Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có trung tuyến AM [\[M\] là trung điểm của \[BC\]]. Phân tích vec tơ \[\overrightarrow {AM} \] theo hai vec tơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AC} \].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \[E, F\] lần lượt là trung điểm của \[AB, AC\].
- Sử dụng tính chất hình bình hành để suy ra kết quả.
Lời giải chi tiết
Gọi \[E, F\] lần lượt là trung điểm của \[AB, AC\].
ME là đường trung bình tam giác nên ME//AC và \[ME=\frac{1}{2}AC\]
Mà \[AF = \frac{1}{2}AC\] nên ME=AF.
Lại có ME//AF nên tứ giác \[AFME\] là hình bình hành nên \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \].
Chú ý:
Có thể chứng minh cách khác như sau:
Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \]
Hay \[\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right]\]\[ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]
Cách 3:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right]\\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}
\end{array}\]