hình chữ nhật.Xét MAI vuông tại M có:2 SA R  AI  MI  MA  AO   . 2 2225.1.3.6. Hình chóp khác-Dựng trục  của đáy.-Dựng mặt phẳng trung trực  của một cạnh bên bất kì.-     I  I-Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặpSưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 74TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đườngthẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việcxác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.OOHình vuông: O là giaođiểm 2 đường chéo.OHình chữ nhật: O là giaođiểm của hai đường chéo.∆ đều: O là giao điểm của 2đường trung tuyến [trọng tâm].OO∆ vuông: O là trung điểmcủa cạnh huyền.∆ thường: O là giao điểm của hai đườngtrung trực của hai cạnh ∆.5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chópNội dungHình vẽCho hình chóp S .A1A2 ...An [thoả mãn điều kiện tồn tạimặt cầu ngoại tiếp]. Thông thường, để xác định mặt cầuSngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:I Bước 1:OXác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giácđáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giácDACHđáy.B Bước 2:Lập mặt phẳng trung trực [ ] của một cạnh bên.Lúc đó Tâm O của mặt cầu:   mp[  ]  O Bán kính: R  SA  SO . Tuỳ vào từng trườnghợp.5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáyNội dungHình vẽSưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 75