Đề bài
Tìm giá trị của a sao cho phương trình
\[{x^2} - 6ax + 2 - 2a + 9{a^2} = 0\]
có hai nghiệm dương phân biệt và đều lớn hơn 3.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\Delta ' = 9{a^2} - \left[ {2 - 2a + 9{a^2}} \right]\] \[ = 2a - 2\]
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt lớn hơn \[3\] [nghĩa là \[{x_1} > 3,{x_2} > 3\]]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left[ {{x_1} - 3} \right] + \left[ {{x_2} - 3} \right] > 0\\\left[ {{x_1} - 3} \right]\left[ {{x_2} - 3} \right] > 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 2 > 0\\\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] - 6 > 0\\{x_1}{x_2} - 3\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] + 9 > 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\6a - 6 > 0\\2 - 2a + 9{a^2} - 3.6a + 9 > 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\a > 1\\9{a^2} - 20a + 11 > 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\left[ \begin{array}{l}a > \dfrac{{11}}{9}\\a < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a > \dfrac{{11}}{9}\]
Vậy \[a > \dfrac{{11}}{9}\].
Cách khác:
Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai Trong trái ngoài cùng
\[\Delta ' = 9{a^2} - \left[ {2 - 2a + 9{a^2}} \right]\] \[ = 2a - 2\]
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt lớn hơn \[3\] \[ \Leftrightarrow \] tam thức bậc hai \[f\left[ x \right] = {x^2} - 6ax + 2 - 2a + 9{a^2}\] có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \[3 < {x_1} < {x_2}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\af\left[ 3 \right] > 0\\\dfrac{S}{2} > 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 2 > 0\\1.\left[ {{3^2} - 6a.3 + 2 - 2a + 9{a^2}} \right] > 0\\3a > 3\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\9{a^2} - 20a + 11 > 0\\a > 1\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\left[ \begin{array}{l}a > \dfrac{{11}}{9}\\a < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a > \dfrac{{11}}{9}\]
Chú ý: Điều kiện \[af\left[ 3 \right] > 0\] là do \[3 < {x_1} < {x_2}\] nghĩa là \[3\] nằm ngoài khoảng hai nghiệm, do đó \[f\left[ 3 \right]\] cùng dấu với \[a\] hay \[af\left[ 3 \right] > 0\].