ĐĂNG BÀI NGAY để cùng thảo luận với các CAO THỦ trên mọi miền tổ quốc. Hoàn toàn miễn phí! Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxy cho hai mặt phẳng: [P1]: x+4x-z=0 và [P2]: 2x+y-16=0. Viết phương trình của đường thẳng d song song với hai mặt phẳng P1 và P2 và cắt cả hai đường thẳng d1: $\dfrac{x+5}{2}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z+1}{3}$ và d2: $\dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-2}{4}$
[P] có vtpt [TEX]\vec{n1}[/TEX] [1,4,-1]
[Q] có vtpt [TEX]\vec{n2}[/TEX] [2;1;0]
[TEX]delta[/TEX] song song [P] và [Q] nên nhận [TEX]\vec{u}[/TEX]=[TEX][\vec{n1},\vec{n2}][/TEX] là 1 vecto chỉ phương
Gọi [TEX]delta[/TEX] cắt d1 tại M[-5+2m;3-4m;-1+3m]; cắt d2 tại N[3-2n;-1+3n;2+4n]
suy ra [TEX]\vec{MN}=[-2n-2m+2;3n+4m-4;4n-3m+3]
Ta có [TEX]delta[/TEX] cắt d1,d2 tại M,N suy ra [TEX]\vec{MN}[/TEX] cùng phương [TEX]\vec{u}[/TEX] nên
[TEX]\vec{MN}=k \vec{u}[/TEX]
từ đó tìm đc m,n rồi suy ra tọa độ M,N
Viết pt đường thẳng qua M,N
Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung
II. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng [P] và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên [P] thì d song song với [P].
III. Tính chất.
Định lí 2: [Định lí giao tuyến 2]. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt [P] thì cắt theo giao tuyến song song với d.
Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Định lí 3: Nếu a b là hai đường thẳng chéo nhau thì có một và chỉ một mặt phẳng chứa a và song song với b.
Định lí 4: Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau và O là một điểm không nằm trên cả hai đường thẳng a và b thì có một và chỉ một mặt phẳng đi qua O và song song với cả hai đường thẳng a, b.
Các dạng toán đường thẳng song song với một mặt phẳng.
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng.
Phương pháp: Chứng minh đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng [P] và d song song với một đường thẳng a chứa trong [P]
Chú ý: Đường thẳng a phải là đường thẳng đồng phẳng với d, do đó nếu trong hình không có sẵn đường thẳng nào chứa trong [P] và đồng phẳng với d thì khi đó ta chọn một mặt phẳng chứa d và dựng giao tuyến a của mặt phẳng đó với [P] rồi chứng minh d // a.
Dạng 2: Thiết diện song song đường thẳng cho trước
Sử dụng định lí giao tuyến 2: “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt [P] thì cắt theo giao tuyến song song với d” để tìm các đoạn giao tuyến của [P] với các mặt của hình chóp.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M
=> Tọa độ của M[ ..] [ theo tham số t; dựa vào phương trình đường thẳng d] .
=> Đường thẳng Δ nhận vecto [ ....] làm vecto chỉ phương.
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→
+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng [ P] nên ta có:
n→ .u→ = 0 => Phương trình ẩn t
=> t=...=> tọa độ điểm M
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A[ 1; 2; -1 ] và đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Quảng cáo
Hướng dẫn giảiGọi Δ là đường thẳng cần tìm
+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B .
Do B thuộc d nên B[ 3+ t; 3+ 3t; 2t]=>
+ Mặt phẳng [ Q] có vectơ pháp tuyến
+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng [ Q] nên :
=>> ⇔ 1[ 2+ t]+ 1[ 1+ 3t]- 1[ 2t+ 1] = 0 ⇔ 2+ t+1+ 3t – 2t- 1= 0 ⇔ 2t + 2= 0 ⇔ t= - 1
+ Đường thẳng Δ đi qua A[ 1; 2; -1] và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình của Δ là:
Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hai điểm A[ 1;1;0] và B[ 2; -1; 2]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M[1;0;0] cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng [P]: 2x+ y+ z- 1= 0.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB: đi qua A[ 1; 1;0]; nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình AB:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H[1+ t; 1-2t;2t]
+ đường thẳng d nhận vecto
+ Mặt phẳng [P] nhận vecto làm vecto pháp tuyến.
+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] nên
+ Đường thẳng d đi qua M[ 1; 0;0] và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn D.
Ví dụ 3. Cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Quảng cáo
Hướng dẫn giải
+ Ta có: [AB] ⃗[ -3;0;-2]; [BC] ⃗[3; -1;3]
Mặt phẳng [ABC] nhận vecto
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M[ 1-t; 2t; 2+ t]
Đường thẳng Δ nhận vecto
+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [ABC] nên: n→ .OM→=0
⇔ -2[1- t] + 3.2t + 3.[ 2+ t] = 0 ⇔ - 2+ 2t+ 6t+ 6+ 3t = 0
⇔ 11t+ 4= 0 ⇔ t= [- 4]/11
+ đường thẳng OM: qua O nhận vecto
=> Phương trình OM:
Chọn B.
Ví dụ 4. Cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến .
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A[ 1+2t; - 2+ t;1- t].
+ Đường thẳng Δ nhận vecto
Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng [P] nên: [MA→ .n→=0 ⇔ 2[ 3+ 2t] – 3[ - 3+ t] + 0[ - 2- t] = 0 ⇔ 6+ 4t+ 9 – 3t = 0 ⇔ t= -15
+ Đường thẳng Δ: đi qua M[ -2; 1; 3] và nhận vecto
Chọn A.
