Đường tròn [[ C ] ] có tâm [I ] thuộc đường thẳng d:x + 3y + 8 = 0, đi qua điểm [A[ [ - 2;1] ] ] và tiếp xúc với đường thẳng Delta : ,3x - 4y + 10 = 0. Phương trình của đường tròn [[ C ] ] là:
Câu 56733 Vận dụng
Đường tròn \[\left[ C \right]\] có tâm \[I\] thuộc đường thẳng $d:x + 3y + 8 = 0$, đi qua điểm \[A\left[ { - 2;1} \right]\] và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :\,3x - 4y + 10 = 0$. Phương trình của đường tròn \[\left[ C \right]\] là:
Đáp án đúng: d
Phương pháp giải
Nhận xét \[A \in \Delta \] nên \[\Delta \] là tiếp tuyến của đường tròn tại \[A\] hay đường thẳng \[AI\] vuông góc với \[\Delta \] .
- Viết phương trình \[AI\].
- Tìm tọa độ \[I = AI \cap d\].
- Tính bán kính \[IA\] và viết phương trình.
Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn --- Xem chi tiết
...
Khi đó bán kính \[R = d [I, \Delta ]\]
Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn [C] có tâm I[-1,2] tiếp xúc với đường thẳng \[\Delta\] x – 2y + 7 = 0
Giải: Ta có \[d[I,\Delta]=\frac{|-1-4-7|}{\sqrt{5}}\]
Phương trình đường tròn [C] có dạng \[[x+1]^2+[y-2]^2=\frac{4}{5}\]
Dạng 2: Đường tròn [C] đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng \[\Delta\]
- Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
- Tâm I của [C] thỏa mãn \[\left\{\begin{matrix} I \epsilon d & \\ d[I, \Delta ] = IA & \end{matrix}\right.\]
- Bán kính R = IA
Ví dụ 2: Cho điểm A[-1;0], B[1;2] và đường thẳng [d]: x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d.
Giải: Gọi I[x,y] là tâm của đường tròn cần tìm. Từ điều kiện đề bài ta có:
IA = IB = r \[\Leftrightarrow\] \[[x+1]^2+y^2= [x-1]^2+[y-2]^2\] [1]
IA = d[I,d] \[\Leftrightarrow\] \[\sqrt{[x+1]^2+y^2}=\frac{|x-1-y|}{\sqrt{2}}\] [2]
Giải hệ gồm 2 phương trình [1] và [2] ta được x = 0, y = 1
Vậy I[0,1] IA = r = \[\sqrt{2}\]
Phương trình đường tròn [C] có dạng \[x^2+[y-1]^2 = 2\]
Dạng 3: Đường tròn [C] đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng \[\Delta\] tại điểm B.
- Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
- Viết phương trình đường thẳng \[\Delta ‘\] đi qua B và \[\perp \Delta\]
- Xác định tâm I là giao điểm của d và \[\Delta ‘\]
- Bán kính R = IA
Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn [C] tiếp xúc với trục hoành tại A[6,0] và đi qua điểm B[9,9]
Giải: Gọi I[a,b] là tâm đường tròn [C]
Vì [C] tiếp xúc với trục hoành tại A[6;0] nên \[I \epsilon d: x = 6\]
Mặt khác B nằm trên đường tròn [C] nên I sẽ nằm trên trung trực của AB
Ta có phương trình trung trực AB: x + 3y – 21 = 0
Thay x = 6 => y = 5
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm I[6;5], R = 5
Vậy phương trình đường tròn [C]: \[[x-6]^{2} + [y – 5]^{2} = 25\]
>> Xem thêm: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn và các dạng bài tập – Toán học 12
Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng
Dạng 1: Đường tròn [C] đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng \[\Delta _{1}, \Delta _{2}\]
- Tâm I của [C] thỏa mãn: \[\left\{\begin{matrix} d[I,\Delta _{1}] = d[I,\Delta _{2}]& \\ d[I,\Delta _{1}] = IA & \end{matrix}\right.\]
- Bán kính R = IA
Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M [1,2].
Giải: Gọi I[x,y] là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ I đến 2 tiếp điểm bằng nhau nên \[\frac{|7x-7y-5|}{\sqrt{5}} = \frac{\left | x + y + 13 \right |}{\sqrt{1}}\] [1]
và \[\frac{|x+y+13|}{\sqrt{2}}=\sqrt{[1-x]^2+[2-y]^2}\] [2]
Giải hệ gồm 2 phương trình [1] và [2] ta được
- TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = \[20\sqrt{2}\]
Phương trình đường tròn có dạng \[[x-29]^2+[y+2]^2=800\]
- TH2: x = – 6, y = 3 => R = \[5\sqrt{2}\]
Phương trình đường tròn có dạng \[[x+6]^2+[y-2]^2=50\]
Dạng 2: Đường tròn [C] tiếp xúc với hai đường thẳng \[\Delta _{1}, \Delta _{2}\] và có tâm nằm trên đường thẳng d.
- Tâm I của [C] thỏa mãn \[\left\{\begin{matrix} d[I,\Delta _{1}] = d[I,\Delta _{2}]& \\ I\epsilon d & \end{matrix}\right.\]
- Bán kính \[R = d[I,\Delta _{1}]\]
Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A[2,-1] và tiếp xúc với hai trục tọa độ
Giải: Gọi I[a,b] là tâm của đường tròn [C]
Do [C] tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: |a| = |b|
Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có A[2, -1] thuộc phần tư thứ IV
=> Tâm I thuộc phần tư thứ IV => a > 0, b < 0
Như vậy tọa độ tâm là I[a, -a], bán kính R = a, với a > 0
Ta có phương trình đường tròn [C] có dạng \[[x-a]^2 + [y+a]^2 = a^2\]
Do A [-2;1] thuộc đường tròn [C] nên thay tọa độ của A vào phương trình [C] ta được: \[[2-a]^2 + [1+a]^2 = a^2\]
Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a=5
- Với a = 1 ta có phương trình [C] \[[x-1]^2 + [y+1]^2 = 1\]
- Với a = 5 ta có phương trình [C] \[[x-5]^2 + [y+5]^2 = 5^2\]
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới nha. Cảm ơn bạn, thấy hay thì đừng quên chia sẻ nhé 0 ].
Do đó [C] có phương trình là: \[{\left[ {x – a} \right]^2} + {\left[ {y – a} \right]^2} = {a^2}\]
Vì \[M[2;1]\in[C]\] nên
\[\eqalign{ & {\left[ {2 – a} \right]^2} + {\left[ {1 – a} \right]^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} – 6a + 5 = 0\,\,[C] \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = 1 \hfill \cr
a = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
+] Với \[a =1\] ta có [C]: \[{\left[ {x – 1} \right]^2} + {\left[ {y – 1} \right]^2} = 1.\]
+] Với \[a=5\] ta có \[[C]:{\left[ {x – 5} \right]^2} + {\left[ {y – 5} \right]^2} = 25.\]
b] Phương trình đường thẳng Ox: \[y = 0\].
Giả sử: \[I [a; b]\] là tâm của đường tròn cần tìm.
Quảng cáoTa có: \[R = d\left[ {I;{\rm{Ox}}} \right] = |b|\]
Phương trình đường tròn có dạng
\[[C]:{\left[ {x – a} \right]^2} + {\left[ {y – b} \right]^2} = {b^2}\]
Vì \[\left[ {1;1} \right] \in [C]\] và \[\left[ {1;4} \right] \in [C]\] nên ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{ {\left[ {1 – a} \right]^2} + {\left[ {1 – b} \right]^2} = {b^2}\,\,\,[\,1\,] \hfill \cr
{\left[ {1 – a} \right]^2} + {\left[ {4 – b} \right]^2} = {b^2}\,\,\,[2] \hfill \cr} \right.\]
Từ hệ trên ta suy ra: \[{\left[ {1 – b} \right]^2} = {\left[ {4 – b} \right]^2}\]\[\Leftrightarrow b = {5 \over 2}.\]
Thay \[b = {5 \over 2}\] vào [1] ta được: \[a = 3, a = -1\]
Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán
\[{\left[ {x – 3} \right]^2} + {\left[ {y – {5 \over 3}} \right]^2} = {{25} \over 4};\]
\[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y – {5 \over 2}} \right]^2} = {{25} \over 4}.\]