Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành dạng tích của nhiều đa thức. Đây là một kĩ thuật cực kì hữu ích giúp bạn làm nhanh các bài toán rút gọn phân thức sau này.
Vậy có những cách phân tích đa thức thành nhân tử nào?
Hãy cùng tìm hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hay dùng như:
- đặt nhân tử chung
- nhóm hạng tử
- dùng hằng đẳng thức
- phối hợp nhiều phương pháp
- tách hạng tử
- đổi biến
1-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Cách làm:
A.B + A.C = A[B + C]
Như vậy, cách làm trên chính là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
Mẹo phân tích đa thức thành nhân tử đầu tiên chính là xem có nhân tử chung nào hay không hoặc có thể tạo ra nhân tử chung không.
Phân tích đa thức 15x³ − 5x² + 10x thành nhân tử.
Giải:
Ta nhận thấy ba đơn thức thành phần có điểm chung là đều chứa 5x. Vậy ta đặt 5x làm nhân tử chung.
Ta có: 15x³ − 5x² + 10x = 5x.3x² − 5x.x + 5x.2 = 5x[3x² − x + 2]
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a] x² − x = x[x − 1]
b] 5x²[x − 2y] − 15x[x − 2y]
Ta đặt x − 2y là nhân tử chung.
5x²[x − 2y] − 15x[x − 2y] = [x − 2y][5x² − 15x]
c] 3[x − y] − 5x[y − x]
Chú ý: tính chất A = −[−A]
Ta thấy có x − y và y − x, muốn có chung nhân tử x − y ta làm như sau:
3[x − y] − 5x[y − x] = 3[x − y] + 5xy[x − y] = [x − y][3 + 5xy]
Tìm x sao cho 3x² − 6x = 0.
Giải:
Đầu tiên ta phân tích đa thức thành nhân tử:
3x² − 6x = 3x[x − 2] = 0
Tích trên bằng 0 khi một trong các nhân tử bằng 0.
Ta có x = 0 hoặc x − 2 = 0.
Vậy x = 0 hoặc x = 2.
Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Bài 39.
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a] 3x − 6y = 3[x − 2y];
b]
c] 14x² − 21xy² + 28x²y² = 7x[2x − 3y² + 4xy²]
d]
e] 10x[x − y] − 8y[y − x] = 10x[x − y] + 8y[x − y] = 2[x − y][5x + 4y]
Bài 40.
Tính giá trị của biểu thức:
a] 15. 91,5 + 150.0,85 = 15[91,5 + 8,5] = 15.100= 1500
b] x[x − 1] − y[1 − x] tại x = 2001 và y = 1999.
Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:
x[x − 1] − y[1 − x]
= x[x − 1] + y[x − 1]
= [x − 1][x + y]
= [2001 − 1][2001 + 1999]
= 2000.4000 = 8000000
Bài 41.
Tìm x, biết:
a] 5x[x − 2000] − x + 2000 = 0
Đầu tiên ta phải phân tích đa thức thành nhân tử,. Vì chưa có nhân tử chung, ta phải làm xuất hiện nhân tử chung.
5x[x − 2000] − x + 2000
= 5x[x − 2000] − [x − 2000]
= [x − 2000][5x − 1] = 0
⇔ x = 2000 hoặc 5x − 1 = 0
⇔ x = 2000 hoặc x = 1/5
b] x³ − 13x = 0
⇔ x[x² − 13] = 0
⇔ x = 0 hoặc x² = 13
⇔ x = 0 hoặc x = ±√13
Bài 42.
Chứng minh rằng chia hết cho 54 [với n là số tự nhiên].
Giải:
Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:
2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Cách làm:
Dùng những hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi đa thức về dạng tích nhiều đa thức.
Vậy để sử dụng phương pháp này để phân tích đa thức thành nhân tử, ta phải thuộc những hằng đằng thức đáng nhớ và nhận ra dạng của nó.
[A + B]² = A² + 2AB + B²
[A − B]² = A² − 2AB + B²
A² − B² = [A − B][A + B]
[A + B]³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
[A − B]³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³
A³ + B³ = [A + B][A² − AB + B²]
A³ − B³ = [A − B][A² + AB + B²]
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a] x² − 4x + 4 = x² − 2.2x + 2² = [x − 2]²
b] x² − 4x + 4 − y² = [x − 2]² − y² = [x − 2 − y][x − 2 + y]
c] 1 − 8x³ = 1³ − [2x]³ = [1 − 2x][1 + 2x + 4x²].
a] Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ + 3x² + 3x + 1
Ta nhận ra đa thức trên có dạng lập phương của một tổng nên ta có:
x³ + 3x² + 3x + 1 = [x + 1]³
b] Tính nhanh: 105² − 25
Ta nhận thấy đa thức trên có dạng A² − B² nên ta có:
105² − 25 = 105² − 5² = [105 − 5][105 + 5] = 100.110 = 11000
Chứng minh rằng [2n + 5]² − 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.
Giải:
Muốn chứng minh một đa thức chia hết cho một số nào đó, ta chỉ cần phân tích đa thức thành nhân tử và chỉ ra số đó là một nhân tử của đa thức.
Ta thấy đa thức trên có dạng A² − B² nên ta dùng hằng đẳng thức A² − B² = [A − B][A + B] để phân tích đa thức thành nhân tử:
[2n + 5]² − 25 = [2n + 5]² − 5²
= [2n + 5 − 5][2n + 5 + 5]
= 2n[2n + 10]
= 4n[n + 5]
Vì thế [2n + 5]² − 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.
Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Bài 43.
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a] x² + 6x + 9
Ta nhận ra dạng x² + 2x.3 + 3² đúng không.
x² + 6x + 9 = [x + 3]²
b] 10x − 25 − x²
Có thể nhận ra dạng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu nếu ta viết lại đa thức:
10x − 25 − x²
= − [x² − 10x + 25]
= − [x − 5]²
Các em có nhận ra dạng A³ − B³ không?
Các em có thấy đa thức dạng A² − B² không?
Bài 44.
Phân tích đa thức thành nhân tử:
b] [a + b]³ − [a − b]³ >>> nhớ rằng A³ − B³ = [A − B][A² + AB + B²]
= [a + b − [a − b]] [[a + b]² + [a + b][a − b] + [a − b]²]
= 2b[a²+ 2ab + b² + a² − b² + a² − 2ab + b²]
= 2b[3a² + b²]
c] [a + b]³ + [a − b]³
= [a + b + [a − b]] [[a + b]² − [a + b][a − b] + [a − b]²]
= 2a[a²+ 2ab + b² − [a² − b²] + a² − 2ab + b²]
= 2a[a²+ 3b²]
d] 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ >>> nhớ rằng [A + B]³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
= [2x + y]³
e] −x³ + 9x² − 27x + 27
= − [x³ − 9x² + 27x − 27] >>> có thể đặt dấu trừ ra ngoài ngoặc để dễ nhận dạng
= − [x − 3]³
Bài 45.
Tìm x, biết:
a] 2 − 25x² = 0
Đầu tiên ta phải phân tích đa thức thành nhân tử, dựa vào hằng đẳng thức
A² − B² = [A − B][A + B]
2 − 25x² = 0
⇔ [√2 − 5x][√2 + 5x] = 0
⇔ √2 − 5x = 0 hoặc √2 + 5x = 0
Nếu √2 − 5x = 0 ⇔ x = √2/5.
Nếu √2 + 5x = 0 ⇔ x = – √2/5.
Ta phân tích đa thức thành nhân tử theo hằng đẳng thức [A − B]² = A² − 2AB + B².
Bài 46.
Tính nhanh:
a] 73² − 27² = [73 − 27][73 + 27] = 46.100 = 4600
b] 37² − 13² = [37 − 13][37 + 13] = 24. 50 = 1200
c] 2002² − 2² = [2002 − 2][2002 + 2] = 2000.2004 = 4008000
3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Cách làm:
Khi phân tích một đa thức thành nhân tử mà không thấy nhân tử chung hay không có dạng hằng đẳng thức nào đã học, ta cần một phương pháp khác.
Mục đích: Đó là làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung, là làm thế nào để xuất hiện hằng đẳng thức
>>> Ta phải nhóm những hạng tử sao cho phù hợp để xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Phân tích đa thức thành nhân tử:
2xy +3z + 6y + xz
Giải:
Các em nhìn nếu nhóm hai hạng tử đầu sẽ không có nhân tử chung, vì thế ta xem hạng tử thứ 1 và thứ 3 nếu nhóm chung sẽ xuất hiện hạng tử chung và hạng tử thứ 2 và 4 cũng thế.
Đa thức này có thể nhóm như sau:
2xy +3z + 6y + xz = [2xy + 6y] + [3z + xz]
= 2y[x + 3] + z[3 + x]
= [x + 3][2y + z]
Cách làm như ví dụ trên được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm hạng tử thích hợp. Các em xem tiếp ví dụ 2.
Phân tích đa thức thành nhân tử:
x² − 4x + xy − 4y
Giải:
Cách 1: Nhóm hạng tử thứ 1 với thứ 2 và nhóm hạng tử thứ 3 với thứ 4
x² − 4x + xy − 4y = [x² − 4x] + [xy − 4y]
= x[x − 4] + y[x − 4]
= [x − 4][x + y]
Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và 3 và nhóm hạng tử thứ 2 và 4
x² − 4x + xy − 4y = [x² + xy] + [−4x − 4y]
= x[x + y] − 4[x + y]
= [x + y][x − 4]
Tính nhanh: 15. 64 + 25.100 + 36. 15 + 60. 100
Giải:
Ta nhóm hạng tử thứ 1 với 3 và hạng tử thứ 2 với 4.
15. 64 + 25.100 + 36. 15 + 60. 100
= [15. 64 + 36. 15] + [25. 100 + 60. 100]
= 15[64 + 36] + 100[25 + 60]
= 15.100 + 100. 85
= 100.[15 + 85]
= 100.100 = 10000.
Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Bài 47.
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a] x² − xy + x − y = [x² − xy] + [x − y]