1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Bài toán
Cho AB và CD là 2 dây [khác đường kính] của đường tròn [O;R]. Gọi OE, OF theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB, CD. CMR:\[OE^2+EB^2=OF^2+FD^2\]
Áp dụng định lý pi-ta-go cho 2 tam giác vuông OEB và OFD ta có:
\[OE^2+EB^2=OB^2=R^2\]và\[OF^2+FD^2=OD^2=R^2\]ta có đpcm
1.2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lý 1
Trong một đường tròn:
a] Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b] Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
Định lý 2
Trong một đường tròn
a] Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b] Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Trả lời câu hỏi 1 [trang 105 SGK Toán 9 tập 1]
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
a] Nếu AB = CD thì OH = OK.
b] Nếu OH = OK thì AB = CD.
Lời giải
OH là 1 phần đường kính vuông góc với dây AB
⇒ H là trung điểm của AB ⇒ AB = 2HB
OK là 1 phần đường kính vuông góc với dây CD
⇒ K là trung điểm của CD ⇒ CD = 2KD
Theo kết quả của bài toán ở mục 1: OH2+ HB2= OK2+ KD2
a] Ta có: AB = CD ⇒ HB = KD
⇒ OH2= OK2⇒ OH = OK
b] Ta có: OH = OK ⇒ HB2= KD2
⇒ HB = KD ⇒ AB = CD
Trả lời câu hỏi 2 [trang 105 SGK Toán 9 tập 1]
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài:
a] OH và OK, nếu biết AB > CD.
b] AB và CD, nếu biết OH < OK.
Lời giải
a] Nếu AB > CD thì HB > KD
⇒ HB2> KD2
Mà : OH2+ HB2= OK2+ KD2
⇒ OH2< OK2
⇒ OH < OK
b] Nếu OH < OK thì OH2< OK2
⇒ HB2> KD2⇒ HB > KD
⇒ AB > CD
Trả lời câu hỏi 3 [trang 105 SGK Toán 9 tập 1]
Cho tam giác ABC, O là giao của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF [h.69].
Hãy so sánh các độ dài:
a] BC và AC;
b] AB và AC.
Lời giải
O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC
⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a] OE = OF ⇒ AC = BC
b] OD > OE ⇒ AB < AC
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 9
Giải Toán 9 VNEN Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Hiểu được quan hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây.
- Biết tìm mối quan hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây, áp dụng tính chất vào giải toán.
1. Hãy so sánh độ dài của dây AB và dây CD trên mỗi hình 87? Giải thích [nếu được].
Trả lời:
* Hình 87a
AB > CD, vì AB là đường kính của đường tròn, CD là dây cung [không phải là đường kính của đường tròn]
* Hình 87b
AB > CD
2. Chú ý: Cho đường tròn tâm O và dây AB. Kẻ OH ⊥ AB tại H. Khi đó OH được gọi là khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến dây AB [h.88].
3. Bài toán: Cho AB và CD là hai dây [khác đường kính] của [O; R]. Gọi OH, OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB, CD [h.89]. Chứng minh rằng OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Gợi ý: * Điền vào chỗ chấm […]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào
OHB, vuông tại H: OB2 = ……….
OKD, vuông tại K: OD2 = ………..
Do OB2 = ……… [= R2]
Vậy ………….. = …………
* Chú ý: Bài toán trên còn đúng với hai dây là đường kính hoặc một dây là đường kính.
Trả lời:
Áp dụng định lý Py-ta-go vào
ΔOHB, vuông tại H: OB2 = OH2 + HB2
ΔOKD, vuông tại K: OD2 = OK2 + KD2
Do OB2 = OK2 [ = R2]
Vậy OH2 + HB2 = OK2 + KD2.
1. a] Từ bài toán của phần A ở trên, hãy chứng minh:
Nếu AB = CD thì OH = OK
Nếu OH = OK thì AB = CD
Hướng dẫn:
* Vì AB = CD và OK ⊥ CD tại K, OH ⊥ AB tại H
⇒ CK = KD = AB/2 và AH = HB = CD/2 nên KD = HB
Mà theo bài toán trên ta có: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Suy ra OH2 = OK2 hay OH = OK
* Ngược lại nếu OH = OK mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2
⇒ HB2 = KD2 suy ra AB = CD
b] Đọc kĩ nội dung sau:
Trong một đường tròn:
a] Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm;
b] Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
2. a] Từ bài toán của phần A ở trên, hãy so sánh độ dài:
*] OH và OK, nếu AB > CD
*] AB và CD, nếu OH < OK
Hướng dẫn: * Do AB > CD nên DK < BH mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2
⇒ OH2 < OK2 suy ra OH < OK
* Do OH < OK mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2
⇒ HB2 > KD2 hay HB > KD ⇒ AB > CD
b] Đọc kĩ nội dung sau:
Trong hai dây của một đường tròn:
a] Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn;
b] Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
c] Hỏi:
Hai tính chất ở trong khung phía trên có còn đúng trong trường hợp hai đường tròn bằng nhau không? Tại sao?
d] Cho ABC, O là giao điểm của 3 đường trung trực H, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC [h.90]. Biết OH > OK > OI. Hãy so sánh độ dài 3 cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC.
Trả lời:
Vì O là giao điểm của ba đường trung trực AB, AC, BC nên tam giác ABC là tam giác nội tiếp đường tròn tâm O khi đó AB, AC, BC là ba dây cung của đường tròn [O]
Ta có tính chất: Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại
Vì OH > OK > OI nên ta được AB < AC < BC
Vậy AB < AC < BC.
