Bất phương trình chứa một ẩn rất quen thuộc đối với chương trình học của các bạn học sinh, sinh viên. Không chỉ trong Toán học, bất phương trình này còn rất cần thiết đối với nhiều môn học khác. Thông qua bài viết sau đây của Toppy, các bạn đọc sẽ được tìm hiểu về khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn và tập nghiệm của bất phương trình.
Thế nào là bất phương trình một ẩn?
Bất phương trình là gì?
Trước tiên, hãy cùng tìm hiểu thế nào là bất phương trình nhé. Bất phương trình thường được định nghĩa dựa trên khái niệm mệnh đề một biến [hay còn gọi là hàm mệnh đề].
Bất phương trình thường bao gồm những loại sau đây:
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn [trong đó, bất phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8 là dạng toán đã xuất hiện trong chương trình học từ rất sớm].
- Bất phương trình bậc hai một ẩn.
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình một ẩn là gì?
Khái niệm
Trước khi tìm hiểu về bất phương trình bậc nhất 1 ẩn, các bạn cần nắm rõ khái niệm về bất phương trình một ẩn.
Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề so sánh giữa 2 hàm số f[x] và hàm số g[x] trên một trường số thực, là bất phương trình lớp 8 cơ bản trong chương trình học. Việc giải tốt toán 8 bất phương trình bậc nhất một ẩn sẽ tạo nên những tiền đề quan trọng trong việc tìm hiểu các bài toán về bất phương trình phức tạp hơn. Bất phương trình có chứa một ẩn thường được thể hiện dưới 1 trong các dạng sau:
- f[x] < g [x]
- f[x] > g[x]
- f[x] ≤ g[x]
- f[x] ≥ g[x]
Bất phương trình một ẩn có 4 dạng cơ bản
Cách giải
Để tìm tập xác định của bất phương trình có một ẩn, ta cần phải tìm điểm giao giữa 2 tập xác định của 2 hàm số f[x] và g[x]. Tất cả các bất phương trình một ẩn đều có thể được chuyển về dạng bất phương trình tương đương [điển hình như f[x] > 0, f[x] ≥ 0].
Trong bất phương trình 1 ẩn, biến x sẽ được gọi là ẩn. Như vậy, khi nhìn vào một bất phương trình f[x] > 0, với giá trị x = a và f[a] > 0 là một bất đẳng thức đúng thì a sẽ có tên gọi chính xác là nghiệm của bất phương trình có một ẩn. Việc giải bất phương trình lớp 8 thành thạo sẽ giúp ích rất nhiều cho học sinh trong việc giải các loại bất phương trình phức tạp hơn.
Như Toppy đã đề cập, bạn có thể chuyển bất phương trình có chứa một ẩn về dạng f[x] > 0 hoặc f[x] ≥ 0. Khi phân loại bất phương trình có một ẩn nghĩa là phân loại bất phương trình theo hàm f[x].
- Những bất phương trình vô tỷ – bất phương trình khai căn.
- Bất phương trình mũ là những bất phương trình mà trên lũy thừa có chứa biến hay còn được gọi là bất phương trình có hàm mũ.
- Bất phương trình logarit là những bất phương trình có chứa biến bên trong dấu logarit.
- Bất phương trình bậc k là những bất phương trình chứa f[x] là một đa thức bậc k.
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một loại thuộc các phương trình 1 ẩn, bất phương trình bậc nhất có một ẩn thường được viết dưới dạng sau đây:
- ax + b < 0
- ax + b > 0
- ax + b 0
- ax + b 0
Trong dạng bất phương trình này, a và b là 2 số đã được cho trước và a ≠ 0.
Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một dạng nhỏ của bất phương trình 1 ẩn
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Nắm được cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn là vô cùng quan trọng, giúp các bạn có thể tiếp cận được nhiều dạng bất phương trình phức tạp hơn từ những kiến thức nền tảng.
Những quy tắc khi biến đổi bất phương trình
Để biến đổi BPT bậc nhất 1 ẩn, bạn cần phải thực hiện theo 2 quy tắc quan trọng là quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với một số.
Quy tắc chuyển vế
Quy tắc chuyển vế được phát biểu rất đơn giản, khi bạn chuyển một hạng tử trong bất phương trình từ một vế sang vế còn lại, bạn cần phải đổi dấu của hạng tử đó.
Quy tắc nhân với một số
Quy tắc nhân với một số nghĩa là bạn nhân 2 vế của bất phương trình bậc nhất có một ẩn với cùng một số khác 0. Khi đó, bạn cần phải.
- Giữ nguyên chiều của bất phương trình như cũ nếu số được nhân là số dương.
- Đổi chiều của bất phương trình sang chiều ngược lại nếu số được nhân là số âm.
Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Áp dụng giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Sau khi đã áp dụng 2 quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số vào các vế của bất phương trình, các bạn có thể bắt đầu giải BPT bậc nhất 1 ẩn như sau: Bất phương trình có dạng ax + b > 0 ⇒ ax > -b.
- Nếu a > 0 thì bất phương trình sẽ có nghiệm là x > -b/a.
- Nếu a < 0 thì bất phương trình sẽ có nghiệm là x < b/a.
Như vậy, bài viết trên đã tổng hợp tất cả những kiến thức liên quan đến bất phương trình, bất phương trình bậc nhất một ẩn cũng như hướng dẫn giải những dạng bất phương trình. Để tìm hiểu thêm về những thông tin hữu ích khác, hãy truy cập ngay vào trang web //toppy.vn/ nhé.
Xem thêm:
Giải bài tập SGK Toán lớp 8 bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán lớp 8.
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 4 trang 43: Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn:
a] 2x – 3 < 0;
b] 0 . x + 5 > 0;
c] 5x – 15 ≥ 0;
d] x2 > 0.
Lời giải
Các bất phương trình a, b, c là các bất phương trình bậc nhất một ẩn
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 4 trang 44: Giải các bất phương trình sau:
a] x + 12 > 21;
b] -2x > -3x – 5.
Lời giải
a] x + 12 > 21 ⇔ x > 21 – 12 ⇔ x > 9
Vậy tập nghiệm của bất phương trình x + 12 > 21 là {x|x > 9}
b] -2x > -3x – 5 ⇔ -2x + 3x > -5 ⇔ x > -5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình -2x > -3x – 5 là {x|x > -5}
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 4 trang 45: Giải các bất phương trình sau [dùng quy tắc nhân]:
a] 2x < 24;
b] -3x < 27.
Lời giải
a] 2x < 24 ⇔ 2x.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x < 24 là {x|x < 12}
b] -3x < 27 ⇔ -3x. > 27. ⇔ x > -9
Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x < 27 là {x|x > -9}
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 4 trang 45: Giải thích sự tương đương:
a] x + 3 < 7 ⇔ x – 2 < 2;
b] 2x < – 4 ⇔ -3x > 6.
Lời giải
a] x + 3 < 7 ⇔ x + 3 – 5 < 7-5 ⇔ x – 2 < 2
b] 2x < -4 ⇔ 2x. > -4. ⇔ -3x > 6
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 4 trang 46: Giải bất phương trình – 4x – 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
Lời giải
– 4x – 8 < 0 ⇔ -4x < 8 ⇔ x > -2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình -4x – 8 < 0 là {x|x > -2}
Biểu diễn trên trục số
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 4 trang 46: Giải bất phương trình -0,2x – 0,2 > 0,4x – 2.
Lời giải
– 0,2x – 0,2 > 0,4x – 2
⇔ 0,4x – 2 < -0,2x – 0,2
⇔ 0,4x + 0,2x < -0,2 + 2
⇔ 0,6x < 1,8
⇔ x < 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình -0,2x – 0,2 > 0,4x – 2 là {x|x < 3}
Bài 19 [trang 47 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các bất phương trình [theo quy tắc chuyển vế]:
a] x – 5 > 3
b] x – 2x < -2x + 4
c] -3x > -4x + 2
d] 8x + 2 < 7x – 1
Lời giải:
[Áp dụng quy tắc: chuyển vế – đổi dấu]
a] x – 5 > 3
⇔ x > 3 + 5 [chuyển -5 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành 5]
⇔ x > 8
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 8.
b] x – 2x < -2x + 4 ⇔ x – 2x + 2x < 4 ⇔ x < 4
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 4.
c] -3x > -4x + 2 ⇔ -3x + 4x > 2 ⇔ x > 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 2.
d] 8x + 2 < 7x – 1 ⇔ 8x – 7x < -1 – 2 ⇔ x < -3
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -3.
Bài 20 [trang 47 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các bất phương trình [theo quy tắc nhân]:
a] 0,3x > 0,6 ; b] -4x < 12
c] -x > 4 ; d] 1,5x > -9
Lời giải:
[Áp dụng quy tắc nhân: nhân hai vế với số dương thì giữ nguyên chiều của bất phương trình; nhân với số âm thì đổi chiều của bất phương trình.]
Bài 21 [trang 47 SGK Toán 8 tập 2]: Giải thích sự tương đương sau:
a] x – 3 > 1 ⇔ x + 3 > 7
b] -x < 2 ⇔ 3x > -6
Lời giải:
a] Hai bất phương trình tương đương vì cộng 6 vào cả 2 vế.
b] Hai bất phương trình tương đương vì nhân cả hai vế của bất phương trình ban đầu với -3 và đổi chiều bất phương trình đó.
Bài 22 [trang 47 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a] 1,2x < -6 ; b] 3x + 4 > 2x + 3
Lời giải:
a] 1,2x < -6 ⇔ x < -6 : 1,2 ⇔ x < – 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x ∈ R| x < -5}
b] 3x + 4 > 2x + 3
⇔ 3x – 2x > 3 – 4 ⇔ x > -1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x ∈ R | x > -1}
Bài 23 [trang 47 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a] 2x – 3 > 0; b] 3x + 4 < 0
c] 4 – 3x ≤ 0; d] 5 – 2x ≥ 0
Lời giải:
Bài 24 [trang 47 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các bất phương trình:
a] 2x – 1 > 5; b] 3x – 2 < 4
c] 2 – 5x ≤ 17; d] 3 – 4x ≥ 19
Lời giải:
a] 2x – 1 > 5 ⇔ 2x > 1 + 5
⇔ 2x > 6 ⇔ x > 3
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3
b] 3x – 2 < 4 ⇔ 3x < 4 + 2
⇔ 3x < 6 ⇔ x < 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2
c] 2 – 5x ≤ 17 ⇔ -5x ≤ 17 – 2 ⇔ -5x ≤ 15
⇔ x ≥ 15 : [-5] ⇔ x ≥ -3
Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ – 3
d] 3 – 4x ≥ 19 ⇔ -4x ≥ 19 – 3 ⇔ -4x ≥ 16
⇔ x ≤ 16 : [-4] ⇔ x ≤ -4
Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ -4
Bài 25 [trang 47 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các bất phương trình:
Lời giải:
Bài 26 [trang 47 SGK Toán 8 tập 2]: Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? [Kể ba bất phương trình có cùng tập nghiệm].
Lời giải:
a] Hình biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình:
x ≤ 12 hoặc 0,5x ≤ 6 hoặc x + 4 ≤ 16 hoặc -x ≥ -12
b] Hình biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình:
x ≥ 8 hoặc x + 3 ≥ 11 hoặc -x ≤ -8
Bài 27 [trang 48 SGK Toán 8 tập 2]: Đố: Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không?
Lời giải:
a] x + 2×2 – 3×3 + 4×4 – 5 < 2×2 – 3×3 + 4×4 – 6
⇔ x < 2×2 – 3×3 + 4×4 – 6 – 2×2 + 3×3 – 4×4 + 5 [chuyển vế – đổi dấu]
⇔ x < -1 [*]
Thay x = -2 vào [*] ta được: -2 < -1 [đúng]
Vậy x = -2 là nghiệm của bất phương trình.
b] [-0,001]x > 0,003
⇔ x < -3 [**] [chia cả hai vế cho -0,001]
Thay x = -2 vào [**] ta được: -2 < -3 [sai]
Vậy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình.
Bài 28 [trang 48 SGK Toán 8 tập 2]: Cho bất phương trình x2 > 0.
a] Chứng tỏ x = 2, x = -3 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
b] Có phải mọi giá trị của ẩn x đều là nghiệm của bất phương trình đã cho hay không?
Lời giải:
a] Thay x = 2 vào bất phương trình ta được:
22 > 0 ⇔ 4 > 0 [đúng]
Thay x = -3 vào bất phương trình ta được:
[-3]2 > 0 ⇔ 9 > 0 [đúng]
Vậy x = 2, x = -3 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
b] Với x = 0 thì bất phương trình trở thành:
02 > 0 ⇔ 0 > 0 [sai]
Vậy không phải mọi giá trị của ẩn đều là nghiệm của bất phương trình.
Bài 29 [trang 48 SGK Toán 8 tập 2]: Tìm x sao cho:
a] Giá trị của biểu thức 2x – 5 không âm.
b] Giá trị của biểu thức -3x không lớn hơn giá trị của biểu thức -7x + 5.
Lưu ý:
– không âm tức là ≥ 0
– không lớn hơn tức là ≤
Lời giải:
Bài 30 [trang 48 SGK Toán 8 tập 2]: Một người có số tiền không quá 70000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá: loại 2000 đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giấy bạc loại 5000 đồng?
Lời giải:
Gọi x là số tờ giấy bạc loại 5000 đồng.
Số tờ giấy bạc loại 2000 đồng là 15 – x [=> điều kiện 0 < x < 15; nguyên]
Vì số tiền không quá 70000 nên:
Vì x là số nguyên dương nên x có thể là số nguyên dương từ 1 đến 13. Hay x có thể nhận các giá trị là {1; 2; 3; …; 13}
Vậy số tờ giấy bạc loại 5000 đồng người ấy có thể có là các số nguyên dương thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 13.
Bài 31 [trang 48 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
Lời giải:
[Trong phần giải mình có làm tắt một số bước. Chẳng hạn mình bỏ qua bước chuyển vế đổi dấu hoặc chia hai vế cho cùng một số.]
Bài 32 [trang 48 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các bất phương trình:
a] 8x + 3[x + 1] > 5x – [2x – 6]
b] 2x[6x – 1] > [3x – 2][4x + 3]
Lời giải:
Bài 33 [trang 48-49 SGK Toán 8 tập 2]: Đố: Trong một kì thi, bạn Chiến phải thi bốn môn Văn, Toán, Tiếng Anh và Hóa. Chiến đã thi ba môn và được kết quả như bảng sau:
Kỳ thi quy định muốn đạt loại giỏi phải có điểm trung bình các môn thi là 8 trở lên và không có môn nào bị điểm dưới 6. Biết môn Văn và Toán được tính hệ số 2. Hãy cho biết, để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán ít nhất là bao nhiêu điểm?
Lời giải:
Gọi x là điểm thi môn Toán, theo đề bài ta có điều kiện: 6 ≤ x ≤ 10
Vậy để đạt được loại giỏi thì bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán thấp nhất là 7,5 điểm.
Bài 34 [trang 49 SGK Toán 8 tập 2]: Đố: Tìm sai lầm trong các “lời giải” sau:
Lời giải:
a] Sai lầm là coi -2 là hạng từ và chuyển vế hạng tử này trong khi -2 là một nhân tử.
Lời giải đúng:
-2x > 23
⇔ x < 23 : [-2] [chia cho số âm nên đổi chiều]
⇔ x < 11,5
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 11,5