Học công nghệ thông tin có cần giỏi toán không? Đây là thắc mắc chung của rất nhiều bạn trẻ khi tìm hiểu về ngành học này trong các kỳ tuyển sinh. Nếu bạn cũng đang băn khoăn về vấn đề này thì hãy theo dõi bài viết dưới đây của Đại học Đông Á để được giải đáp cụ thể nhé.
Học ngành CNTT cần giỏi môn gì?
Trước khi tìm hiểu nội dung “học công nghệ thông tin có cần giỏi toán không” thì các bạn nên nắm bắt được ngành CNTT cần giỏi những môn gì.
Hiện nay, các bạn chọn ngành chỉ nắm được khá mơ hồ thông tin về ngành như: đây là ngành hot, có nhu cầu tuyển dụng cao, có mức lương hấp dẫn. Những thông tin về môn học cần thiết, cần tố chất gì thì nhiều bạn còn chưa hiểu rõ. Tuy vậy, để có thể thành công và có quyết định chọn ngành hiệu quả thì điều đầu tiên mà các bạn cần quan tâm đó là những vấn đề về yêu cầu của ngành. Nắm được những ngành này thì các bạn mới hiểu được ngành nghề này có phù hợp với mình hay không.
Bởi lẽ, ngoài sở thích thì bạn cần phải có những yếu tố nhất định để phù hợp và theo đuổi lâu dài với nghề. Cùng tìm hiểu xem ngành này cần giỏi những môn gì nhé!
Theo chia sẻ của những người đã từng theo đuổi ngành và thành công với ngành công nghệ thông tin thì lợi thế khi học ngành này đó là giỏi tin học và toán học. Đây là 2 môn học đóng vai trò quan trọng trong chương trình học của ngành công nghệ thông tin. Có nền tảng và năng khiếu trong 2 ngành nghề này thì các bạn sẽ nhanh chóng tiếp cận được những kiến thức được đào tạo trong chương trình học.
Bên cạnh đó, việc thành thạo những kiến thức cơ bản như công cụ pascal, office, network… sẽ giúp cho các bạn thuận tiện hơn khi bắt đầu làm quen với công nghệ thông tin.
Ngoài ra, tại trường Đại học Đông Á – một trong số các trường đại học có ngành công nghệ thông tin, sinh viên khi học ngành CNTT còn được yêu cầu nắm chắc ngoại ngữ để tự tin trong cả kiến thức lẫn thực hành. Các bạn trẻ có vốn tiếng Anh tốt thì khi học các môn chuyên ngành của CNTT sẽ dễ dàng nắm bắt và tiếp cận các môn học một cách nhanh chóng nhất. Lựa chọn học tại Đông Á, sinh viên sẽ được học tập các kiến thức một cách chất lượng nhất để đảm bảo chuẩn đầu ra.
CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM:
???? Cơ Hội Khởi Nghiệp Ngành Công Nghệ Thông Tin Có Tốt Không?
???? “Mách Nhỏ” Học Công Nghệ Thông Tin Cần Giỏi Môn Gì? Tại Sao?
Học công nghệ thông tin có cần giỏi toán không?
Như đã đề cập sơ qua ở trên, học công nghệ thông tin cũng cần có năng khiếu và những kiến thức về toán học. Học giỏi Toán mang đến cho các bạn sự thuận lợi hơn khi học các kiến thức, kỹ năng cơ bản. Kiến thức tư duy toán học, logic thuật toán tốt sẽ hỗ trợ tối đa cho sinh viên trong việc học những môn học liên quan khi học chuyên ngành CNTT.
Một tố chất của người học và làm việc trong ngành CNTT là áp dụng các phương pháp, công thức và mô hình toán học. Bên cạnh đó phương thức tư duy logic và cách thức đặt vấn đề, giải quyết vấn đề cũng là yếu tố quan trọng khi học ngành này.
???? Xem thêm: Ngành công nghệ thông tin ra trường làm gì
Toán học thường được chia làm 2 loại đó là toán lý thuyết và toán ứng dụng. Toán ứng dụng là việc sử dụng các công cụ toán học để xây dựng mô hình, thuật toán nhằm giải quyết các vấn đề thực tế dựa trên CNTT. Vì vậy, đã học toán ứng dụng thì cần phải biết về CNTT, ngược lại khi học về CNTT cũng phải nắm một số lĩnh vực của toán ứng dụng.
Các bạn không nhất thiết phải rất giỏi toán khi học hoặc làm việc trong ngành CNTT mà cần ở mức khá trở lên để học hiệu quả hơn. Bạn nào giỏi toán thì sẽ có lợi thế lớn trong quá trình học. Hiện nay đang có xu hướng là nhiều nhà toán học đã quyết định chuyển sang hoạt động trong lĩnh vực CNTT, sử dụng các kiến thức và tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của trí tuệ nhân tạo và chuyển đổi số. Khi học CNTT, sinh viên sẽ được đào tạo thêm các kiến thức về lĩnh vực toán ứng dụng cần thiết.