Ví dụ 5. Cho mặt phẳng [P] chứa đường thẳng
A. [ - 4; 2; -6]
B. [1; 2; - 1]
C. [ 0; 2; - 2]
D. [6; 2; 4]
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương và đi qua A[-1; 2; 2]
+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương
=> Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Gọi giao điểm của d và Δ là H[ 3- t; 2; 1- t ]
Đường thẳng Δ nhận vecto
+ Do đường thẳng Δ song song với [P] nên:n→ .MH→=0 ⇔ 4[3- t]+ 3. 3 – 1[ -t] = 0 ⇔ 12- 4t +9 + t= 0 ⇔ 21- 3t= 0 ⇔t= 7
=> Giao điểm của đường thẳng d và Δ là H[ - 4; 2; - 6]
Chọn A.
Ví dụ 6. Cho điểm A[ -2; 1; 3] và mặt phẳng [P]: 2x+2y+ z+ 10= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M[ -1; -1; 0] cắt đường thẳng OA và song song với [P]?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng OA: qua O[0; 0;0] và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình OA:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H[ -2t; t; 3t]
Đường thẳng d nhận vecto
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Do đường thẳng d song song với [P] nên: MH→ .n→=0 ⇔ 2[ 1- 2t] +2[ t+1] +1.3t= 0 ⇔ 2- 4t+2t+ 2+ 3t = 0 ⇔ t +4= 0 ⇔ t= -4
+ Đường thẳng d nhận vecto
=> Phương trình d:
Chọn C.
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A[-2;2;2] và đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm
+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B .
Do B thuộc d nên B[-t; -1+ 2t; 2t]=>
+ Mặt phẳng [ Q] có vectơ pháp tuyến
+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng [ Q] nên :
=> =0 ⇔ 2[ 2-t] + 1[ 2t- 3] + 1[ 2t- 2] = 0 ⇔ 4- 2t+ 2t – 3 + 2t – 2=0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t= 1/2
+ Đường thẳng Δ đi qua A[ -2; 2; 2] và nhận vecto
nên phương trình của Δ là:
Chọn B.
Câu 2:
Cho hai điểm A[1; -2; 1] và B[0;0;1]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M[ 2; 2;1] cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng [P]: -x+ y+ z +1= 0.
A.
B.
C.
D.
+ Đường thẳng AB: đi qua A[ 1;-2;1]; nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình AB:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H[ 1- t; -2+2t; 1]
+ đường thẳng d nhận vecto
+ Mặt phẳng [P] nhận vecto làm vecto pháp tuyến.
+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] nên MH→ .n&rarrr;=0 ⇔ - 1[ -1- t]+1[2t- 4] + 0.1 = 0 ⇔ 1+ t + 2t - 4= 0 ⇔ t= 1 => H[ 0;0; 1]
+ Đường thẳng d đi qua M[ 2;2;1] và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn C.
Câu 3:
Cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
+ Ta có:
Mặt phẳng [ABC] nhận vecto
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M[2t; t; - 2+t]
Đường thẳng Δ nhận vecto
+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [ABC] nên: X→ .OM→=0 ⇔ -6. 2t + 7.t - 4.[ -2+ t] = 0 ⇔ -12t + 7t + 8 – 4t= 0 ⇔ -9t+ 8= 0 ⇔ t= 8/9
+ đường thẳng OM: qua O nhận vecto
=> Phương trình OM:
Chọn A.
Câu 4:
Cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A[ t; -t; t].
+ Đường thẳng Δ nhận vecto
Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng [P] nên: MA→.n→=0 ⇔ 1[ t-1] -1[-t] + 1[ t- 2] = 0 ⇔ t- 1 + t + t- 2= 0 ⇔ 3t- 3= 0 ⇔ t= 1
+ Đường thẳng Δ: đi qua M[1; 0; 2] và nhận vecto [MA] ⃗[0; -1; -1] làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ:
Chọn A.
Câu 5:
Cho đường thẳng
A. [0; 1; -5]
B. [ 0; -1; - 5]
C. [ 2; 0; 7]
D.[ -2; 1; -3]
+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương và đi qua A[ - 2; 0; 1]
+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương
=> Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Gọi giao điểm của d và Δ là H[-1+ t; -2+2t; -2t ]
Đường thẳng Δ nhận vecto
+ Do đường thẳng Δ song song với [P] nên: n→ .MH→=0 ⇔ 5[t-2] - 5[ 2t- 3] – 5[ -2t- 1] = 0 ⇔ t- 2- [ 2t- 3] – [ -2t- 1]= 0 ⇔ t-2- 2t + 3 + 2t + 1= 0 ⇔ t+ 2= 0 ⇔ t= -2
=> đường thẳng Δ đi qua M[ 1; 1;1] nhận vecto
Chọn A.
Câu 6:
Cho điểm A[2; 1; 4] và mặt phẳng [P]: -2x+2y - z+ 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M[2;2;0] cắt đường thẳng OA và song song với [P]?
A.
B.
C.
D.
+ Đường thẳng OA: qua O[0; 0;0] và nhận vecto làm vecto chỉ phương => Phương trình OA:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H[ 2t; t; 4t]
Đường thẳng d nhận vecto
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Do đường thẳng d song song với [P] nên: MH→ .n→=0 ⇔ -2[2t - 2] +2[ t-2] -1.4t= 0 ⇔ -4t + 4+ 2t – 4- 4t = 0 ⇔ -6t= 0 ⇔ t= 0
+ Đường thẳng d nhận vecto
=> Phương trình d:
Chọn C.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp