- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
Cách 1:
- Viết PT mặt phẳng [P] đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1
- Tìm giao điểm B = [P] ∩ [d2]
- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Cách 2:
- Viết PT mặt phẳng [P] đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1
- Viết PT mặt phẳng [Q] đi qua A và chứa đường thẳng d2
- Đường thẳng d cần tìm là d = [P] ∩ [Q]
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[ 1; - 1; 3] và hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Gọi [ P] là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d1.
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là [ 1; 4; -2] nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là:
=> Phương trình mặt phẳng [P] là: 1[ x-1] + 4[ y+1] – 2[ z- 3] =0 .Hay x+ 4y – 2z + 9= 0
+Gọi giao điểm của đường thẳng d2 và mặt phẳng [ P] là điểm B
Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ 2+ t; - 1- t; 1+ t] . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng [P] ta được : 2+ t + 4[ - 1- t] – 2[ 1+ t] + 9= 0 ⇔ 2+ t- 4 – 4t- 2- 2t + 9= 0 ⇔ - 5t+ 5= 0 ⇔ t= 1 => B[ 3; -2; 2]
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A[1; -1;3] nhận vecto
=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Gọi giao điểm của của d và d2 là B.
Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ t; 1+ 2t; t] =>
+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương
+ Do đường thẳng d vuông góc với d1 nên
+ Đường thẳng d đi qua điểm A [ 1; 2; - 2] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng:
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
- Gọi mặt phẳng [P] đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng [P] là: 2.[x – 1] – 1 . [y – 2] + 1. [z – 3] = 0 hay 2x – y + z – 3 = 0
-Gọi giao điểm của mặt phẳng [P] và đường thẳng d2 là B
B thuộc d2 nên tọa độ B[ 1- t; 1+ 2t; - 1+ t]
Thay tọa độ [ B] vào phương trình mặt phẳng [P] ta được: 2[ 1- t] – [ 1+ 2t] + [ - 1+ t] – 3= 0 ⇔ 2- 2t- 1- 2t- 1+ t- 3= 0 ⇔ -3t – 3= 0 nên t= -1
Suy ra: B [2; -1; -2]
- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Vectơ chỉ phương của d là:
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
- Goi mặt phẳng [P] đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là
- Một điểm thuộc d2 là : M [0; 0; 2] ;
Mặt phẳng [Q] đi qua A và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là:
=>
- Đường thẳng cần tìm d = [P]∩[Q]
Vectơ chỉ phương của d là
=>
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Chọn B.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm N[1; 1; -2] vuông góc với đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi
Ta có
Do
⇒
Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là:
Phương trình của d đương thẳng d:
Chọn C .
Ví dụ 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A[1; 2; 3] và B[ 3; 0; 1]. Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M[2; 1; 2]
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là: H[ 2; 1+ t; 2t]=>
Ta có vecto chỉ phương của trục tung là:
Do
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng MH: đi qua M[ 2; 1; 2] và vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn A.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A. [ 1; 2; 1]
B. [ 1; -2; -2]
C. [1; -1; -2]
D.[ 1; 1;-2]
Hướng dẫn giải
+ Gọi mặt phẳng [P] đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là
- Một điểm thuộc d2 là : N [1; 1; 2];
Mặt phẳng [Q] đi qua M và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là:
- Đường thẳng cần tìm d = [P]∩[Q]
Vectơ chỉ phương của d là
Chọn D
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. – 3
B. 5
C. 7
D. - 1
Hướng dẫn giải
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H[ 2+ 3t; 1- t; 2t]=>
Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là:
Do
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A[-1; -1;2] và vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
Suy ra: a= -1; b=2 và c= 4 nên a+ b+ c= 5
Chọn B.
Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A:
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi giao điểm của đường thẳng d với hai đường thẳng d1; d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A∈ d1 nên tọa độ A[ 2a; 1- a; - 2+ a]
Điểm B∈ d2 nên tọa độ B[ - 1+ 2b; 1+ b; 3]
=>
+ Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến
+ Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ P] nên hai vecto AB→ và np→ cùng phương ⇔ có một số k thỏa mãn
⇔
+ Đường thẳng d đi qua điểm A[ 2; 0; -1] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[-2; -1; 1] và hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
+ Gọi [ P] là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d1.
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là [1; 2; -2] nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là:
=> Phương trình mặt phẳng [P] là: 1[ x+ 2] + 2[ y+1] – 2[ z- 1] =0 Hay x+ 2y – 2z + 6= 0
+Gọi giao điểm của đường thẳng d2 và mặt phẳng [ P] là điểm B
Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ - 2t; - 1- t; t] . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng [P] ta được : - 2t + 2[ - 1- t] - 2t+ 6 = 0 ⇔ - 2t – 2 – 2t- 2t+ 6= 0 ⇔ - 6t +4= 0 ⇔ t= 2/3 => B[ [- 4]/3; [- 5]/3; 2/3]
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A[ -2; -1; 1] nhận vecto
=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:
Chọn B.
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
+ Gọi giao điểm của của d và d2 là B.
Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ 3- 2t; t; 4+ t ] =>
+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương
+ Do đường thẳng d vuông góc với d1 nên
=>
⇔ 1[ 5- 2t] – 3[ t- 1] + 1[ 7+ t]= 0 ⇔ 5- 2t – 3t + 3+ 7+ t= 0 ⇔ - 4t + 15= 0 nên t= 15/4
+ Đường thẳng d đi qua điểm A [-2; 1; -3] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Câu 3:
Cho hai đường thẳng:
A. [ - 5; - 6; 9]
B.[ 5; - 6; 7]
C. [ -10; 12; 17]
D. [ 1; 1; 2]
- Gọi mặt phẳng [P] đi qua điểm A [0; 0; 1] và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng [P] là: -2.[x – 0] – 3 . [y – 0] + 1. [z – 1] = 0 hay - 2x – 3y+ z- 1 = 0 ⇔ 2x+ 3y – z+ 1= 0
-Gọi giao điểm của mặt phẳng [P] và đường thẳng d2 là B
B thuộc d2 nên tọa độ B[ 1- t; 3; - 2+ 2t]
Thay tọa độ [ B] vào phương trình mặt phẳng [P] ta được: 2[ 1- t] + 3. 3- [ - 2+ 2t] + 1= 0 ⇔ 2- 2t + 9 + 2- 2t + 1= 0 ⇔ - 4t + 14= 0 ⇔ t= 7/2 =>
- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Vectơ chỉ phương của d là:
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Cho t= 2 ta được điểm I[ -10; 12; 17] thuộc đường thẳng d .
Chọn C.
Câu 4:
Cho đường thẳng:
A.
B.
C.
D.
+ Gọi giao điểm của d và d1 là B[ -2+ 2t; t; 1- t]
+ Khi đó đường thẳng d chính là đường thẳng AB nên đường thẳng d nhận vecto
+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng MN
=>
=> - 1[ - 3- 2t] + 3. t+ 3[ 1- t] = 0 ⇔ 3+ 2t +3t + 3- 3t= 0 ⇔ 2t+ 6= 0 ⇔ t= - 2 => B[ - 6; - 2; 3]
+ Đường thẳng d đi qua A [1; 0;0] nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn D.
Câu 5:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A[ -1; 2; 3] vuông góc với đường thẳng
A. 4x+ y- 10= 0
B. 2x+ y- 6z+ 1= 0
C. x+ 2y- z+ 1= 0
D. – x+ 2y- 2z= 0
Gọi
Ta có
Do
Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là:
Phương trình của d đương thẳng d:
+ Xét mặt phẳng [P]: 4x + y- 10= 0 có vecto pháp tuyến
=>
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P].
Chọn A .
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A[-1; 2; 0]; B[ 2; 1;1] và C[ 2; 3; 2]. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua G vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng
A.
B.
C.
D.
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ G[ 1; 2;1] .
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là: H[ 1- t; - 2+ 2t; 2]=>
Ta có vecto chỉ phương của trục tung là:
Do
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng GH: đi qua G[ 1; 2; 1] và vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn D.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A. [-3; 1; -3]
B. [ -3; -1; 3]
C. [-3; 1; 3]
D.[ 3; 1; 3]
+ Gọi mặt phẳng [P] đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến
là
- Một điểm thuộc d2 là : O[0; 0;0];
Mặt phẳng [Q] đi qua I và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là:
- Đường thẳng cần tìm d = [P]∩[Q]
Vectơ chỉ phương của d là
Chọn D
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. 8
B. - 12
C. - 8
D. 12
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H[ 3t; -2+ t; 2- t]=>
Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là:
Do
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A[ 3; 2; 2] và vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
Suy ra: a= 2; b= - 3 và c= 2 nên abc= - 12
Chọn B.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp