Đường trung bình của tam giác được định nghĩa thế nào? Công thức tính ra sao? Có tính chất gì? Cùng Mamnonabc tìm hiểu trong bài viết này nhé!
Đường trung bình của tam giác được định nghĩa thế nào?
Đường trung bình của tam giác được định nghĩa là đoạn thẳng nối hai trung điểm bất kỳ trong một tam giác, ba cạnh của tam giác sẽ tạo ra ba đường trung bình. Theo lý thuyết, đường trung bình tạo ra các cặp cạnh tỉ lệ với nhau và song song với cạnh còn lại.
Nếu tam giác là tam giác đặc biệt như tam giác đều hay tam giác cân, đường trung bình của các tam giác này có thể bằng nửa cạnh thứ ba.
Tính chất đường trung bình của tam giác
Cho tam giác MNP, cho A, B lần lượt là trung điểm của MN, MP. Vậy AB được gọi là đường trung bình của tam giác MNP. Tính chất của đường AB là:
AB // NP
= → Tam giác MAB đồng dạng với tam giác MNP.
Đường trung bình tam giác: Các định lý
Các định lý về đường trung bình của tam giác được phát biểu như sau:
– Định lý 1: Trong một tam giác, đường thẳng đi qua một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
– Định lý 2: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.
Ví dụ: Cho tam giác BDC với M là trung điểm BC, E là trung điểm BD. Biết rằng điểm A tạo ra tam giác ABC có D là trung điểm của AE. I là điểm giao của CD và AM. Chứng minh AI = IM.
Hướng dẫn giải:
Tam giác BDC có M trung điểm BC, E trung điểm BD ⇒ EM là đường trung bình tam giác BDC → EM // CD, EM // DI
Tam giác AEM có D là trung điểm AE, DI // EM [cmt] ⇒ I là trung điểm AM.
Vậy, AI = IM [đpcm].
Tổng quan về đường trung bình của hình thang
Ngoài tam giác, hình thang cũng có đường trung bình và các tính chất, định lý cũng như dạng bài tập. Bên dưới là các kiến thức tổng quát về hình thang.
Về định nghĩa, đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên của hình thang.
Về tính chất, đường trung bình của hình thang được định nghĩa như sau:
– Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy của hình thang, có độ dài bằng một nửa tổng độ dài hai đáy.
Chẳng hạn, hình thang ABCD có E là trung điểm AD, F là trung điểm BC. Ta sẽ có các cặp song song nhau là AE // AB // CD, khi đó, EF = .
– Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh bên hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh thứ hai.
Các dạng toán phổ biến của đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang
Dạng 1: Liên quan đến cạnh và góc, bao gồm dạng chứng minh hệ thức về cạnh và góc; dạng tính các cạnh và góc.
Để có thể giải quyết dạng toán này, phương pháp chủ yếu cần sử dụng là tính chất đường trung bình của tam giác kết hợp với các kiến thức về góc và cạnh khác. Cụ thể là định lý [1] “Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó”; [2] “Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại”.
Phương pháp giải tương tự với hình thang, hai định lý của hình thang là [1] “Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy”; [2] “Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại”.
Dạng 2: Dạng 2 là dạng chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác.
Để có thể giải quyết dạng bài tập này, bạn cần sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác. Theo đó, đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác lại với nhau.
Phương pháp giải áp dụng tương tự với hình thang, theo đó, “Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang”.
Hy vọng bài viết đã đem đến các kiến thức bổ ích cho bạn. Chúc các bạn học tốt.
>> Xem thêm: Hệ số góc là gì, lý thuyết hệ số góc của đường thẳng y=ax+b
Học toán không khó, chỉ cần bạn có tư duy cũng như hệ thống các kiến thức một cách logic với nhau. Toppy sẽ giúp bạn thực hiện điều này. Ngày hôm nay, hãy cùng chúng Toppy tìm hiểu về chuyên đề đường trung bình của hình thang. Nội dung này sẽ giúp cho bạn học tốt môn học này hơn. Ngay bây giờ sẽ là các kiến thức cơ bản.
Đường trung bình của tam giác của hình thang lớp 8
Đường trung bình của tam giác, của hình thang
Đường trung bình của tam giác của hình thang lớp 8 cụ thể của từng phần như sau:
Đường trung bình của tam giác
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác với nhau.
Ví dụ:
ΔABC có M là trung điểm của AB , N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ MN//BC; MN=12BC
Định lí đường trung bình của hình tam giác:
– Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
– Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Đường trung bình của hình thang
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Ví dụ:
Hình thang ABCD có E là trung điểm AD , F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình ⇒
Các định lí về đường trung bình của hình thang:
Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai
– Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Tổng hợp lại đường trung bình của hình thang và hình tam giác
>> Xem thêm: Tứ giác
Các dạng toán về đường trung bình của hình thang và hình tam giác
Dạng 1: Dựa vào đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang, tính độ dài các cạnh
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 10cm, BC = 14cm. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Tính độ dài các cạnh DE, DF và EF.
Lời giải:
– Xét tam giác ABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC
=> DE là đường trung bình của tam giác ABC
– Xét tam giác ABC có D là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC
=> DF là đường trung bình của tam giác ABC
– Xét tam giác ABC có E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BC
Suy ra EF là đường trung bình của tam giác ABC
Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác, hình thang
Sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.
+ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chứng minh IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
Lời giải:
Xét tam giác ABC có: I là trung điểm của AB, J là trung điểm của BC
=> IJ là đường trung bình của tam giác ABC [định lý] [đpcm]
Dạng 3: Chứng minh các đường thẳng song song với nhau
Ví dụ: Cho tam giác ABC có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chứng minh tứ giác AIJC là hình thang.
Lời giải:
+ Xét tam giác ABC có: I là trung điểm của AB, J là trung điểm của BC
=> IJ là đường trung bình của tam giác ABC [định lý]
=> IJ // AC [định lý]
+ Xét tứ giác AIJC có: IJ // AC [cmt]
=> Tứ giác AIJC là hình thang [định nghĩa]
Dạng 4: Chứng minh các hệ thức về cạnh và góc. Tính các cạnh và góc.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang
+ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+ Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Đường trung bình của tam giác của hình thang bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Phát biểu nào sau đây sai?
- DE là đường trung bình của tam giác ABC.
- DE song song với BC.
- DECB là hình thang cân.
- DE có độ dài bằng nửa BC.
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC
⇒ DE là đường trung bình của tam giác ABC
Hay DE//BC và DE = [1/2].BC
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh bằng nhau và hai cạnh bên bằng nhau nhưng bài toán này hai góc kề một cạnh đáy không bằng nhau
→ Đáp án C sai.
Chọn đáp án C.
Bài 2: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC và DE = 4 cm. Biết đường cao AH = 6cm. Diện tích của tam giác ABC là?
| A. S = 24cm2 | B. S = 16cm2 | C. S = 48cm2 | D. S = 32cm2 |
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC
⇒ DE là đường trung bình của tam giác ABC
Hay DE//BC và DE = 1/2BC ⇒ BC = 2DE = 2.4 = 8 cm
Khi đó ta có: S = 1/2AH.BC = 1/2.6.8 = 24cm2
Chọn đáp án A.
Bài 3: Chọn phát biểu đúng
- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên của hình thoi.
- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối của hình thoi.
- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng tổng hai hai đáy.
- Một hình thang có thể có một hoặc nhiều đường trung bình.
Hướng dẫn:
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
→ Đáp án A đúng.
+ Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng của hai đáy.
+ Một hình thang thì chỉ có 1 đường trung bình duy nhất.
Chọn đáp án A.
Tìm hiểu thêm cách giải bài toán trên Toppy
Như vậy là các kiến thức về đường trung bình của hình thang đã được Toppy tổng hợp đầy đủ phía trên. Để học tốt hơn các môn, bạn có thể truy cập vào //toppy.vn/ để tìm được các tài liệu cần thiết.
Xem thêm:
- Đối xứng trục
- Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, một tam giác
Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng Toppy
Với mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10.
Kho học liệu khổng lồ
Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo [Mock Test] có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS.
Học online cùng Toppy
Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả
Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt!
Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất
Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập [tốc độ, điểm số] trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững.
Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập
Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh.