Cho hai điểm a1 3 1 b3 1;1 viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là như thế nào? Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực ra sao? Nó có gì giống với đường thẳng trung trực hay không? Bài giảng này thầy sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là gì?

Là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng tại trung điểm của đường thẳng đó. Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực luôn cách đều 2 đầu đoạn thẳng.

Cho đường thẳng MM’ với trung điểm là I và mặt phẳng [P]. Mặt phẳng [P] là mặt phẳng trung trực của MM’ nếu [P] vuông góc với đường thẳng MM’ tại I.

Các bạn thấy khái niệm này cũng khá gần gũi với khái niệm đường trung trực của đoạn thẳng phải không? Nếu bạn muốn hiểu thêm về cách viết phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng thì xem thêm bài giảng này nhé, cũng rất hay đó: 2 cách viết phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng

Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực

Ở trên các bạn đã hiểu thế nào là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng, do đó để viết được phương trình của nó thì chúng ta sẽ dựa vào chính khái niệm này.

Giả sử bài toán cho tọa độ 2 điểm A và B.

Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

Bước 2: Tìm vecto $\vec{AB}$

Bước 3: Mặt phẳng trung trực của AB vuông góc với AB tại I do đó nó sẽ đi qua I và nhận vecto $\vec{AB}$ làm vecto pháp tuyến. Tới đây thì chắc chắn các bạn sẽ tìm được phương trình rồi.

Sau đây chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ áp dụng cho phương pháp trên.

Tham khảo thêm bài giảng:

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB viết $A[1;2;3]$ và $B[3;0;-1]$

Hướng dẫn:

Gọi I là trung điểm của AB, suy ra tọa độ của điểm I là: $I[2;1;1]$

Tọa độ của vecto $\vec{AB}$ là: $\vec{AB}[2;-2;-4]$

Gọi [P] là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, suy ra [P] nhận vecto $\vec{AB}[2;-2;-4]$ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm I.

Phương trình mặt phẳng [P] là:

$2[x-2]-2[y-1]-4[z-1]=0 \Leftrightarrow x-y-2z+1=0$

Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng yêu cầu chúng ta viết phương trình mặt phẳng trung trực, trực tiếp như bài toán 1. Mà trong một số bài toán chúng ta cần tư duy, phát hiện để thấy được phải sử dụng tới mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng. Có thể xét một ví dụ như bài tập 2 dưới đây.

Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết tọa độ của các điểm là: $A[1;-1;0]; B[3;1;2]; C[-1;0;2]; D[-1;3;0]$.

Hướng dẫn:

Để xác định được mặt cầu ngoại tiếp tứ diện các bạn cần xác định tâm và bán kính. Tâm mặt cầu chính là giao điểm của 3 mặt phẳng trung trực của 3 đoạn AB, BC và CD. Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm tới 4 đỉnh A, B, C, D.

Về cách viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và có liên quan tới mặt phẳng trung trực thầy cũng có 1 bài giảng rồi, các bạn muốn hiểu thêm nhiều hơn thì có thể xem ở link này nhé: 3 cách tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Để làm được bài toán này trước tiên các bạn cần xác định được tọa độ các trung điểm của 3 đoạn AB, BC, CD sau đó viết phương trình mặt phẳng trung trực của 3 đoạn này.

Gọi $I, M ,N$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD$

Ta có:

$\vec{AB}[2;2;2]; \vec{BC}[-4;-1;0]; \vec{CD}[0;3;-2]$; $I[2;0;1]; M[1; \frac{1}{2};2]; N[-1;\frac{3}{2};1]$

Gọi $[P]; [Q]; [R]$ lần lượt là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, BC và CD, ta có:

Phương trình mặt phẳng [P] là: Đi qua điểm I và nhận $\vec{AB}[2;2;2]$ làm vecto pháp tuyến.

$2[x-2]+2[y-0]+2[z-1]=0 \Leftrightarrow x+y+z-3=0$

Phương trình mặt phẳng [Q] là: Đi qua điểm M và nhận $\vec{BC}[-4;-1;0]$ làm vecto pháp tuyến.

$-4[x-1]-1[y-\frac{1}{2}]+0[z-2]=0 \Leftrightarrow -8x-2y+9=0$

Phương trình mặt phẳng [R] là: Đi qua điểm N và nhận $ \vec{CD}[0;3;-2]$ làm vecto pháp tuyến.

$0[x+1]+3[y-\frac{3}{2}]-2[z-1]=0 \Leftrightarrow 6x-4z-5=0$

Gọi $K$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, khi đó $K$ là giao điểm của 3 mặt phẳng trung trực [P], [Q] và [R]. Tọa độ của K là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x+y+z-3=0\\-8x-2y+9=0\\6x-4z-5=0\end{array}\right.$ $\Rightarrow K[\frac{1}{6};\frac{23}{6}; -1]$

Tới đây chúng ta xác định tiếp bán kính R của mặt cầu là xong. Bán kính $R= KA$

Vecto $\vec{KA}[\frac{5}{6}; \frac{-29}{6};1]$

Bán kính mặt cầu là: $R=|\vec{KA}| =\sqrt{\left[\frac{5}{6}\right]^2+ \left[\frac{-29}{9}\right]^2+1^2}=\dfrac{\sqrt{902}}{6}$

Vậy phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: $[x-\frac{7}{9}]^2+[y-\frac{25}{18}]^2+[z-\frac{5}{6}]^2=\frac{902}{36}$

Qua hai ví dụ trên các bạn đã biết cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng. Hãy cho biết suy nghĩ của bạn về bài giảng và đừng quên đăng kí nhận bài giảng mới nhất qua email.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left[ {1,0,0} \right],B\left[ {0,1,0} \right]$ và $C\left[ {0,0,1} \right]$ . Phương trình mặt phẳng $\left[ P \right]$  đi qua ba điểm $A,B,C$ là:

Trong hệ trục toạ độ không gian $Oxyz$, cho \[A\left[ {1,0,0} \right],\;B\left[ {0,b,0} \right],\;C\left[ {0,0,c} \right]\], biết $b,c > 0$, phương trình mặt phẳng $\left[ P \right]:y - z + 1 = 0$ . Tính $M = c + b$ biết \[[ABC] \bot [P]\], \[d\left[ {O,[ABC]} \right] = \dfrac{1}{3}\]

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left[ {1;1;2} \right].$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left[ P \right]$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A[1; -2; 4], B[3; 6; 2].. Bài 3.18 trang 113 sách bài tập [SBT] – Hình học 12 – Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A[1; -2; 4], B[3; 6; 2].

Hướng dẫn làm bài

Đoạn thẳng AB có trung điểm là I[2; 2; 3]

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \overrightarrow {IB}  = [1;4; – 1]\] . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

1[x – 2] + 4[y – 2] – 1[z – 3] = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.

Đoạn thẳng AB có trung điểm là I[2; 2; 3]

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là n→ = IB→ = [1; 4; −1]. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

1[x – 2] + 4[y – 2] – 1[z – 3] = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.

...Xem thêm

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A1;−1;1,B3;3;−1. Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

A.x+2y−z−4=0.

B.x+2y+z−4=0.

C.x+2y−z+2=0.

D.x+2y−z−3=0.

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Gọi α là mặt phẳng trung trực của đoạn AB , I là trung điểm của AB
Khi đó mặt phẳng α qua I2;1;0 và nhận AB→=2;4;−2 làm vectơ pháp tuyến ,nên có phương trình : 2x−2+4y−1−2z=0⇔x+2y−z−4=0.

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 60 phút Phương trình mặt phẳng trong không gian - Toán Học 12 - Đề số 7

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

• Trong không gian với hệ tọa độ

  , cho hai đường thẳng
  ,
  và mặt phẳng
  Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của
  và
  , đồng thời vuông góc với
  ?

• TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz. Cho

  với
  và
  . Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng [ABC] là:

• Trong không gian

  cho điểm
  . Viết phương trình mặt phẳng đi qua
  và cắt các trục
  ,
  ,
  lần lượt tại các điểm
  ,
  ,
  sao cho
  là trực tâm của tam giác
  .

• Trong không gian

  , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua
  và vuông góc với đường thẳng
  .

• Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho đường thẳng d:

  và mặt cầu [S]:
  . Lập phương trình mặt phẳng [P] song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu [S].

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

  và
  Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng dvà

• Trong không gian

  , mặt phẳng
  có một vectơ pháp tuyến là

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M1;0;6 và mặt phẳng α có phương trình x+2y+2z−1=0 . Viết phương trình mặt phẳng β đi qua M và song song với mặt phẳng α .
  

• Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A1;−1;1,B3;3;−1. Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
  

• Trong không gian với hệ tọa độ

  cho hai điểm
  . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
  là

• Trong không gian với hệ toạ độ

  cho mặt phẳng
  có phương trình
  . Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của
  .

• Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A3;−2;−2 , B3;2;0 , C0;2;1 . Phương trình mặt phẳng ABC là
  

• Cho hai mặt phẳng

  ,
  . Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
  đồng thời vuông góc với cả
  và
  là:

• Trong không gian Oxyzcho mặt phẳng [P] có phương trình

  . Tìm khẳng định đúng:

• Trong không gian Oxyz cho 2 điểm

  . Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A và vuông góc với AB.

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

  Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

• Mặt phẳng

  có vecto pháp tuyến nào sau đây:

• Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

  và điểm
  . Viết phương trình mặt phẳng
  chứa d và đi qua A.

• Trong không gian

  , cho mặt phẳng
  . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
  ?

• Trong khônggian với hệ tọa độ

  , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
  ,
  ,
  .

• Trong không gian với hệtọa độOxyz, cho mặt phẳng

  Trong các mệnh đềsau, mệnh đềnào sai?

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho S−1;6;2, A0;0;6, B0;3;0, C−2;0;0. Gọi H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng SBH ?
  

• Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng [P] song song và cách đều đường thẳng

  và
  .

• Trong không gian hệ tọa độ

  , cho
  ;
  và mặt phẳng
  . Viết phương trình mặt phẳng
  qua
  và vuông góc với

• Trong không gian với hệ tọa độ

  , viết phương trình của mặt phẳng
  đi qua các điểm
  ,
  và
  với
  .

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

  và hai mặt phẳng
  ,
  . Viết phương trình mặt phẳng [R] đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng
  .

• Trong không gian với hệ tọa độ

  , cho ba điểm
  ,
  ,
  . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng đi qua
  và vuông góc
  .
  

• Trong không gian Oxyz, mặt phẳng

  có một vectơ pháp tuyến là ?

• Cho mặt phẳng

  có phương trình
  và đường thẳng
  có phương trình
  . Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng
  . Viết phương trình mặt phẳng
  đi qua M và vuông góc với đường thẳng D

• Trong không gian vớihệtọađộOxyz cho mặtphẳng[P] đi qua gốctọađộO vàvuông gócvớihai mặtphẳng

  . Phương trìnhmặtphẳng[P] là

• Trong không gian với hệ tọa độ

  , viết phương trình mặt phẳng
  chứa đường thẳng
  và tạo với mặt phẳng
  một góc nhỏ nhất.

• Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng đi qua ba điểm

  là:

• Trong không gian với hệ trục tọa độ

  , cho mặt phẳng
  :
  , mặt phẳng
  không qua
  , song song với mặt phẳng
  và
  . Phương trình mặt phẳng
  là

• Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

  Một véctơ pháp tuyến của
  là:

• Trong không gian Oxyz , cho điểm A[1;  1; −1] . Phương trình mặt phẳng [P] đi qua A và chứa trục Ox là:
  

• Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng

  và điểm
  . Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A và chứa d?

• Trong không gian với hệ tọa độ

  cho điểm
  .Viết phương trình mặt phẳng
  qua E và cắt nửa trục dương
  lần lượt tại
  sao cho
  nhỏ nhất với
  là trọng tâm tam giác
  .

• Trong không gian với hệ tọa độ

  , cho hai điểm
  và
  . Viết phương trình của mặt phẳng
  đi qua
  và vuông góc với đường thẳng

• Trong không gian

  , cho mặt phẳng
  đi qua điểm
  và cắt các trục
  ,
  ,
  lần lượt tại các điểm
  ,
  ,
  [khác
  ]. Viết phương trình mặt phẳng
  sao cho
  là trực tâm của tam giác
  .

• Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho A[1;2;-5]. Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng [MNP] là

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

• Phân tích về hình tượng nhân vật Huấn Cao [Chữ người tử tù - Nguyễn Tuân]

• Anh [ chị] hãy chứng minh bút pháp lãng mạn trong truyện ngắn Chữ người tử tù của Nguyễn Tuân

• Anh [chị] hãy chứng minh truyện ngắn Chí Phèo của nhà văn Nam Cao là một kiệt tác văn học có giá trị nhân đạo to lớn.

• Phân tích bức tranh phố huyện trong truyện ngắn Hai đứa trẻ của nhà văn Thạch Lam

• Anh [chị] hãy giải thích vìsao truyện ngắn Hai đứa trẻ được coi là tác phẩm chứa đựng tinh thần nhân đạo của nhà văn Thạch Lam?

• Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log2[x−2]>3 .

• Tìm nghiệm của bất phương trình log2[2x−x2]≥0 .

• Tìm nghiệm của bất phương trình log3[2x+1]3 .

• Tìm nghiệm của bất phương trình log5[2x+15]≤2 .