§9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức — X Khi nào giá trị của phân thức được xác định ? —X Biểu thức hữu tỉ Đến bây giờ ta đã biết rằng trong tập hợp các phân thức đại số có các phép toán : cộng, trừ, nhân, chia. Quan sát các biểu thức sau : 0, -ị. V7, 2x2-ự5x + ị’ [6x+l][x-2], 3x2 + 1 4x + 2x x - 1 X2 - 1 Mỗi biểu thức trên đây là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán : cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức. Ta gọi những biểu thức như thế là những biểu thức hữu tỉ. 2x , , , X — 1 , . > . , . X' 2x 3 Biểu thức biếu thị phép chia tống ——- + 2 cho — 3 x-1 X -1 Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức. Ví dụ 1. Biến đổi biểu thức A = 1 +- thành một phân thức. Giải. A = X X 1 _ x + l x2-l X X x + 1 X _ [x + l].x _ 1 X X2 -1 x.[x+l][x-l] x-1 Biến đổi biểu thức 1+- x-1 2x X2 +1 thành một phân thức. Giá trị của phân thức Khi làm tính trên các phân thức ta chỉ việc thực hiện theo các quy tắc của các phép toán, không cần quan tâm đêh giá trị của biến. Nhưng khi làm những bài toán liên quan đến giá trị của phân thức thì trước hết phải tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0. Đó chính là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định. Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức ấy và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị. Ví dụ 2. Cho phân thức 3x-9 x[x -3] Tìm điều kiện của X để giá trị của phân thức Tính giá trị của phân thức tại X = 2004. 3x-9 x[x-3] được xác định; Giải Giá trị của phân thức này được xác định với điều kiện x[x -3]^0. Nhưng một tích [của nhiều số] khác 0 khi mọi thừa số đều khác 0. Do đó X * 0 và 9 3x — 9 X - 3 * 0. Vậy điều kiên để giá trị của phân thức —-—77 được xác định là : x[x-3] X * 0 và X * 3. Cho phân thức ■v + l X2 + x Tìm điều kiện của X để giá trị của phân thức được xác định. Tính giá trị của phân thức tại x = 1 000000 và tại x = -l. BÀI TẬP Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số : 1— a] b] 1- 1- x2-2 x2-l Với giá trị nào của X thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định ? a] 5x 2x + 4 b] X —1 x2-l 48. Cho phân thức X2 +4x + 4 Với điều kiện nào của X thì giá trị của phân thức được xác định ? Rút gọn phân thức. Tìm giá trị của X để giá trị của phân thức bằng 1. Có giá trị nào của X để giá trị của phân thức bằng 0 hay không ? Đố. Đố em tìm được một phân thức [của một biến x] mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của X khác các ước của 2. LUYỆN TẬP Thực hiện các phép tính : a] “—7 + 1 X + 1 y 3x 1 -X2 51. Làm các phép tính sau : a] xlp y2 y X b] ' 1 1 < 1 yx + 2 b] [xz-l] 52. Chứng tỏ rằng với X 0 và X ± a [a là một số nguyên], giá trị của biêu thức / 2 , _2A X +az ' a- X2 + a j [ 2a 4a A x + a / Ix x-a/ là một số chẵn. 53. a] Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số : 1+Í’ X i+i X b] Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức 1 + 1+- i+i X thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó. 54. Tìm các giá trị của X để giá trị của các phân thức sau được xác định : 3x + 2 ,, 5 a] 2x -6x b] x2-3 55. Cho phân thức xz +2x + l x2-l Vói giá trị nào của X thì giá trị của phân thức được xác định ? X + 1 Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là ■ X —1 Để tính giá trị của phân thức đã cho tại X = 2 và tại X = -1, bạn Thắng đã làm như sau : 2 + 1 - Với X = 2, phân thức đã cho có giá trị là -—7 = 3 ; - Với X = -1, phân thức đã cho có giá trị là 2-1 -1 + 1 -1-1 0. Em có đồng ý không ? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai. Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn ? 56. Cho phân thức 3x +ÓX + 12 X3 -8 Với điều kiện nào của X thì giá trị của phân thức được xác định ? Rút gọn phân thức. Em có biết trên lcm2 bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn không ? Tính giá trị của biểu thức đã cho tại X = 4001 2000 em sẽ tìm được câu trả lời ílỉậí đáng sợ. [Tuy nhiên trong số đó chỉ có 20% là vi khuẩn có hại].
1. Biểu thức hữu tỉ
+ Một đa thức được gọi là một biểu thức nguyên
+ Một biểu thức chỉ chứa các phép toán cộng, trừ, nhân , chia và chứa biến ở mẫu được gọi là biểu thức phân
Các biểu thức nguyên và biểu thức phân được gọi chung là biểu thức hữu tỉ.
Ví dụ: Các biểu thức hữu tỉ như:
2. Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức
Nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.
Ví dụ: Biến đổi biểu thức
Hướng dẫn:
Ta có:
3. Giá trị của phân thức
Các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức
+ Trước tiên, tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0.
+ Giá trị phân thức được xác định thì ta rút gọn tính toán phân thức.
Ví dụ: Cho phân thức:
a] Tìm điều kiện để phân thức trên xác định.
b] Tính giá trị của phân thức tại
Hướng dẫn:
a] Điều kiện để phân thức xác định là [x + 1][x - 2] ≠ 0 ⇒ x ≠ - 1; x ≠ 2.
b] Giá trị của phân thức tại x = 1
Ta có:
B. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức. Rút gọn biểu thức cho trước
Phương pháp: Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức.
Dạng 2: Tính giá trị của phân thức
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức
Bước 2: Thay giá trị của biến [thỏa mãn điều kiện] vào phân thức rồi tính.
