Cách tính tích có hướng trên máy tính

Định nghĩa tích có hướng của hai vector. Tích có hướng của hai vector $\vec u$ và $\vec v$ trong không gian,             ký hiệu là $\left[ {\vec u,\vec v} \right]$ hoặc $\vec u \wedge \vec v,$ là vector $\vec w$  thoả $3$ điều kiện 
 

1. $\vec w$ có phương vuông góc với cả $\vec u$ và $\vec v$.
2. $\left| {\vec w} \right| = \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right| \cdot \sin \alpha ,$ với $\alpha$ là góc hợp bởi $\vec u$ và $\vec v$.
3. bộ ba vector $\left[ {\vec u,\vec v,\vec w} \right]$ tạo thành một bộ ba thuận. - xem Hình 1.

Tính chất 1. $$\vec u\parallel \vec v \Leftrightarrow \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \vec 0.$$
Công thức toạ độ của tích có hướng. Toạ động của vector tích có hướng của hai vector $\vec u = \left[ {{u_1};{u_2};{u_3}} \right]$ và $\vec v = \left[ {{v_1};{v_2};{v_3}} \right]$ là  $$\left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2}}&{{u_3}}\\ {{v_2}}&{{v_3}} \end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}}&{{u_3}}\\ {{v_1}}&{{v_3}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}}&{{u_2}}\\ {{v_1}}&{{v_2}} \end{array}} \right|} \right],$$ trong đó định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d

\end{array}} \right| = ad - bc.$

Ví dụ 1. Tích có hướng của hai vector $\vec a = \left[ {2; - 1;3} \right]$ và $\vec b = \left[ {1;2;4} \right]$ là  $$\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3\\ 2&4 \end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&2 \end{array}} \right|} \right] = \left[ { - 10; - 5;5} \right].$$

Ví dụ 2. Dùng tích có hướng để kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm $A\left[ {1;3;1} \right],B\left[ {0;1;2} \right],C\left[ {0;0;1} \right].$

Giải. Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left[ { - 1; - 2;1} \right]$, $\overrightarrow {AC}  = \left[ { - 1; - 3;0} \right].$ Suy ra $$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {3; - 1;1} \right] \ne \overrightarrow 0 .$$ Theo tính chất 1 thì hai vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ không cùng phương. Nghĩa là $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. 

Tích hỗn tạp của 3 vector. Tích hỗn tạp của 3 vector $\vec u$, $\vec v$ và $\vec w$ là tích vô hướng của một vector bất kì với vector tích có hướng của hai vector còn lại: $\left[ {\vec u,\vec v} \right] \cdot \vec w$, $\left[ {\vec v,\vec u} \right] \cdot \vec w$, $\left[ {\vec w,\vec v} \right] \cdot \vec u$,... Có tất cả $A_3^2$ bộ như vậy.

Tính chất 2. Ba vector $\vec u$, $\vec v$ và $\vec w$ đồng phẳng khi tích hỗn tạp của chúng bằng $0$.

Ví dụ 3. Dùng tích hỗn tạp đễ kiểm tra tính đồng phẳng của 3 vector sau $\vec a = \left[ {2; - 1;3} \right]$, $\vec b = \left[ {1;2;4} \right]$ và $\vec c = \left[ {1;-2;0} \right]$.

Giaỉ. Ta có $\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3\\ 2&4 \end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&2 \end{array}} \right|} \right] = \left[ { - 10; - 5;5} \right].$ Suy ra $\left[ {\vec a,\vec b} \right] \cdot \vec c =  - 10 \cdot 1 + \left[ { - 5} \right]\left[ { - 2} \right] + 5 \cdot 0 = 0.$

Theo tính chất 2 thì ba vector $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng. 

Thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ được tính bởi công thức $${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] \cdot \overrightarrow {AA'} } \right|$$

Từ đây suy ra thể tích khối chóp $A'.ABD$ là $${V_{A'.ABD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] \cdot \overrightarrow {AA'} } \right|$$

Ví dụ 4. Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm 

$A\left[ {1;2;1} \right],B\left[ {2; - 1;3} \right],C\left[ { 5 ;2; - 3} \right],D\left[ {4;5; - 6} \right].$

a. Tính thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$. b. Tính thể tích tứ diện $ABCD$. c. Tính diện tích của tam giác $ABC$.

d. Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện.

Giải. a. Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left[ {1; - 3;3} \right],\;\;\overrightarrow {AC}  = \left[ { 4;0; - 4} \right],\;\;\overrightarrow {AD}  = \left[ {3;3; - 7} \right].$ Suy ra  $$\begin{array}{c} \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&3\\ 0&4 \end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 4&{ - 4} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}\\ { - 4}&0 \end{array}} \right|} \right] = \left[ { - 12; 16; - 12} \right].\\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD}  =  - 12 \cdot 3 + 3 \cdot  16 + \left[ { - 7} \right] \cdot \left[ { - 12} \right] = 96 \ne 0.

\end{array}$$

Vì $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD}  \ne 0$ nên theo tính chất 2 ta suy ra các vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ không đồng phẳng. Nghĩa là bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng, và do đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện. b. Diện tích của tam giác $ABC$ là $${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left[ { - 12} \right]}^2} + {{16}^2} + {{\left[ { - 12} \right]}^2}}  = \sqrt {34} .$$ c. Thể tích của tứ diện $ABCD$ là $${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = \frac{{96}}{6} = 16.$$

d. Thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ là $$V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = 96.$$

Bài tập 

[nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán]