Các bài toán tích phân từng phần có lời giải
|
Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,982,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,126,Đề thi THỬ Đại học,399,Đề thi thử môn Toán,64,Đề thi Tốt nghiệp,45,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,206,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,303,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,391,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28, Show Tích phân từng phần là một trong những nội dung trọng tâm mà các em sẽ học trong chương trình toán học 12. Để học tốt nội dung này và đạt được điểm cao trong kỳ thi, Team Marathon Education sẽ cùng các em tìm hiểu cụ thể tích phân từng phần là gì, đồng thời tổng hợp công thức, các dạng toán thường gặp và cách giải để các em tham khảo. Tích phân từng phần là gì?Tích phân từng phần là phương pháp tìm tích phân của các hàm số có dạng tích dựa trên việc phân tích các nguyên hàm và đạo hàm của hàm số đó. Phương pháp này thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm số thành một nguyên hàm đơn giản hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm. Tích phân từng phần được sử dụng để tính tích phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa 2 hàm số khác nhau trong 4 hàm số, bao gồm: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác và hàm số mũ. Công thức tính tích phân từng phầnCho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b] thì ta có công thức: \intop_a^bu(x)v'(x)=u(x)v(x)|^b_a-\intop^b_au'(x)v(x)dx Các em có thể viết gọn thành công thức tổng quát sau: \intop_a^budv=uv|^b_a-\intop^b_avdu Các dạng bài tập tích phân từng phần thường gặp và cách giảiCác bài toán tính tích phân từng phần được chia làm 4 dạng bài thường gặp. Các em có thể tham khảo qua những dạng toán này và ôn tập để chuẩn bị kiến thức cho những kỳ thi sắp tới. Dạng 1: Hàm đa thức và hàm logaritCông thức chung: Trong đó, f(x) là một hàm đa thức. Phương pháp giải: Khi gặp dạng toán này, các em hãy thực hiện các bước sau để giải: \begin{aligned} &\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\ &\begin{cases}u=ln(ax+b)\dv=f(x)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=\frac{a}{ax+b}dx\v=\int f(x)dx\end{cases}\ &\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Tính tích phân theo công thức}\ &\intop_m^nf(x)ln(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu \end{aligned} Ví dụ minh họa: Tính tích phân của biểu thức sau: Bài giải: \begin{aligned} &\text{Đặt}\begin{cases}u=lnx\dv=(4x+3)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=\frac{1}{x}dx\v=2x^2+3x\end{cases}\ &\text{Khi đó: }I=(2x^2+3x)lnx|^2_1-\intop_1^2\frac{2x^2+3x}{x}dx\ &=14ln2-0-(x^2+3x)|^2_1\ &=14ln2-0-[(2^2+3.2)-(1^2+3.1)]\ &=14ln2-(10-4)\ &=14ln2-6\ \end{aligned} Dạng 2: Hàm đa thức và hàm lượng giácCông thức chung: \small \intop_m^nf(x)sin(ax+b)dx\ \text{hoặc}\intop_m^nf(x)cos(ax+b)dx Trong đó, f(x) là một hàm đa thức. Phương pháp giải: \begin{aligned} &\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\ &\small\begin{cases}u=f(x)\dv=sin(ax+b)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\v=-\frac{1}{a}cos(ax+b)\end{cases}\ &\small\text{hoặc}\begin{cases}u=f(x)\dv=cos(ax+b)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\v=\frac{1}{a}sin(ax+b)\end{cases}\ &\small\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Tính tích phân theo công thức}\ &\small\intop_m^nf(x)sin(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu\ &\text{hoặc }\small\intop_m^nf(x)cos(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu \end{aligned} Ví dụ minh họa: B=\intop_0^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx Bài giải: \begin{aligned} &B=\intop_0^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\ &\text{Đặt }u=x+1 \implies du=dx\ &dv=sinxdx \implies v=-cosx\ &\text{Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được:}\ &B=\intop_0^\frac{\pi}{2}(x+1)sinxdx\ &=-(x+1)cosx|_0^\frac{\pi}{2}+\intop_0^\frac{\pi}{2}cosxdx\ &=-(x+1)cosx|_0^\frac{\pi}{2}+sinx|_0^\frac{\pi}{2}\ &=1+1=2\ &\text{Vậy }B=2 \end{aligned} Dạng 3: Hàm mũ và hàm lượng giácCông thức chung: \small\intop_m^ne^{ax+b}sin(cx+d)dx\ \text{hoặc} \intop_m^ne^{ax+b}cos(cx+d)dx Phương pháp giải: Với dạng toán tìm tích phân của một biểu thức cho chứa hàm mũ và hàm lượng giác, các em hãy thực hiện giải toán bằng 2 bước sau: \begin{aligned} &\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\ &\small\begin{cases}u=e^{ax+b}\dv=sin(cx+d)dx\end{cases}\text{hoặc}\begin{cases}u=e^{ax+b}\dv=cos(cx+d)dx\end{cases}\ &\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Suy ra được công thức theo u và v như sau:}\ &\intop_m^nudv=uv|_m^n-\intop_m^nvdu \end{aligned} Lưu ý: Phải thực hiện 2 lần tích phân từng phần. Ví dụ minh họa: Tính tích phân của biểu thức sau: Bài giải: \intop_a^budv=uv|^b_a-\intop^b_avdu 0 Dạng 4: Hàm mũ và hàm đa thứcCông thức chung: Trong đó, P(x) là một hàm đa thức. Phương pháp giải: Để tính tích phân của biểu thức chứa hàm đa thức và hàm mũ, các em tiến hành: \intop_a^budv=uv|^b_a-\intop^b_avdu 1 Ví dụ minh họa: Bài giải: \intop_a^budv=uv|^b_a-\intop^b_avdu 2 Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education Thông qua bài viết này, Team Marathon Education đã chia sẻ cho các em nhiều thông tin về tích phân từng phần, công thức, các dạng toán thường gặp và phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp các em ứng dụng để giải nhanh bài tập và có được kết quả học tập tốt nhất. Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới! |
