- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số
\[y = {{{x^2} - 3x + 1} \over x}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x} = x - 3 + \frac{1}{x}\]
+] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]
+] Chiều biến thiên:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \] nên TCĐ: \[x = 0\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left[ {x - 3} \right]} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{x} = 0\] nên TCX: \[y = x - 3\].
\[\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{x}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = \pm 1\end{array}\]
BBT:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - 1;0} \right]\] và \[\left[ {0;1} \right]\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x = - 1\], \[{y_{CD}} = - 5\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1,{y_{CT}} = - 1\].
+] Đồ thị:
LG b
Với các giá trị nào của m, đồ thị [C] cắt đường thẳng y = m, tại hai điểm phân biệt A và B.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị \[\left[ C \right]\] của hàm số đã cho là nghiệm của phương trình \[{{{x^2} - 3x + 1} \over x} = m\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - \left[ {m + 3} \right]x + 1 = 0\] [1]
Đồ thị [C] cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Dễ thấy \[{0^2} - \left[ {m + 3} \right].0 + 1 = 1 \ne 0\] nên 0 không là nghiệm của phương trình.
[1] có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
= \[{\left[ {m + 3} \right]^2} - 4 > 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0\]
\[ \Leftrightarrow m < - 5\] hoặc \[m > - 1\]
LG c
Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
Lời giải chi tiết:
Với\[ m < - 5\] hoặc \[m > - 1\] thì đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B.
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
\[{x_M} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{m + 3} \over 2}\] và \[{y_M} = m.\] [2]
Từ đó suy ra \[{x_M} = {{{y_{_M}} + 3} \over 2}\] hay \[{y_M} = 2{x_M} - 3.\]
Vậy điểm M nằm trên đường thẳng \[y = 2x - 3.\]
Từ [2] suy ra \[m = 2{x_M} - 3.\]
Do \[ m < - 5\] hoặc \[m > - 1\] nên ta có
\[\left[ \matrix{2{x_M} - 3 < 5 \hfill \cr 2{x_M} - 3 > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_M} < - 1 \hfill \cr {x_M} > 1. \hfill \cr} \right.\]
Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m lấy giá trị trong tập hợp \[\left[ { - \infty ; - 5} \right] \cup [ - 1; + \infty ]\] là phần của đường thẳng \[y = 2x - 3\] ứng với \[x \in \left[ { - \infty ; - 1} \right] \cup [ 1; + \infty ]\]
Đó là hai nửa đường thẳng.