Tìm điều kiện xác định của bất phương trình logarit

Dạng 1: Giải bất phương trình logarit.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

- Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.

- Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.

Khi giải bất phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện của cơ số \[a\].

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _2}x \ge {\log _2}\left[ {2x - 1} \right]\] là:

A. \[\left[ { - \infty ;1} \right]\]

B. \[\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\]

C. \[\left[ {0;1} \right]\]                         

D. \[\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\]

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số \[a > 1\]: \[{\log _a}f\left[ x \right] \ge {\log _a}g\left[ x \right] \Leftrightarrow f\left[ x \right] \ge g\left[ x \right]\] .

Cách giải:

Điều kiện xác định: \[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\].

Khi đó, \[{\log _2}x \ge {\log _2}\left[ {2x - 1} \right] \Leftrightarrow x \ge 2x - 1 \Leftrightarrow  - x \ge  - 1 \Leftrightarrow x \le 1\].

Kết hợp với điều kiện xác định ta được \[\dfrac{1}{2} < x \le 1\].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\].

Chọn B.

Chú ý khi giải:

Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \[{\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0\] là:

A. \[\left[ { - \infty ;\dfrac{1}{4}} \right]\]

B. \[\left[ {0; + \infty } \right]\]            

C. \[\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right]\]                          

D. \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\]

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

Điều kiện: \[x > 0\]

\[\begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0 \Leftrightarrow {\log _{{{\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]}^2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 3 \Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}\end{array}\]

Kết hợp điều kiện \[x > 0\] ta được \[x \ge \dfrac{1}{4}\].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right]\].

Chọn C.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

- Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo \[m\] nghiệm của bất phương trình.

- Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.

Ví dụ: Tìm giá trị lón nhất của \[m\] để bất phương trình \[1 + {\log _5}\left[ {{x^2} + 1} \right] \ge {\log _5}\left[ {m{x^2} + 4x + m} \right]\] nghiệm đúng với mọi \[x \in R\].

A. \[m = 4\]

B. \[m = 2\]

C. \[m = 5\]                            

D. \[m = 3\]

Phương pháp:

- Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức xác định.

- Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số \[5\], nêu điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \[x\].

- Giải điều kiện trên suy ra \[m\].

Cách giải:

Điều kiện: \[m{x^2} + 4x + m > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' = 4 - {m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}1 + {\log _5}\left[ {{x^2} + 1} \right] \ge {\log _5}\left[ {m{x^2} + 4x + m} \right] \Leftrightarrow {\log _5}5 + {\log _5}\left[ {{x^2} + 1} \right] \ge {\log _5}\left[ {m{x^2} + 4x + m} \right]\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + 5 \ge m{x^2} + 4x + m \Leftrightarrow \left[ {m - 5} \right]{x^2} + 4x + m - 5 \le 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 5 < 0\\\Delta ' = 4 - {\left[ {m - 5} \right]^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\ - {m^2} + 10m - 21 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3\end{array}\]

Kết hợp với điều kiện trên ta được \[2 < m \le 3\].

Do đó giá trị lớn nhất của \[m\] thỏa mãn là \[m = 3\].

Chọn D.

Ibaitap: Qua bài Bất phương trình Logarit , các dạng toán thường gặp và phương pháp giải cùng tổng hợp lại các kiến thức như về bất phương trình logarit và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

Bất phương trình logarit cơ bản sẽ có dạng :\[{{\log }_{a}}x>b\] [hoặc \[{{\log }_{a}}x\ge b,{{\log }_{a}}x0,a\ne 1]\].

Xét bất phương trình có dạng: \[{{\log }_{a}}x>b\] 

• Với a > 1: ta có \[{{\log }_{a}}x>b\Leftrightarrow x>{{a}^{b}}.\]
• Với 0 < a < 1: ta có \[{{\log }_{a}}x > b\Leftrightarrow 0< x < {{a}^{b}}.\]

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Giải bất phương trình logarit.

Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để bất phương trình đã cho có nghĩa.

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi như: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình mũ.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận tập nghiệm của bất phương trình đã cho.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để bất phương trình đã cho có nghĩa.

Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, đưa ra điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo tham số m nghiệm của bất phương trình.

Bước 3: Giải điều kiện để tìm và kết luận điều kiện tham số theo yêu cầu đề bài.

III. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ GIẢI CÁC DẠNG TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG GẶP

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: \[{{\log }_{0,2}}x-{{\log }_{5}}[x-2]< {{\log }_{0,2}}3\]

Lời giải tham khảo:

\[{{\log }_{0,2}}x-{{\log }_{5}}[x-2]< {{\log }_{0,2}}3\] [ĐKXĐ: x > 2]

\[\Leftrightarrow {{\log }_{{{5}^{-1}}}}x-{{\log }_{5}}[x-2] < {{\log }_{{{5}^{-1}}}}3\]

\[\Leftrightarrow -{{\log }_{5}}x-{{\log }_{5}}[x-2] < -{{\log }_{5}}3\]

\[\Leftrightarrow {{\log }_{5}}x+{{\log }_{5}}[x-2] > {{\log }_{5}}3\]

\[\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x\left[ x-2 \right] \right] > {{\log }_{5}}3\]

\[\Leftrightarrow x\left[ x-2 \right] >3\]

\[\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > 3}\\ {x < - 1} \end{array}} \right.\]

Kết hợp vs ĐKXĐ ta có x > 3.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \[S=\left[ 3;+\infty \right]\].

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình \[1+\log_5[x^2+1]\ge \log_5[mx^2+4x+m]\] nghiệm đúng với mọi x.

Lời giải tham khảo:

ĐKXĐ: \[mx^2+4x+m>0,∀x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m>0}\\ {Δ'=4-m^22\]

Xét \[1+\log_5[x^2+1]\ge \log_5[mx^2+4x+m]\]

\[\Leftrightarrow \log_55+\log_5[x^2+1]\ge \log_5[mx^2+4x+m]\]

\[\Leftrightarrow 5x^2+5 \ge mx^2+4x+m\]

\[\Leftrightarrow [m-5]^2+4x+m-5 \le 0,∀x\]

\[\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m-5