Dạng 3: Các bài toán tổng hợp
Xem thêm Giải Toán 8: Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức
Toán học luôn có những điều thú vị mà con người dù có tìm hiểu và khám phá nhiều thế nào cũng không thể hết được. Ngày hôm nay, Toppy sẽ cùng với bạn tìm hiểu về biểu thức hữu tỉ và biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Đồng thời sẽ có một số bài tập cũng như cách giải để giúp bạn có thể làm bài tập một cách nhanh nhất.
Biến đổi các biểu thức hữu tỉ giá trị của biểu thức
Biểu thức hữu tỉ là gì?
Biểu thức hữu tỉ là các biểu thức nguyên và biểu thức phân.
- Biểu thức nguyên là một đa thức.
- Một biểu thức chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và chứa biến ở mẫu được gọi là biểu thức phân
Ví dụ như các biểu thức hữu tỉ sau:
Biến đổi các biểu thức hữu tỉ
Việc biến đổi các biểu thức hữu tỉ sẽ thực hiện theo các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức. Từ đó, các biểu thức hữu tỉ sẽ được biến đổi thành một phân thức.
Ví dụ: Thực hiện biến đổi biểu thức
Biến đổi các biểu thức hữu tỉ giá trị của biểu thức
Từ cách biến đổi các biểu thức hữu tỉ chúng ta có cách giải bài toán liên quan đến giá trị của phân thức như sau:
- Trước hết, tiến hành tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0.
- Giá trị phân thức được xác định thì ta rút gọn tính toán phân thức.
Ví dụ như sau:
Cho phân thức
- a] Tìm điều kiện để phân thức trên xác định.
- b] Tính giá trị của phân thức tại
Cách làm:
- a] Điều kiện để phân thức xác định là [ x + 1 ][ x – 2 ] ≠0 ⇒ x ≠- 1; x ≠2.
- b] Giá trị của phân thức tại x = 1
Ta có:
Toán học có những điều thú vị để chúng ta khám phá
>> Xem thêm: Phép chia các phân thức đại số
Một số bài tập toán 8 biến đổi các biểu thức hữu tỉ và cách giải
Bài 1: Cho phân thức
a] Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định.
b] Tính giá trị của phân thức tại x = 1 000 000 và tại x = – 1
Lời giải:
a] Ta có: x2 + x = x[x + 1]
Giá trị phân thức này được xác định với điều kiện x2 + x ≠ 0
⇒ x[x + 1] ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x + 1 ≠ 0
⇒ x ≠ 0 và x ≠ -1
b] Ta có:
Bài 2: Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số
Lời giải:
Bài 3: Với giá trị nào đó của x thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định?
Lời giải:
a] Phân thức
⇔ 2x + 4 ≠ 0
⇔ 2x ≠ -4
⇔ x ≠ -2
Vậy với mọi x ≠ -2 thì phân thức
b] Phân thức
⇔ x2 – 1 ≠ 0
⇔ [x – 1][x + 1] ≠ 0
⇔ x – 1 ≠ 0 và x + 1 ≠ 0
⇔ x ≠ 1 và x ≠ -1.
Vậy với mọi x ≠ ±1 thì phân thức
Bài 4: Cho phân thức
a] Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ?
b] Rút gọn phân thức.
c] Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1 ?
d] Có giá trị nào x để giá trị của phân thức bằng 0 hay không ?
Lời giải:
a] Phân thức
⇔ x + 2 ≠ 0
⇔ x ≠ -2
Vậy điều kiện xác định của phân thức là x ≠ -2.
c] A = 1 ⇔ x + 2 = 1 ⇔ x = -1 ≠ -2 [Thỏa mãn điều kiện]
Vậy với x = -1 thì A = 1.
d] A = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 [Không thỏa mãn điều kiện]
Vậy không có giá trị nào của x để A = 0.
Bài 5: Đố em tìm được phân thức [của một biến x] mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của x khác các ước của 2.
Lời giải:
Các ước của 2 là ±1, ±2.
Vậy phân thức cần tìm phải xác định với mọi x ≠ ±1; ±2.
Ta có thể chọn:
Có rất nhiều đáp án khác.
Bài 6: Thực hiện các phép tính:
Lời giải:
Bài 7: Làm các phép tính sau:
Lời giải:
Bài 8: Chứng tỏ rằng với mọi x ≠ 0 và x ≠ ±a [a là một số nguyên], giá trị của biểu thức
Lời giải:
Rút gọn biểu thức ta có:
Với a là một số nguyên thì giá trị biểu thức bằng 2a là một số chẵn.
Bài 9: a] Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:
b] Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức:
thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó.
Lời giải:
b] + Dự đoán :
Quy luật : Giả sử viết các phân thức trên thành một dãy thì phân thức sau có tử bằng tổng của tử và mẫu của phân thức đứng liền trước và mẫu bằng tử của phân thức đứng liền trước đó.
Do đó :
+ Kiểm chứng :
Tìm hiểu thêm tại Toppy nhé
Trên đây là những kiến thức cơ bản về biến đổi các biểu thức hữu tỉ cũng như cách giải một số bài toán trong SGK Toán lớp 9. Để tìm hiểu thêm nhiều hơn các kiến thức về Toán học và những môn học khác, bạn có thể truy cập vào địa chỉ //toppy.vn/. Chắc chắn sẽ có rất nhiều điều thú vị.
> Xem thêm:
- Tứ giác
- Đại lượng tỉ lệ nghịch – Toán lớp 7 là chuyện nhỏ
Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng Toppy
Với mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10.
Kho học liệu khổng lồ
Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo [Mock Test] có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS.
Học online cùng Toppy
Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả
Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt!
Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất
Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập [tốc độ, điểm số] trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững.
Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập
Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh.