Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng 1000;1000 để hàm số y 2x 3 3(2m+1 ) x 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực [m] thuộc khoảng [left[ { - 1000;1000} right]] để hàm số [y = 2{x^3} - 3left[ {2m + 1} right]{x^2} + 6mleft[ {m + 1} right]x + 1] đồng biến trên khoảng [left[ {2; + infty } right]]?

Đáp án:

 Có `1999` giá trị m

Giải thích các bước giải:

Ta có: `y'=6x^2-6[2m+1]x+6m[m+1]`

Xét `y'=0`

 `⇔ 6x^2-6[2m+1]x+6m[m+1]=0`

 `⇔ x^2-[2m+1]x+m[m+1]=0`

`Δ_{y'}=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1>0`

`⇒x_1=\frac{2m+1-1}{2.1}=m ; x_2=\frac{2m+1+1}{2.1}=m+1`

Để hàm số đồng biến trên khoảng `[2;+infty]` thì `m+1≤2` `⇔ m≤1`

Mặt khác `m` nguyên và thuộc `[-1000;1000]`

nên `m∈{-999;-998;...;0;...;999}`

Vậy số các giá trị `m` thỏa mãn là: `999-[-999]+1=1999`

Bảng biến thiên:

Chọn B

Phương pháp:

Tính y'.

Tìm m để 

Cách giải:

Ta có 

Xét phương trình y' = 0  có 

Suy ra phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm 

Dễ thấy trong khoảng thì hàm số đồng biến.

Bài toán thỏa 

Do 

Vậy có

 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Chú ý:

Cách khác: Tìm m để 

Theo định lí Viet, ta có 

Hàm số đồng biến trên [2;+∞] ⇔  phương trình y' = 0 có hai nghiệm 

Vậy có 1001 số nguyên m thuộc khoảng [-10000;10000]