BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tính chất
sin α = sin[180o – α]
cos α = –cos[180o – α]
tan α = –tan[180o – α]
cot α = –cot[180o – α]
2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
3. Góc giữa hai vectơ
a] Định nghĩa
Cho hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] đều khác vectơ 0 .Từ một điểm O bất kì ta vẽ \[ \overrightarrow{OA}=\vec{a}\,\,va\,\,\overrightarrow{OB}=\vec{b} \] Góc \[ \widehat{AOB} \] với số đo từ 0o đến 180o được gọi là góc giữa hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] là \[ [\vec{a},\vec{b}] \] .
Nếu \[ [\vec{a},\vec{b}] \] = 90o thì ta nói rằng \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] vuông góc với nhau, kí hiệu là \[ \vec{a}\bot \vec{b} \] hoặc \[ \vec{b}\bot \vec{a} \]
b] Chú ý. Từ định nghĩa ta có \[ [\vec{a},\vec{b}]=[\vec{b},\vec{a}] \] .
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ
Độ dài vecto
- Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vecto \[ \overrightarrow{a} \] được ký hiệu là \[ |\overrightarrow{a}| \]
Do đó đối với các vectơ \[ \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{PQ}},\ldots \] ta có:
\[ |\overrightarrow{\text{AB}}|=\text{AB}=\text{BA};|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\text{PQ}=\text{QP} \]
- Phương pháp: muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
- Trong hệ tọa độ: Cho \[ \overrightarrow{\text{a}}=\left[ {{\text{a}}_{1}};{{\text{a}}_{2}} \right] \]
Độ dài vectơ \[ \overrightarrow{a} \] là \[ |\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \] .
Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ
Áp dụng công thức sau
Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M[xM;yM] và N[xN;yN] là
\[ \text{MN}=|\overrightarrow{\text{MN}}|=\sqrt{{{\left[ {{\text{x}}_{\text{N}}}-{{\text{x}}_{\text{M}}} \right]}^{2}}+{{\left[ {{\text{y}}_{\text{N}}}-{{\text{y}}_{\text{M}}} \right]}^{2}}} \]
Dạng 2. Tính góc giữa hai vecto
Phương pháp giải
Cách 1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ
Cách 2. [Áp dụng trong hệ tọa độ] Tính cos góc giữa hai vectơ, từ đó suy ra góc giữa 2 vectơ.
Sử dụng công thức sau:
Cho hai vectơ \[ \vec{a}=[x;y]\,;\vec{b}=\left[ x';y' \right] \] . Khi đó \[ \cos [\vec{a};\vec{b}]=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}[\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}] \]
Dạng 3. Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước
Phương pháp giải
Bước 1. Xác định vecto [nếu chưa có] theo tham số m.
Bước 2. Tính độ dài các vecto theo tham số m.
Bước 3. Áp dụng công thức tính cos góc giữa hai vecto
Cho hai vectơ \[ \vec{a}=[x;y]\,;\vec{b}=\left[ x';y' \right] \] . Khi đó \[ \cos [\vec{a};\vec{b}]=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}[\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}] \]
Bước 4. Đưa r phương trình chưa ẩn m. Góc giữa hai vecto bằng \[ \alpha \Leftrightarrow \cos [\vec{a};\vec{b}]=\cos \alpha \]
Bước 5. Giải phương trình, đưa ra giá trị của m.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 [trang 40 SGK Hình học 10]:
Lời giải:
A, B , C là ba góc của ΔABC nên ta có: A + B + C = 180º
a] sin A = sin [180º – A] = sin [B + C]
b] cos A = – cos [180º – A] = –cos [B + C]
Bài 2 [trang 40 SGK Hình học 10]:
Lời giải:
ΔAOB cân tại O nên OH là đường cao đồng thời là đường phân giác
\[ \Rightarrow \widehat{\text{AOB}}=2\widehat{\text{AOH}}=2\cdot \alpha \]
Xét ΔOAK vuông tại K có:
\[ \text{sin}\widehat{\text{AOK}}=\frac{\text{AK}}{\text{OA}} \]
\[ \Rightarrow \text{AK}=\text{OA}\cdot \text{sin}\widehat{\text{AOK}} \] \[ =\text{a}\cdot \text{sin}2\alpha \]
\[ \text{cos}\widehat{\text{AOK}}=\frac{\text{OK}}{\text{OA}} \]
\[ \Rightarrow \text{OK}=\text{OA}\cdot \text{cos}\widehat{\text{AOK}} \]
\[ =\text{a}\cdot \text{cos}2\alpha \]
Bài 3 [trang 40 SGK Hình học 10]:
Lời giải:
a] sin 105º = sin [180º – 105º] = sin 75º ;
b] cos 170º = –cos [180º – 170º] = –cos 10º;
c] cos 122º = –cos [180º – 122º] = –cos 58º.
Bài 4 [trang 40 SGK Hình học 10]:
Lời giải:
Vẽ đường tròn lượng giác [O; 1].
