Bài tập trắc nghiệm cấp số cộng cấp số nhân năm 2024

Trắc nghiệm bài 6 Cấp số cộng mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 7 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

TRẮC NGHIỆM BÀI 6. CẤP SỐ CỘNG

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ CỘNG

Phương pháp: Dãy $[{u_n}]$ là cấp số cộng ${u_{n + 1}} – {u_n} = d$ là hằng số

Câu 1. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

1. $\left[ {{u_n}} \right]:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 1} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \geqslant 1} \end{array}} \right.$.

1. $\left[ {{u_n}} \right]$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\forall n \geqslant 1} \end{array}} \right.$.

1. $\left[ {{u_n}} \right]:1;3;6;10;15; \ldots $.

1. $\left[ {{u_n}} \right]: – 1;1; – 1;1; – 1; \ldots $.

Lời giải

Dãy số ở đáp án A thỏa ${u_{n + 1}} – {u_n} = 2$ với mọi $n \geqslant 1$ nên là cấp số cộng.

Chọn A

Câu 2. Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?

1. Dãy số $\left[ {{u_n}} \right]$ với ${u_n} = 4n$.

1. Dãy số $\left[ {{v_n}} \right]$ với ${v_n} = 2{n^2} + 1$.

1. Dãy số $\left[ {{w_n}} \right]$ với ${w_n} = \frac{n}{3} – 7$

1. Dãy số $\left[ {{t_n}} \right]$ với ${t_n} = \sqrt 5 – 5n$.

1. 4 .

1. 2 .

1. 1 .

1. 3 .

Lời giải

Dãy số $\left[ {{u_n}} \right]$ với ${u_n} = 4n$ có ${u_{n + 1}} = 4\left[ {n + 1} \right] = 4n + 4 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 4,\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}} \Rightarrow $ dãy số $\left[ {{u_n}} \right]$ là cấp số cộng với công sai $d = 4$.

Dãy số $\left[ {{v_n}} \right]$ với ${v_n} = 2{n^2} + 1$ có ${v_1} = 3,{v_2} = 9,{v_3} = 19$ nên dãy số $\left[ {{v_n}} \right]$ không là cấp số cộng.

Dãy số $\left[ {{w_n}} \right]$ với ${w_n} = \frac{n}{3} – 7$ có ${w_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{3} – 7 = \frac{n}{3} – 7 + \frac{1}{3} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{3},\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}} \Rightarrow $ dãy số $\left[ {{w_n}} \right]$ là cấp số cộng với công sai $d = \frac{1}{3}$.

Dãy số $\left[ {{t_n}} \right]$ với ${t_n} = \sqrt 5 – 5n$ có ${t_{n + 1}} = \sqrt 5 – 5n – 5 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} – 5,\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}} \Rightarrow $ dãy số $\left[ {{w_n}} \right]$ là cấp số cộng với công sai $d = – 5$.

Vậy có 3 dãy số là cấp số cộng.

Chọn D

Câu 3. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

1. $1; – 2; – 4; – 6; – 8$.

1. $1; – 3; – 6; – 9; – 12$.

1. $1; – 3; – 7; – 11; – 15$.

1. $1; – 3; – 5; – 7; – 9$.

Chọn C

Lời giải

Dãy số $\left[ {{u_n}} \right]$ có tính chất ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$ thì được gọi là một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số: 1;-3;-7;-11;-15 là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng -4.

Câu 4. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng?

1. $\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}$.

1. $1;1;1;1;1$.

1. $ – 8; – 6; – 4; – 2;0$.

1. $3;1; – 1; – 2; – 4$.

Chọn D

Lời giải

Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số [hữu hạn hay vô hạn] mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số ${\text{d}}$ không đổi.

Đáp án A: Là cấp số cộng với ${u_1} = \frac{1}{2};d = 1$.

Đáp án B: Là cấp số cộng với ${u_1} = 1;d = 0$.

Đáp án C: Là cấp số cộng với ${u_1} = – 8;d = 2$.

Đáp án D: Không là cấp số cộng vì ${u_2} = {u_1} + \left[ { – 2} \right];{u_4} = {u_3} + \left[ { – 1} \right]$.

Câu 5. Xác định $a$ để 3 số $1 + 2a;2{a^2} – 1; – 2a$ theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?

1. Không có giá trị nào của $a$.

1. $a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

1. $a = \pm 3$.

1. $a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Lời giải

Chọn D

Theo công thức cấp số cộng ta có: $2\left[ {2{a^2} – 1} \right] = \left[ {1 + 2a} \right] + \left[ { – 2a} \right] \Leftrightarrow {a^2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Câu 6. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

1. ${u_n} = 3{n^2} + 2024$.

1. ${u_n} = 3n + 2025$.

1. ${u_n} = {3^n}$.

1. ${u_n} = {[ – 3]^{n + 1}}$.

Chọn B

Lời giải

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = 3\left[ {n + 1} \right] + 2025 – \left[ {3n + 2025} \right] = 3 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 3$.

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai $d = 3$.

Câu 7. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

1. $\left[ {{u_n}} \right]:{u_n} = \frac{1}{n}$.

1. $\left[ {{u_n}} \right]:{u_n} = {u_{n – 1}} – 2,\forall n \geqslant 2$.

1. $\left[ {{u_n}} \right]:{u_n} = {2^n} – 1$.

1. $\left[ {{u_n}} \right]:{u_n} = 2{u_{n – 1}},\forall n \geqslant 2$.

Chọn B

Lời giải

Xét dãy số $\left[ {{u_n}} \right]:{u_n} = {u_{n – 1}} – 2,\forall n \geqslant 2$

Ta có ${u_n} – {u_{n – 1}} = – 2,\forall n \geqslant 2$

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai $d = – 2$

Câu 8. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

1. ${u_n} = {n^2} + 1,{\text{}}n \geqslant 1$.

1. ${u_n} = {2^n},{\text{}}n \geqslant 1$.

1. ${u_n} = \sqrt {n + 1} ,n \geqslant 1$

1. ${u_n} = 2n – 3,{\text{}}n \geqslant 1$

Chọn D

Lời giải

Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: ${u_{n + 1}} = {u_n} + d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = d,{\text{\;}}\forall n \geqslant 1,d = $ const

Thử các đáp án ta thấy với dãy số: ${u_n} = 2n – 3,n \geqslant 1$ thì:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_n} = 2n – 3} \\ {{u_{n + 1}} = 2\left[ {n + 1} \right] – 3 = 2n – 1} \end{array} \Rightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = 2 = } \right.{\text{const}}$

Câu 9. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:

1. ${u_n} = {3^{n + 1}}$.

1. ${u_n} = \frac{2}{{n + 1}}$.

1. ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} $.

1. ${u_n} = \frac{{5n – 2}}{3}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có dãy ${u_n}$ là cấp số cộng khi ${u_{n + 1}} – {u_n} = d,\forall {\text{n}} \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$ với $d$ là hằng số.

Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy số ta dự đoán đáp án D.

Xét hiệu ${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{5\left[ {n + 1} \right] – 2}}{3} – \frac{{5n – 2}}{3} = \frac{5}{3},\forall {\text{n}} \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$.

Vậy dãy ${u_n} = \frac{{5n – 2}}{3}$ là cấp số cộng.

Câu 10. Các dãy số có số hạng tổng quát ${u_n}$. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

1. ${u_n} = 2n + 5$.

1. $49,43,37,31,25$.

1. ${u_n} = 1 + {3^n}$.

1. ${u_n} = {[n + 3]^2} – {n^2}$.

Lời giải

Chọn C

Xét dãy số ${u_n} = 1 + {3^n}$, suy ra ${u_{n + 1}} = 1 + {3^{n + 1}}$. Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = {2.3^n},\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$. Do đó ${u_n} = 1 + {3^n}$ không phải là cấp số cộng.

Câu 11. Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?

1. ${u_n} = n + {2^n},\left[ {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right]$.

1. ${u_n} = 3n + 1,\left[ {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right]$.

1. ${u_n} = {3^n},\left[ {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right]$.

1. ${u_n} = \frac{{3n + 1}}{{n + 2}},\left[ {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right]$.

Chọn B

Lời giải

* Với dãy số ${u_n} = n + {2^n},\left[ {n \in {\mathbb{N}{\text{*}}}} \right]$, xét hiệu: ${u_{n + 1}} – {u_n} = n + 1 + {2{n + 1}} – n – {2^n} = {2^n} + 1,\left[ {n \in {\mathbb{N}{\text{*}}}} \right]$ thay đổi theo $n$ nên ${u_n} = n + {2^n},\left[ {n \in {\mathbb{N}{\text{*}}}} \right]$ không là cấp số cộng. [A loại]

* Với dãy số ${u_n} = 3n + 1,\left[ {n \in {\mathbb{N}{\text{*}}}} \right]$, xét hiệu: ${u_{n + 1}} – {u_n} = 3\left[ {n + 1} \right] + 1 – 3n – 1 = 3,\left[ {n \in {\mathbb{N}{\text{*}}}} \right]$ là hằng số nên ${u_n} = 3n + 1,\left[ {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right]$ là cấp số cộng. [B đúng]

* Với dãy số ${u_n} = {3^n},\left[ {n \in {\mathbb{N}{\text{*}}}} \right]$, xét hiệu: ${u_{n + 1}} – {u_n} = {3{n + 1}} – {3^n} = {2.3^n},\left[ {n \in {\mathbb{N}{\text{*}}}} \right]$ thay đổi theo $n$ nên ${u_n} = {3^n},\left[ {n \in {\mathbb{N}{\text{*}}}} \right]$ không là cấp số cộng. [C loại]

* Với dãy số ${u_n} = \frac{{3n + 1}}{{n + 2}},\left[ {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right]$, xét hiệu:

${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{3\left[ {n + 1} \right] + 1}}{{n + 1 + 2}} – \frac{{3n + 1}}{{n + 2}} = \frac{5}{{\left[ {n + 2} \right]\left[ {n + 3} \right]}},\left[ {n \in {\mathbb{N}{\text{*}}}} \right]$ thay đổi theo $n$ nên ${u_n} = \frac{{3n + 1}}{{n + 2}},\left[ {n \in {\mathbb{N}{\text{*}}}} \right]$ không là cấp số cộng. [D loại]

Câu 12. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

1. $1;2;3;4;5$.

1. $1;2;4;8;16$.

1. $1; – 1;1; – 1;1$.

1. $1; – 3;9; – 27;81$.

Chọn A

Lời giải

Câu 13. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

1. $\left[ {{u_n}} \right]:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 1} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \geqslant 1} \end{array}} \right.$.

1. $\left[ {{u_n}} \right]:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\forall n \geqslant 1} \end{array}} \right.$.

1. $\left[ {{u_n}} \right]:1;3;6;10;15; \ldots $.

1. $\left[ {{u_n}} \right]: – 1;1; – 1;1; – 1; \ldots $.

Chọn A

Lời giải

Dãy số ở đáp án ${\text{A}}$ thỏa ${u_{n + 1}} – {u_n} = 2$ với mọi $n \geqslant 1$ nên là cấp số cộng.

DẠNG 2: TÍNH SỐ HẠNG, CÔNG SAI CẤP SỐ CỘNG, TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU

Phương pháp:

* Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + [n – 1]d$

* Tổng $n$ số hạng đầu ${s_n} = \frac{n}{2}[{u_1} + {u_n}] = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + [n – 1]d} \right]$

Câu 14. Cho cấp số cộng $\left[ {{u_n}} \right]$ với ${u_1} = 9$ và công sai $d = 2$. Giá trị của ${u_2}$ bằng

1. 11 .

1. $\frac{9}{2}$.

1. 18 .

1. 7 .

Chọn A

Lời giải

Ta có: ${u_2} = {u_1} + d = 9 + 2 = 11$.

Câu 15. Cho cấp số cộng $\left[ {{u_n}} \right]$ với ${u_1} = 8$ và công sai $d = 3$. Giá trị của ${u_2}$ bằng

1. $\frac{8}{3}$.

1. 24 .

1. 5 .

1. 11 .

Chọn D

Lời giải

Áp dụng công thức ta có: ${u_2} = {u_1} + d = 8 + 3 = 11$.

Câu 16. Cho cấp số cộng $\left[ {{u_n}} \right]$ với ${u_1} = 7$ công sai $d = 2$. Giá trị ${u_2}$ bằng

1. 14 .

1. 9 .

1. $\frac{7}{2}$.

1. 5

Chọn B

Lời giải

Vì $\left[ {{u_n}} \right]$ là một cấp số cộng thì ${u_{n + 1}} = {u_n} + d \Rightarrow {u_2} = {u_1} + d = 7 + 2 = 9$

Câu 17. Cho một cấp số cộng $\left[ {{u_n}} \right]$ có ${u_1} = \frac{1}{3},{u_8} = 26$. Tìm công sai $d$

1. $d = \frac{{11}}{3}$.

1. $d = \frac{{10}}{3}$.

1. $d = \frac{3}{{10}}$.

1. $d = \frac{3}{{11}}$.

Chọn A

Lời giải

${u_8} = {u_1} + 7d \Leftrightarrow 26 = \frac{1}{3} + 7d \Leftrightarrow d = \frac{{11}}{3}{\text{.}}$

Câu 18. Cho dãy số $\left[ {{u_n}} \right]$ là một cấp số cộng có ${u_1} = 3$ và công sai $d = 4$. Biết tổng $n$ số hạng đầu của dãy số $\left[ {{u_n}} \right]$ là ${S_n} = 253$. Tìm $n$.

1. 9 .

1. 11 .

1. 12 .

1. 10 .

Chọn B

Ta có ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left[ {n – 1} \right]d} \right]}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n\left[ {2.3 + \left[ {n – 1} \right] \cdot 4} \right]}}{2} = 253$

$ \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n – 506 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 11} \\ {n = – \frac{{23}}{2}\left[ L \right]} \end{array}} \right.$

Câu 19. Cho cấp số cộng $\left[ {{u_n}} \right]$ có số hạng tổng quát là ${u_n} = 3n – 2$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng.

1. $d = 3$.

1. $d = 2$.

1. $d = – 2$.

1. $d = – 3$.

Lời giải

Chọn A

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = 3\left[ {n + 1} \right] – 2 – 3n + 2 = 3$

Suy ra $d = 3$ là công sai của cấp số cộng.

Câu 20. Cho cấp số cộng $\left[ {{u_n}} \right]$ có ${u_1} = – 3,{u_6} = 27$. Tính công sai $d$.

1. $d = 7$.

1. $d = 5$.

1. $d = 8$.

1. $d = 6$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có ${u_6} = {u_1} + 5d = 27 \Rightarrow d = 6$.

Câu 21. Cho dãy số vô hạn $\left\{ {{u_n}} \right\}$ là cấp số cộng có công sai $d$, số hạng đầu ${u_1}$. Hãy chọn khẳng định sai?

1. ${u_5} = \frac{{{u_1} + {u_9}}}{2}$.

1. ${u_n} = {u_{n – 1}} + d,n \geqslant 2$.

1. ${S_{12}} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + 11d} \right]$.

1. ${u_n} = {u_1} + \left[ {n – 1} \right]d \Rightarrow {u_{1001}} = {u_1} + \left[ {1001 – 1} \right]d \Leftrightarrow 2018 = 1 + \left[ {1001 – 1} \right]d \Rightarrow d = \frac{{2017}}{{1000}}{\text{.}}$