Điều quan trọng là các bạn cần định hướng phát triển ngành công nghệ thông tin như thế nào và chọn được trường học chất lượng để theo đuổi ngành học này. Dù bạn có giỏi toán đi nữa, nhưng lộ trình học của bạn không đảm bảo chất lượng hoặc không phù hợp thì sau khi ra trường bạn cũng không đảm bảo những kiến thức và kỹ năng cần thiết để làm việc. Hiện nay, Đại học Đông Á đang là địa chỉ tin cậy tuyển sinh công nghệ thông tin. Với lộ trình đào tạo rõ ràng, chương trình thực tập chất lượng, hệ thống cơ sở hạ tầng, trang thiết bị hiện đại sẽ mang đến cho bạn môi trường học tập tốt nhất.
???? Xem thêm: Ngành công nghệ thông tin ra trường làm gì?
Như vậy, bài viết trên của chúng tôi đã giúp bạn giải đáp thắc mắc “học công nghệ thông tin có cần giỏi toán không?” Hy vọng với những chia sẻ trên thì các bạn sẽ nắm được những kiến thức cơ bản để chọn ngành một cách phù hợp nhất.
Giáo trình Toán cao cấp B1: Phần 1 - Trường CĐ Công nghệ thông tin TP. HCM
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [550 KB, 72 trang ]
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên
ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY
GIÁO TRÌNH
TỐN CAO CẤP B1
PHẦN GIẢI TÍCH
KHỐI KINH TẾ
[LƯU HÀNH NỘI BỘ ]
TP HỒ CHÍ MINH 2013
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình
Chân thành cảm ơn
2
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
LỜI NĨI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Tốn
trong trường, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Cơng Nghệ
Thơng Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn
TOÁN CAO CẤP dành cho sinh viên khối ngành kinh tế.
Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ mơn Tốn biên soạn,
trên cơ sở đề cương mơn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng
Khoa học trường phê duyệt.
Nội dung cuốn sách là phần Giải tích giải quyết hầu hết các
vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về
tốn để tiếp cận các mơn học khác trong chương trình đào tạo
hệ cao đẳng khối ngành kinh tế. Phần lý thuyết được trình bày
logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng
là sinh viên hệ cao đẳng. Ngồi ra, cịn có phần cho sinh viên
tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn
luyện.
Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp
sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo
chương trình đào tạo tín chỉ. Trong q trình giảng dạy, giáo
trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy
đủ hơn. Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu
biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình khơng tránh
khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ mơn Tốn rất mong nhận
được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngồi
trường. Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ
biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ mơn TỐN
Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM. Địa chỉ
Xin chân thành cảm ơn.
BỘ MƠN TỐN
3
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
PHẦN GIẢI TÍCH
4
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
MỤC LỤC
PHẦN
1.1
1.2
1.3
1.4
2.1
2.2
2.3
GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC
I. Định nghĩa giới hạn của dãy số thực
II. Một số giới hạn cơ bản
CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM MỘT BIẾN SỐ
I. Các định nghĩa
II. Các hàm sơ cấp cơ bản
GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ
I. Định nghĩa giới hạn của hàm số
II. Vô cùng bé và vô cùng lớn
∞ 0
III. Khử dạng vô định ;
và ∞ - ∞ ; 0. ∞ ; 1 ∞
∞ 0
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ
I. Các khái niệm cơ bản
II. Điểm gián đoạn
BÀI TẬP CHƯƠNG I
CHƯƠNG II
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
ĐẠO HÀM
I. Định nghĩa đạo hàm
II. Các quy tắc tính đạo hàm
III. Đạo hàm cấp cao
VI PHÂN
I. Định nghĩa vi phân cấp 1
II. Các công thức tính vi phân
III. Vi phân cấp cao
CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
I. Định nghĩa
II. Các định lý về giá trị trung bình
9
9
15
23
36
40
42
42
51
55
5
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
4.1
4.2
4.3
6
BỘ MÔN TOÁN
CƠNG THỨC TAYLOR
I. Công thức Taylor và công thức Maclaurin
II. Ứng dụng của công thức Taylor
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
I. Quy tắc L’Hospital
II. Tìm cực trị
BÀI TẬP CHƯƠNG II
CHƯƠNG III
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
I. Nguyên hàm và tích phân bất định
II. Tích phân một số hàm sơ cấp
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. Định nghĩa tích phân xác định
II. Cơng thức Newton – Leibnitz
III. Các phương pháp tính
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
I. Trường hợp tính tích phân có cận là vơ hạn
II. Trường hợp tính tích phân có điểm gián đoạn
trong khoảng lấy tích phân
BÀI TẬP CHƯƠNG III
CHƯƠNG IV
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
KHÁI NIỆM HÀM NHIỀU BIẾN
I. Định nghĩa hàm nhiều biến
II. Giới hạn của hàm hai biến số
III. Sự liên tục của hàm hai biến số
ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP 1
I. Định nghĩa đạo hàm riêng
II. Vi phân toàn phần cấp 1
III. Ứng dụng vi phân tính gần đúng
IV. Đạo hàm của hàm hợp
V. Đạo hàm của hàm ẩn
ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP CAO
58
67
71
74
74
88
95
111
114
114
122
129
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
4.4
BỘ MÔN TOÁN
I. Định nghĩa đạo hàm riêng cấp 2
II. Vi phân toàn phần cấp 2
CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
I. Khái niệm cực trị
II. Định lý
III. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm 2 biến
BÀI TẬP CHƯƠNG IV
ĐỀ THI THAM KHẢO
TÀI LIỆU THAM KHẢO
135
140
142
143
7
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
8
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
CHƯƠNG I
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM 1 BIẾN
1. 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC
I. Định nghĩa giới hạn của dãy số thực
1. Các khái niệm cơ bản
a] Dãy số thực: ánh xạ f : → , n
dãy số thực, gọi tắt là dãy số
Ký hiệu:
{xn}, [xn]
VÍ DỤ 1
x n được gọi là một
⎧ [−1]n 2n + 1⎫
⎧1 ⎫
xn = ⎨ ⎬ , xn = ⎨
⎬ , yn = {3n + 1}
n2
⎩n⎭
⎩
⎭
Chú ý: Tuỳ thuộc vào công thức xác định của dãy mà ánh xạ đi
từ
hay *
b] Dãy con: Dãy { x n } được gọi là một dãy con của dãy{xn}
k
nếu mỗi phần tử của { x n } cũng là một phần tử của dãy {xn} .
k
[các phần tử của dãy con được trích ra từ dãy mẹ {xn}]
VÍ DỤ 2
⎧1 ⎫
⎧1⎫ ⎧1⎫
⎬ , ⎨ ⎬ ….. là dãy con của dãy ⎨ ⎬
⎩ 2n ⎭ ⎩ 3n ⎭
⎩n ⎭
Các dãy ⎨
c]Dãy tăng là dãy có xn < xn+1; ∀ n ∈
VÍ DỤ 3
xn = {2 n + 3} là dãy tăng
d]Dãy giảm là dãy có xn > xn+1 ; ∀ n ∈
VÍ DỤ 4
⎧ 1 ⎫
⎬ là dãy giảm
n
1
+
⎩
⎭
xn = ⎨
Để kiểm tra một dãy số tăng hay giảm chúng ta có 2 cách:
+ Cách 1
9
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
x n+1
> 1 thì dã y tă ng;
xn
xn+1
< 1 thì dã y giả m neá u x n > 0∀n
xn
+ Cách 2
x n +1 − xn > 0 thì dã y tă ng; xn +1 − x n < 0 thì dã y giaû m
2. Giới hạn của dãy số
a] Định nghĩa 1
Số L được gọi là giới hạn của dãy {xn} khi n dần ra vô cùng
nếu ∀ε > 0; ∃ n0 ∈ : ∀n > n0 thì xn − L < ε .
Khi đó ta cũng nói dãy {xn} hội tụ về L và viết:
n →∞
x n → L khi n → ∞; hay x n → L ;
hay lim
xn = L
n →∞
* Dãy không tồn tại giới hạn, tức là dãy không hội tu được
gọi là dãy phân kỳ
* Dãy có giới hạn là vơ hạn [ ± ∞ ] thì gọi là dãy có giới
hạn vơ hạn.
Ký hiệu x n → ±∞ khi n → ∞ hay lim x n = ±∞
n →∞
[−1]n
VÍ DỤ 5 Chứng minh rằng lim 2
=0
n →∞
3n − 5
Thật vậy
∀ε > 0,
[−1]n
1
1 1
1 1
−0 [ + 5] ⇔ n >
[ + 5]
2
3n − 5
3n − 5
3 ε
3 ε
⎡ 1 1
⎤
[ + 5] ⎥ + 1
⎣ 3 ε
⎦
Như vậy nếu ta đặt n0 = ⎢
thì ta có ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈
10
: ∀ n > n0 thì x n − 0 < ε
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
Tương tự ta có
1
lim
= 0;
n →∞
n
lim[n] = +∞;
[−1]n
= 0;
2n
lim[
−3n2 ] = −∞
n →∞
lim
n →∞
n →∞
lim
n →∞
2n 2 + 100 2
=
3n2
3
b] Định nghĩa 2 [Giới hạn riêng của dãy]
Mỗi dãy con { x n } của dãy {xn} nếu có giới hạn thì giới hạn
k
đó được gọi là giới hạn riêng của dãy {xn}.
VÍ DỤ 6 Dãy xn = {[-1]nn} có hai dãy con là {2n} và
{-[2n+1]} thì{2n} → +∞ khi n → ∞ và{-[2n+1]} → −∞ khi
n → −∞ . Khi đó ±∞ được gọi là giới hạn riêng của dãy đã
cho
Chú ý: dãy {xn} có hai dãy con dần đến 2 giới hạn khác nhau
thì dãy{xn} khơng tồn tại giới hạn
VÍ DỤ 7
⎛
⎡π
⎤⎞
+
n
π
⎥⎦ ⎟ có các
⎦⎣4
⎠
Dãy xn = sin ⎜ ⎡[ −1] + 1⎤ ⎢
⎝⎣
n
⎛π
⎞
+ n 2π ⎟ = 1 và x2 n +1 = 0 .
⎝2
⎠
dãy con là: x2 n = sin ⎜
Các dãy con này tương ứng có các giới hạn là 1 và 0, các giới
hạn này là các giới hạn riêng của dãy xn
3. Các tính chất về giới hạn của dãy
ĐỊNH LÝ 1
-Dãy hội tụ thì giới hạn là duy nhất
-Dãy hội tụ thì giới nội [tức tồn tại [a,b] chứa tất cả các
giá trị của dãy xn]
ĐỊNH LÝ 2 [tính tuyến tính của giới hạn]
Cho hai dãy số hội tụ { xn } → a , { yn } → b khi n → ∞ ;
a, b ≠ ±∞
a] lim [ xn + yn ] = lim xn + lim yn = a + b
n →∞
n →∞
n →∞
11
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
b] lim [ Cxn ] = Ca ∀C ∈
n →∞
c] lim [ C + xn ] = C + a ∀C ∈
n →∞
d] lim [ xn . yn ] = lim xn .lim yn = a.b
n →∞
n →∞
n →∞
1
1
1
=
e] lim =
n →∞ x
lim xn a
n
n →∞
f] lim
n →∞
1
1
1
∀xn , yn , a, b ≠ 0
=
=
yn lim yn b
n →∞
i] Nếu xn ≥ yn thì a ≥ b
x
a
j] lim n =
[b ≠ 0]
n →∞ y
b
n
ĐỊNH LÝ 3 [giới hạn kẹp]
Cho ba dãy số hội tụ { xn } , { yn } , { zn } thỏa mãn xn ≤ yn ≤ zn
∀n ∈
và lim xn = lim zn = a thì lim yn = a
n →∞
n →∞
n →∞
Ý nghĩa: Việc tính giới hạn dãy {yn} khó thì ta phải kẹp [ hay
chặn] 2 đầu dãy {yn} bởi dãy {xn};{zn} , mà việc tính giới hạn
của 2 dãy{xn};{zn} dễ dàng hơn.
sin n
VÍ DỤ 8 Chứng minh rằng lim
= 0.
n →∞ n
Ta có
−1 sin n 1
−1
1
sin n
≤
≤
mà lim
= lim = 0 nên lim
= 0.
n →∞ n
n →∞ n
n →∞ n
n
n
n
ĐỊNH LÝ 4 Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ;
Hoặc dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ
VÍ DỤ 9 ⎧⎨ 1 ⎫⎬ → 0 khi n → ∞
⎩n⎭
12
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
Định nghĩa [dãy Cauchy]
Dãy xn được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε >0 cho trước,
tìm được n0∈ * sao cho khi m , n ≥ n0 ta coù x n − x m < ε
Bổ đề: Dãy Cauchy là dãy giới nội
ĐỊNH LÝ 5 Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy
Điều kiện cần và đủ để dãy số thực hội tụ là dãy Cauchy
n
⎛ 1⎞
4. Số e: lim ⎜ 1 + ⎟ = e
n →∞
⎝ n⎠
và e = 2,7182818284
Số e có một vai trị quan trọng trong tốn học. Ta gọi
lơgarit cơ số e là lôgarit tự nhiên hay lôgarit Napier và logex
được viết đơn giản là lnx. Ứng dụng giới hạn số e để tính một
số bài tập giới hạn
II. Một số giới hạn cơ bản
n
n
⎛ 1⎞
1. lim ⎜ 1 + ⎟ = e
n →∞
⎝ n⎠
sin n
=0
2. lim
n →∞
n
⎛ 1⎞ 1
1’. lim ⎜ 1 − ⎟ =
n →∞
⎝ n⎠ e
cos n
2’. lim
=0
n →∞
n
3. lim n n p = 1 ∀p
3’. lim n a = 1 ∀a > 0
n →∞
1
= 0 [α > 0]
nα
1
5. lim α = 0
n →∞ ln n
4. lim
n →∞
n →∞
4’. lim
n →∞
5’. lim
n →∞
1
=0
en
np
[1 + a ]
n
= 0 ∀p, ∀a > 0
ln p n
6. lim q = 0 ∀ q < 1
6’. lim α = 0 ∀p, ∀α > 0
n →∞
n →∞ n
Chú ý: không tồn tại giới hạn lim sin n và lim cos n
n
n →∞
n →∞
13
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
Các ví dụ cơ bản
VÍ DỤ 10 Tính lim n n + 5
n →∞
Ta có: ∀n > 5 ⇒ n + 5 < 2n ⇒ 1 < n n + 5 < n 2n ;
vì lim n 2n = lim n n n 2 = 1 ⇒ lim n n + 5 = 1
n →∞
n →∞
n →∞
VÍ DỤ 11 Sử dụng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau
⎛ 1⎞
⎛ n ⎞
a] lim ⎜ 1 + ⎟ = 1
b] lim ⎜ 3
⎟=0
n →∞
n
→∞
⎝ n⎠
⎝ n +1⎠
VÍ DỤ 12 Tìm giới hạn
n
a]
1 ⎞
⎛ 2n + 2 ⎞
⎛
lim ⎜
= lim ⎜ 1 +
⎟
⎟
n →∞ 2n + 1
⎝
⎠ n→∞ ⎝ 2n + 1 ⎠
[ 2 n +1]
n
2 n +1
n
[ 2 n +1] ⎞ 2 n +1
1
⎛⎛
1 ⎞
= lim ⎜ ⎜ 1 +
= e2 = e
⎟⎟
⎟
n →∞ ⎜
n
2
1
+
⎝
⎠
⎝
⎠
b]
n2
⎛ n −1⎞
−2 ⎞
⎛
= lim ⎜ 1 + 2
lim ⎜ 2
⎟
⎟
n →∞ n + 1
n →∞
⎝ n +1⎠
⎝
⎠
2
n 2 +1 −2
. 2
. n2
−2
n +1
= e −2
VÍ DỤ 13 Tìm giới hạn
2 n2
a]
⎛ n +5⎞
lim ⎜ 2
⎟
n →∞ n − 7
⎝
⎠
b]
⎛ n2 + 1 ⎞
2 ⎞
⎛
lim ⎜ 2
= lim ⎜ 1 + 2
⎟
⎟
n →∞ n − 1
n →∞
⎝ n −1⎠
⎝
⎠
2
n2
14
12 ⎞
⎛
= lim ⎜ 1 + 2
⎟
n →∞
⎝ n −7⎠
n 2 −7
12
. 2
. 2 n2
12
n −7
n 2 −1
2
. 2
. n2
2
n −1
= e 24
= e2
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
1.2 CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM MỘT BIẾN SỐ
I. Định nghĩa hàm một biến số
1. Định nghĩa 1 [Định nghĩa hàm số]
D , D * ⊆ , mỗi ánh xạ f từ D vào D* biến mỗi x ∈ D thành
y = f[x] ∈ D* được gọi là hàm số biến số thực [gọi là hàm số]
D: tập xác định;
VÍ DỤ 1 Các hàm số sau:
D*: tập giá trị
+ f: →
x
+f:
y = f [ x] = 3x + 5
π π
+ f :[− , ] → [−1,1]
2 2
x sin x
+f:
→
x
+
a x [0 ≠ a > 1]
→
x
y=
5x 2 − 3
x
π π
+ f :[−1,1] → [− , ]
2 2
x arcsin x
+f:
+
x
→
log a x
2. Định nghĩa 2 [Đồ thị hàm số]
Đồ thị hàm số là tập những điểm [x, f[x]] trên mặt phẳng toạ
độ Oxy, tức là
G = {[x, f[x]]/ x∈ D, f[x] ∈ D*}
Nối tất cả các điểm đó ta sẽ được đường cong, kí hiệu: [C]
3. Các cách cho hàm số
* Cho dạng biểu thức đại số: ví dụ y = f[x] = 4x3 + x2 - 5x +3
* Cho dạng đồ thị: trong mặt phẳng Oxy cho đừơng cong [C ] từ
trên đường cong ta xác định mọi điểm M[x, y] thì biểu thức liên
hệ giữa y và x chính là hàm số cần tìm.
* Cho hàm số dưới dạng bảng
15
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
X
Y = f[x]
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3 …….
9
Hàm cần tìm có biểu thức là f[x] = x2
4. Hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm đơn điệu
a] Hàm chẵn
,x
Hàm f : D →
f [ x ] được gọi là hàm chẵn
⎧∀x, − x ∈ D
⇔⎨
⎩ f [ x ] = f [− x ]
Đồ thị hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng
b] Hàm lẻ
f :D→ , x
Hàm
f [ x ] được gọi là hàm
lẻ
⎧∀x, − x ∈ D
⇔⎨
⎩ f [ x ] = − f [− x ]
Đồ thị hàm lẻ nhận gốc toạ độ O[0,0] làm tâm đối xứng.
c] Hàm tuần hoàn
Hàm f : D → ; x
f [ x ] được gọi là hàm tuần hoàn
⎧ ∃p ∈ + , ∀x ∈ D
⇔⎨
⎩ f [ x + p] = f [ x ]
Số p nhỏ nhất có tính chất trên được gọi là chu kỳ của
hàm số.Đồ thị của hàm tuần hoàn lặp lại sau 1 chu kỳ
VÍ DỤ 2 Hàm sinx, cosx là hàm tuần hồn có chu kỳ 2 π .
Hàm tanx, cotanx là hàm tuần hồn có chu kỳ π .
d] Hàm đơn điệu
- Hàm số f : D → ; được gọi là hàm số tăng trên D nếu
∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 thì f [ x1 ] ≤ f [ x2 ] .
16
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
Dấu “=” chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm.
Hàm số tăng cịn gọi là hàm số đồng biến, có đồ thị đi lên từ trái
qua phải .
- Hàm số f : D → được gọi là hàm số giảm trên D nếu
∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 thì f [ x1 ] ≥ f [ x2 ] .
Dấu “=” chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm.
Hàm số giảm cịn gọi là hàm nghịch biến, có đồ thị đi xuống từ
trái qua phải.
Hàm số tăng hoặc hàm số giảm thì gọi chung là hàm đơn điệu.
Hàm số chỉ nhận một giá trị được gọi là hàm hằng [hay gọi là
hàm dừng].
e] Hàm số hợp
Cho 2 hàm số f : X → Y và g : Y → Z , hàm hợp của f và g
được xác định và kí hiệu:
go f : X → Y → Z
x
y = f [x]
g[ y ] = g[ f [ x ]] = go f [ x ]
VÍ DỤ 3
f
go f :
x
và
go f :
g
→ [−1,1]
→
sin [ x 2 + 2 ]
x2 + 2
f
→
g
→ [−1,1]
x
x4 + 3
ln [ x 4 + 3]
f] Hàm số ngược và đồ thị của hàm số ngược
Nếu hàm số f : X → Y
x y = f[x] là một hàm đơn điệu thì ứng với
mỗi phần tử y ∈ Y có duy nhất một phần tử x ∈ X sao cho
y = f[x]. Khi đó hàm số
g :Y → X, y
x được gọi là hàm số ngược của ánh
−1
xạ f, và được kí hiệu: f . Vậy: f −1 [y] = x
17
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
VÍ DỤ 4
a]
y = 3x + 1
x
b]
f:
f −1 :
→
f:
→
→
⇒
+
⇒
y
f −1 :
x=
y −1
3
+
→
y x = log3 y
x y=3
- Đồ thị của hàm số ngược f −1 [x] đối xứng với đồ thị hàm số
f[x] qua tia phân giác thứ nhất
VÍ DỤ 5 Đồ thị hàm y = ax và y = logax đối xứng nhau qua
đường thẳng y = x
x
Đồ thị hàm y = x2 và y = x đối xứng nhau qua đường
thẳng y = x .
h] Hàm bị chặn
- Hàm f[x] được gọi là bị chặn trên bởi số M trên tập X nếu
∀x ∈ X thì f [ x ] ≤ M .
- Hàm f[x] được gọi là bị chặn dưới bởi số m trên tập X nếu
∀x ∈ X thì f [ x ] ≥ m .
Hàm bị chặn trên và dưới gọi là hàm bị chặn, hay hàm giới nội.
VÍ DỤ 6 f[x] = sinx bị chặn trên bởi 1 và dưới bởi -1
II. Các hàm sơ cấp
1] Các hàm sơ cấp cơ bản
a] Hàm số hằng: y= c ; c là hằng số.
b] Hàm lũy thừa: y= xα ; α là một số thực.
Miền xác định của hàm phụ thuộc vào α .
VÍ DỤ 7
Hàm số y=x và y= x2 xác định với mọi x.
Hàm số y= 1/x xác định với x ≠ 0.
c]Hàm mũ: y= ax , điều kiện a>0 và a ≠ 1 có miền xác định
[ −∞, +∞ ] ; miền giá trị [ 0, +∞ ] .
18
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
Chú ý: y= ex có miền xác định [ −∞, +∞ ] ; miền giá trị [ 0, +∞ ]
d] Hàm logarit: y=logax có miền xác định với mọi x>0; miền
giá trị [ −∞, +∞ ] .
Chú ý: y=logex = lnx có miền xác định với mọi x>0; miền giá
trị [ −∞, +∞ ]
e]Các hàm lượng giác: y= sin x; y= cos x; y= tg x ; y= cotg x.
f] Các hàm lượng giác ngược
+ y=arcsinx là hàm ngược của hàm sinx
−π
π
≤x≤
là một song ánh từ đoạn
2
2
Hàm y= sin x với
−π
π
≤x≤
lên đoạn [-1,1], nó có một hàm ngược kí hiệu
2
2
x=arcsiny [nghĩa là x bằng số đo của cung mà sin của nó là y]
Với qui ước x là đối số, y là hàm số thì hàm ngược của hàm
y=sinx sẽ là y= arcsinx có miền xác định là đoạn [-1,1].
Miền giá trị [-
π π
2
,
2
].
Đồ thị của hàm đối xứng với hàm y= sin x qua đường phân
giác thứ nhất. Xem hình 1-7.
+ y= arccosx là hàm ngược của hàm cosx
Tương tự, hàm y=arccosx có miền xác định là [-1,1], miền giá
trị là [0, π ] là hàm ngược của hàm y= cos x với 0 ≤ x ≤ π .
Xem hình 1.8
19
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
y
y
π
2
π
-1
1
−
π
2
x
π
2
-1
O
x
1
Hình 1-8
Hình 1-7
+ y= arctg x , có miền xác định là R, miền giá trị là [-
là hàm ngược của hàm y= tg x với miền xác định [-
π
2
π π
2
,
2
,
π
2
]
].
Xem hình 1-9
y
y
π
2
π
O
−
π
2
Hình 1-9
x
π
2
O
Hình 1-10
+ y= arccotg x , có miền xác định là R, miền giá trị là [0, π ] là
hàm ngược của hàm y= cotg x với miền xác định [0, π ].
Xem hình 1-10.
2] Các hàm số sơ cấp: là các hàm được tạo bởi một số hữu hạn
các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp của các
hàm sơ cấp cơ bản.
20
x
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
Ví dụ: f[x] = 5x2 + sinx - cotgx;
3π/2
y
f [x] =
5arctg[3 x ] …
2x
f[x]=cos[x]
f[x]=x
f[x]=acos[x]
π
π/2
x
-3π/2
-π
π/2
-π/2
π
3π/2
-π/2
-π
-3π/2
3π/2
y
f[x]=sin[x]
f[x]=x
f[x]=asin[x]
π
π/2
x
-3π/2
-π
π/2
-π/2
π
3π/2
-π/2
-π
-3π/2
21
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
3. Các phép toán về hàm số
Cho 2 hàm số f[x], g[x], hàm tổng, hiệu, tích, thương của chúng
được xác định:
1/ [ f ± g][ x ] = f [ x ] ± g[ x ]
fg[ x ] = f [ x ]g[ x ]
2/
⎛f⎞
f [x]
∀x / g [ x ] ≠ o
3/ ⎜ ⎟ [ x ] =
g[ x ]
⎝g⎠
Df, Dg lần lượt là miền xác định của f, g
Ký hiệu :
4.
Df ∩Dg là miền xác định của tổng, hiệu, tích
Đa thức hữu tỷ
Viết Pn[x] = a0 + a1x + a2x2 +.......+ an-1xn-1 + anxn
n
= ∑ ak x
k
k =0
5.
an ≠ 0 Gọi là đa thức bậc n [n∈ ]
Phân thức hữu tỷ
Pn [ x ] ao + a1 x + a2 x 2 + ...... + an −1 x n −1 + an x n
=
Qm [ x ] bo + b1 x + b2 x 2 + ...... + bm −1 x m −1 + bm x m
n
=
∑a x
k
∑b x
i
k
k =0
m
i =0
i
Gọi là một phân thức hữu tỷ
VÍ DỤ
f[x] = 5x5 + 4x3 - 6x2 + 7 ;
3x 2 + 1
.
f[x] =
x
22
[ an ≠ 0]
n, m ∈
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
1.3 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Các khái niệm cơ bản về giới hạn của hàm số
1. Định nghĩa 1
a] [Theo ngôn ngữ dãy]: Cho hàm f[x] xác định ở lân cận x0 ,
có thể khơng xác định tại x0 . Nếu mọi dãy xn hội tụ về x0 , dãy
hàm tương ứng f[xn] đều hội tụ về L, thì ta nói L là giới hạn của
hàm f[x] khi x dần về x0.
b] [Theo [ ε − δ ] ]: Cho hàm f[x] xác định ở lân cận x0 , có
thể khơng xác định tại x0 . Số L được gọi là giới hạn của hàm
f[x] khi x dần về x0 nếu
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 :0 < x − x 0 < δ thì f [ x ] − L < ε
Ký hiệu có 3 cách sau
lim
f [ x ] = L ; f [ x ] → L khi x → x 0 ;
x→ x
0
x → x0
f [x] → L
VÍ DỤ 1 lim x cos x = 0; lim[3x + 1] = 1
x →0
x →0
2. Định nghĩa 2 [Giới hạn bằng vô cực và giới hạn tại vô cực]
a] Giới hạn bằng vô cực
*[Theo ngôn ngữ dãy]
Cho hàm f[x] xác định ở lân cận x0 , có thể không xác định tại
x0 . Nếu mọi dãy xn hội tụ về x0 , dãy hàm tương ứng f[xn] đều
hội tụ về ±∞ , thì ta nói giới hạn của hàm f[x] bằng vô cùng
khi x dần về x0.
Ký hiệu lim f [ x ] = ±∞
x → x0
*[Theo [ ε − δ ] ]
23
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
BỘ MÔN TOÁN
Nếu mọi số dương M lớn tuỳ ý, tồn tại δ > 0 : x − x 0 < δ thì
f [x] > M
b] Giới hạn tại vơ cực
Hàm f[x] có giới hạn là L khi x dần về ±∞ được gọi là giới hạn
tại vô cực của hàm f[x].
Ký hiệu lim f [ x ] = L;
x →±∞
f [ x ] → L khi x → ±∞
3. Định nghĩa [ Giới hạn một phía]
Định nghĩa giới hạn phải tại x0 : lim+ f [ x ] = a nếu x ≥ x0
x → xo
Định nghĩa giới hạn trái tại x0 : lim− f [ x ] = a nếu x ≤ x0
x → xo
Định lý
Nếu hàm f[x] tồn tại giới hạn trái, giới hạn phải khi x → x0
và hai giới hạn này bằng nhau thì hàm số này có giới hạn khi
x → x0 .
4. Các tính chất và phép tốn của hàm có giới hạn
Định lý 1 Giới hạn của hàm số [nếu có] là duy nhất
Định lý 2 [Tính tuyến tính của giới hạn]
Nếu tồn tại hai giới hạn của hàm f [ x ] và g [ x ] là a và b
khi x → x0 , tức là lim f [ x ] = a , lim g [ x ] = b [ a, b ≠ ±∞ ] thì
x → x0
x → x0
ta có
a] lim ⎡⎣ f [ x ] ± g [ x ] ⎤⎦ = lim f [ x ] ± lim g [ x ] = a ± b
x → x0
x → x0
x → x0
b] lim ⎡⎣Cf [ x ] ⎤⎦ = C lim g [ x ] = Ca
x → x0
x → x0
c] lim ⎡⎣ f [ x ] .g [ x ] ⎤⎦ = lim f [ x ] . lim g [ x ] = a.b
x → x0
x → x0
x → x0
24
BỘ MÔN TOÁN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM
f [ x] a
f [ x ] xlim
→ x0
d] lim
=
= , [b ≠ 0]
x → x0 g [ x ]
lim g [ x ] b
x → x0
Định lý 3 [Định lý giới hạn kẹp]
Giả sử ba hàm số f [ x ] ,
f [ x] ≤ g [ x] ≤ h [ x]
∀x ∈ D .
g [ x] ,
h [ x]
Khi
thỏa mãn
đó,
nếu
lim f [ x ] = lim h [ x ] = a thì lim g [ x ] = a
x → x0
x → x0
x → x0
II. Vô cùng bé [VCB ]và vô cùng lớn [VCL]
1. Định nghĩa
a] f[x] là một vô cùng bé nếu f[x] có giới hạn bằng 0 khi
x → x0 hay x → ∞
VÍ DỤ x; sin x; tgx; . . . là các vô cùng bé khi x → 0 ;
1
là vô cùng bé khi x → ∞
x
b] f[x] là một vơ cùng lớn khi f[x] có giới hạn bằng +∞
VÍ DỤ x, a
x
[ a > 1] ;
ln x; . . . là các vô cùng lớn khi x → +∞
1
là vô cùng lớn khi x → 0
x
2. Tính chất của vơ cùng bé, vơ cùng lớn
a] Tính chất 1: Tổng ,tích các vơ cùng bé cùng q trình là
một vơ cùng bé
VÍ DỤ x; sin x; tgx là các vô cùng bé khi x → 0 thì
x+ sinx+tgx là một vơ cùng bé khi x → 0 ;
25