Với mọi α [0º ≤ α ≤ 180º] ta đều có điểm M[x0; y0] thuộc nửa đường tròn sao cho \[ \overrightarrow{\text{MOx}}=\alpha \]
Khi đó ta có: sin α = y0 ; cos α = x0.
Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên x02 + y02 = OM2 = 1⇒ sin2 α + cos2 α = 1.
Bài 5 [trang 40 SGK Hình học 10]:
Lời giải:
Ta có : sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ sin2 x = 1 – cos2 x.
⇒ P = 3.sin2 x + cos2 x
= 3.[1 – cos2x] + cos2 x
= 3 – 3.cos2x + cos2x
= 3 – 2.cos2x
= 3 – 2.[1/3]2
= 3 – 2/9
= 25/9.
Bài 6 [trang 40 SGK Hình học 10]:
Lời giải:
Vẽ \[ \overrightarrow{\text{AE}}=\overrightarrow{\text{BA}} \]
Khi đó \[ \left[ \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BA}} \right]=\left[ \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AE}} \right] \]
\[ =\widehat{\text{CAE}}={{180}^{\circ }}-\overline{\text{CAB}} \]
\[ ={{180}^{\circ }}-{{45}^{\circ }}={{135}^{\circ }} \]
Do đó:
\[ \text{cos}\left[ \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BA}} \right]=\text{cos}{{135}^{\circ }}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \]
Vẽ \[ \overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{BD}} \] như hình vẽ
Khi đó:
\[ \left[ \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BD}} \right]=\left[ \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AF}} \right]=\widehat{\text{FAC}}={{90}^{\circ }} \]
Vậy \[ \text{sin}\left[ \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BD}} \right]=\text{sin}{{90}^{\circ }}=1 \]
\[ \overrightarrow{\text{AB}} \] và \[ \overrightarrow{\text{CD}} \] là hai vector ngược hướng \[ \left[ \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}} \right]={{180}^{\circ }} \]
Vậy \[ \text{cos}\left[ \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}} \right]=\text{cos}{{180}^{\circ }}=-1 \]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giá trị lượng giác của một góc bất kì toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất
1. Định nghĩa
Với mỗi góc $\alpha $ [${0^0} \leqslant \alpha \leqslant {180^0}$] ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = \alpha $ và giả sử điểm M có toạ độ $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$. Khi đó ta định nghĩa :
* sin của góc $\alpha $ là ${y_0}$, kí hiệu $\sin \alpha = {y_0}$;
* côsin của góc $\alpha $ là ${x_0}$, kí hiệu $\cos \alpha = {x_0}$;
* tang của góc $\alpha $ là $\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}\left[ {{x_0} \ne 0} \right]$, kí hiệu $\tan \alpha = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$;
* côtang của góc $\alpha $ là $\frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}\left[ {{y_0} \ne 0} \right]$, kí hiệu $\cot \alpha = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}$.
Các số sin$\alpha $, cos$\alpha $, tan$\alpha $, cot$\alpha $ được gọi là các giá trị lượng giác của góc $\alpha $.
Chú ý
* Nếu $\alpha $ là góc tù thì cos$\alpha $< 0, tan$\alpha $< 0, cot$\alpha $< 0.
* tan$\alpha $ chỉ xác định khi $\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, cot$\alpha $ chỉ xác định khi $\alpha \ne k\pi ,k \in Z.$
2. Tính chất
Ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu $\widehat {xOM} = \alpha $ thì $\widehat {xON} = {180^0} - \alpha $.
Ta có ${y_M} = {y_N} = {y_0};{x_M} = - {x_N} = {x_0}$. Do đó:
$\begin{gathered} \sin \alpha = \sin \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \cos \alpha = - \cos \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \tan \alpha = - \tan \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \cot \alpha = - \cot \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \end{gathered} $
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Trong bảng, kí hiệu $\parallel $ để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý
Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn:
$\begin{gathered} \sin {120^0} = \sin \left[ {{{180}^0} - {{60}^0}} \right] = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \cos {135^0} = \cos \left[ {{{180}^0} - {{45}^0}} \right] = - \cos {45^0} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} $
4. Góc giữa hai vectơ
a] Định nghĩa
Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ đều khác vectơ $\overrightarrow 0 $. Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a $ và $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b $ . Góc $\widehat {AOB}$ với số đo từ ${0^0}$ đến ${180^0}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là [$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $]. Nếu [$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $] $ = {90^0}$ thì ta nói rằng $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ hoặc $\overrightarrow b \bot \overrightarrow a $.
b] Chú ý
Từ định nghĩa ta có [$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $] = [$\overrightarrow b $, $\overrightarrow a $].
5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc
Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx - 500MS cách thực hiện như sau :
a] Tính các giá trị lượng giác của gốc a
Sau khi mở máy ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây :
Sau đó ấn phím 1 để xác định đơn vị đo góc là “độ” và tính giá trị lượng giác của góc.
b] Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Sau khi mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc x khi biết các giá trị lượng giác của góc đó.
Page 2
SureLRN