Bài tập 1. Cho đường tròn tâm O, bán kính 13cm; dây AB = 24cm.
a] Tính khoảng cách từ O đến dây AB.
b] Gọi M là điểm thuộc dây AB sao cho AM = 7cm. Kẻ dây EF đi qua M và vuông góc với AB. Chứng minh EF = AB.
Gợi ý.
a] Kẻ OK ⊥ AB tại H, áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông OHA tính được OH.
b] Kẻ OK ⊥ EF tại K. Tứ giác OHMK là hình vuông ⇒ OK= OH
suy ra EF = AB
Lời giải:
a] Kẻ OH ⊥ AB tại H
Theo định lý Py-ta-go ta có:
Vậy khoảng cách từ O đến đây AB là 5cm.
b] Kẻ OK ⊥ EF tại K
Tứ giác OHMK là hình vuông ⇒ OK = OH
Theo tính chất: Hai dây cung cách đều tâm thì bằng nhau
Suy ra EF = AB [đpcm].
Bài tập 2. Cho đường tròn [O] và một điểm E nằm ngoài đường tròn, vẽ đường tròn [E] cắt đường tròn [O] tại hai điểm A và B [h.91]; Các đoạn thẳng EA và EB lần lượt cắt đường tròn [O] tại C và D [cho như hình vẽ]. Chứng minh rằng hai dây AC và BD của đường tròn [O] bằng nhau.
Gợi ý. Chứng minh OAE = OBE ⇒ EO là phân giác góc AEB.
Vậy O cách đều CA và DB suy ra CA = BD.
Lời giải:
ΔOAE và ΔOBE có:
OE chung, OA = OB, EA = EB
⇒ ΔOAE = ΔOBE [c.c.c]
⇒ ∠[OEA] = ∠[OEB] hay EO là phân giác của ∠[AEB]
Suy ra O cách đều EA và EB hay O cách đều AC và BD ⇒ AC = BD [đpcm].
Bài tập 3. Cho đường tròn [O] bán kính 2,5cm, dây AB = 4cm. Vẽ dây CD song song với AB và CD = 4,8cm. Tính khoảng cách giữa hai dây AB và CD
Lời giải:
Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ CD
Vì AB // CD nên khoảng cách giữa AB và CD chính là HK = OH + OK
Theo định lý Py-ta-go ta có:
Vậy khoảng cách giữa AB và CD là OH + OK = 1,5 + 0,7 = 2,2cm.
Bài tập 4. Cho hình 92, trong đó hai đường tròn cùng có tâm O. Cho biết AB > CD. Hãy so sánh các độ dài:
a] ME và MF
b] MH và MK
Lời giải:
a] Vì AB > CD nên OH < OK hay ME > MF
Vậy ME > MF.
b] Vì OH ⊥ ME nên H là trung điểm của ME hay MH = 1/2 ME
Vì OK ⊥ MF nên K là trung điểm của MF hay MK = 1/2 MF
Từ câu a: ME > MF nên 1/2 ME > 1/2 MF hay MH > MK
Vậy MH > MK.
Bài tập 1. Cho đường tròn [O], điểm A nằm trong đường tròn. Vẽ dây MN vuông góc với OA tại A. Vẽ dây PQ bất kì đi qua A và không vuông góc với OA.Hãy so sánh độ dài hai dây MN và PQ [h.93].
Lời giải:
Kẻ OH ⊥ PQ
Xét trong tam giác vuông OAH, ta có OH < OA [do OA là cạnh huyền, OH là cạnh góc vuông]
Suy ra PQ > MN.
Bài tập 2. Đố: Nhà ba bạn An, Cường, Thái ở 3 địa điểm như hình 94. Hỏi đoạn đường từ nhà An đến nhà Cường hay nhà Thái xa hơn? Vì sao?
Lời giải:
Nhà ba bạn An, Cường, Thái tạo thành một tam giác vuông như hình vẽ
Theo tính chất trong tam giác vuông: cạnh góc vuông < cạnh huyền nên ta được đoạn đường từ nhà An đến nhà Thái > đoạn đường từ nhà An đến nhà Cường
Vậy đoạn đường từ nhà An đến nhà Thái xa hơn đoạn đường từ nhà An đến nhà Cường.
Bài tập 3. Cho hình 95. TRên đường tròn [O] lấy hai dây AM và BN bằng nhau [M và N nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bởi là đường thẳng AB]. Hai đường thẳng AM và BN cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:
a] OF là phan giác của góc AOB.
b] OF vuông góc với AB.
Lời giải:
a] Theo bài ra vì AM và BN bằng nhau nên O cách đều hai đoạn thẳng AM và BN
⇒ O nằm trên đường phân giác của góc AOB hay OF là phân giác của góc AOB [đpcm].
b] Nối AB cắt OF tại H
Xét ΔAHO và ΔBHO có:
HO chung, OA= OB, ∠[AOH] = ∠[BOH]
⇒ ΔAHO = ΔBHO [c.g.c]
⇒ ∠[AHO] = ∠[BHO]
Mặt khác ∠[AHO] + ∠[BHO] = 180o
⇒ ∠[AHO] = ∠[BHO] = 90o hay OF ⊥ AB [đpcm]
4. Có thể em chưa biết
Nếu dung một đoạn vật liệu có cùng độ dài để khép kín thành hình tam giác, hình vuông, hình tròn thì hình tròn có diện tích lớn nhất. Vì vậy, con người đã dùng tính chất này để tạo ra các vật dụng. Dùng tre để làm đấu đong, các đồ đựng có dạng hình trụ sẽ đựng được nhiều lương thực mà tiết kiệm được vật liệu chế tạo. Chế tạo cốc dạng hình trụ sẽ đựng được nhiều chất lỏng hơn.
Xem thêm các bài Giải bài tập Toán lớp 9 chương trình VNEN hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi