Đề bài
Cho hình chóp tam giác đều \[S.ABC\] có cạnh đáy bằng \[a\], diện tích một mặt bên bằng \[\dfrac{{5\sqrt 3 {a^2}}}{{12}}\]. Thể tích của hình chóp bằng:
A. \[\dfrac{{\sqrt 6 }}{{24}}{a^3}\] B. \[\dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}{a^3}\]
C. \[\dfrac{{\sqrt 6 }}{4}{a^3}\] D. \[\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \[O\] là tâm tam giác đáy, \[N\] là trung điểm \[AB\].
- Tính độ dài chiều cao và diện tích đáy.
- Tính thể tích theo công thức \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Lời giải chi tiết
Tam giác \[ABC\] đều có \[{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\] và \[CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Rightarrow ON = \dfrac{1}{3}CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\].
Tam giác \[SAB\] có \[{S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}AB.SN\] \[ \Rightarrow SN = \dfrac{{2{S_{SAB}}}}{{AB}} = \dfrac{{2.\dfrac{{5\sqrt 3 {a^2}}}{{12}}}}{a} = \dfrac{{5\sqrt 3 a}}{6}\].
Tam giác \[SON\] vuông tại \[O\] có \[SO = \sqrt {S{N^2} - O{N^2}} \] \[ = \sqrt {\dfrac{{75{a^2}}}{{36}} - \dfrac{{3{a^2}}}{{36}}} = a\sqrt 2 \]
Vậy thể tích khối chóp \[{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABC}}\] \[ = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\].
Chọn B.