Phương trình f x 4 có bao nhiêu nghiệm thực

Cho hàm số $f[x]$ có bảng biến thiên như sauSố nghiệm thực của phương trình $f[x] = 4$ là?

Trích từ Bài giảng và đề thi khoá học: COMBO X 2019 CHO TEEN 2K1 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN

Câu 39. Cho hàm số $f[x]={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x+4.$ Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $\sqrt{f\left[ f[x]-2 \right]-2}=3-f[x]$ bằng

Câu 40.Cho hàm số $f\left[ x \right]={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1$. Khi đó, phương trình $f\left[ f\left[ f\left[ x \right]-1 \right]-2 \right]=1$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.

Câu 37.Cho hàm số $f[x]={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x.$ Đặt ${{f}_{1}}[x]=f[x],{{f}_{n}}[x]=f\left[ {{f}_{n-1}}[x] \right].$ Tìm số nghiệm của phương trình ${{f}_{6}}[x]=0.$

Lời giải chi tiết. Ta có $f[x]=x{{[x-3]}^{2}}\Rightarrow f[x]=0\Leftrightarrow x=0;x=3.$

Vì vậy ${{f}_{n}}[x]=0\Leftrightarrow f\left[ {{f}_{n-1}}[x] \right]=0\Leftrightarrow {{f}_{n-1}}[x]=0;{{f}_{n-1}}[x]=3\in [0;4].$

Vậy gọi ${{u}_{n}},{{v}_{n}}$ lần lượt là số nghiệm của phương trình ${{f}_{n}}[x]=0$ và ${{f}_{n}}[x]=a$ với $a$ là số thực bất kì thuộc khoảng $[0;4].$ Ta có ${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+{{v}_{n-1}}$ và ${{u}_{1}}=2.$

Ta đi tìm số hạng tổng quát ${{v}_{n}}.$ Xét hàm số $f[x]={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x$ có ${{f}_{ct}}=f[3]=0;{{f}_{cd}}=f[1]=4.$

Nhận xét:

• $a\in [0;4]$ thì $f[x]=a$ có ba nghiệm phân biệt và ba nghiệm này đều thuộc khoảng $[0;4].$

• $a\in \left\{ 0;4 \right\}$ thì $f[x]=a$ có đúng hai nghiệm phân biệt
• $a\in [-\infty ;0]\cup [4;+\infty ]$ thì $f[x]=a$ có đúng một nghiệm thực.

Vậy ${{v}_{1}}=3$ và dựa trên nhận xét trên ta có:

${{f}_{n-1}}[x]=a\in [0;4]\Leftrightarrow {{f}_{n-2}}[x]={{b}_{1}}\in [0;4];{{f}_{n-2}}[x]={{b}_{2}}\in [0;4];{{f}_{n-2}}[x]={{b}_{3}}\in [0;4].$

Điều đó chứng tỏ ${{v}_{n-1}}=3{{v}_{n-2}}\Rightarrow {{v}_{n}}={{3}^{n-1}}{{v}_{1}}={{3}^{n-1}}.3={{3}^{n}}.$ Vậy ta có

\[\begin{array}{c} {u_n} = {u_{n - 1}} + {3^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = \sum\limits_{k = 2}^n {\left[ {{u_k} - {u_{k - 1}}} \right]} + {u_1} = \sum\limits_{k = 2}^n {{3^{k - 1}}} + {u_1} = \left[ {3 + {3^2} + ... + {3^{n - 1}}} \right] + 2\\ = 3.\dfrac{{{3^{n - 1}} - 1}}{{3 - 1}} + 2 = 2 + \dfrac{{{3^n} - 3}}{2} = \dfrac{{{3^n} + 1}}{2}. \end{array}\]

Áp dụng vào bài toán ta có: ${{u}_{6}}=\dfrac{{{3}^{6}}+1}{2}=365;{{u}_{2019}}=\frac{{{3}^{2019}}+1}{2}.$ Chọn đáp án A.

Bài tập tự luyện:

Câu 43. Cho hàm số $f[x]={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1.$ Khi đó, phương trình $f\left[ f\left[ f\left[ x \right]-1 \right]-2 \right]=1$có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.

Câu 48.Cho hàm số $f[x]={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+\dfrac{3}{2}.$ Phương trình $\dfrac{f\left[ f[x] \right]}{2f[x]-1}=1$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.

Câu 49.Cho hàm số $f[x]={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+\dfrac{1}{8}.$ Phương trình $\dfrac{f\left[ f[x] \right]}{2f[x]-1}=1$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.

Câu 36. Cho hàm số $f[x]={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x.$ Đặt ${{f}_{n}}[x]=f\left[ {{f}_{n-1}}[x] \right],{{f}_{1}}[x]=f[x].$ Tìm số nghiệm của phương trình ${{f}_{9}}[x]=0.$

Câu 37.Cho hàm số $f[x]={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x.$ Đặt ${{f}_{1}}[x]=f[x],{{f}_{n}}[x]=f\left[ {{f}_{n-1}}[x] \right].$ Tìm số nghiệm của phương trình ${{f}_{6}}[x]=0.$