Công thức tích thành tổng chứng minh

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Biến đổi một biểu thức lượng giác thành một tổng hoặc thành một tích, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Biến đổi một biểu thức lượng giác thành một tổng hoặc thành một tích: Biến đổi một biểu thức thành một tổng hoặc thành một tích. Đây là dạng toán cơ bản chủ yếu để tập cho học sinh áp dụng được đối với các công thức biến đổi (tổng thành tích, tích thành tổng) đã học. Dưới đây là các công thức biến đổi đó. Công thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)]. sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]. sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]. cos a sin b = [sin(a + b) − sin(a − b)]. Công thức biến đổi tổng thành tích: sin a + sin b = 2 sin a + b cos a − b. sin a − sin b = 2 cos a + b2 sin a − b. cos a + cos b = 2 cos a + b2 cos a − b. cos a − cos b = −2 sin a + b sin a − b. tan a + tan b = sin(a + b) cos a cos b. tan a − tan b = sin(a − b) cos a cos b. BÀI TẬP DẠNG 5. Ví dụ 1. Biến đổi mỗi biểu thức sau đây thành một tổng: a) A = 2 sin(a + b) sin(a − b). b) B = sin x sin 2x sin 3x. c) C = 8 cos x sin 2x sin 3x. d) D = cos x cos (x + 60◦) cos (x − 60◦). Lời giải. a) A = 2 sin(a + b) sin(a − b) = 2 · [cos (a + b − a + b) − cos (a + b + a − b)] = cos 2b − cos 2a. Vậy A = 2 sin(a + b) sin(a − b) = cos 2b − cos 2a. b) B = sin x sin 2x sin 3x = sin 3x (sin 2x sin x) = 1 sin 3x [cos x − cos 3x]. Vậy B = sin x sin 2x sin 3x = sin 2x + sin 4x − sin 6x. c) C = 8 cos x sin 2x sin 3x = 8 sin 3x sin 2x cos x = 4 [cos x − cos 5x] cos x = 4 cos2 x − 4 cos 5x cos x = 2 (1 + cos 2x) − 2 (cos 4x + cos 6x). Vậy C = 8 cos x sin 2x sin 3x = 2 + 2 cos 2x − 2 cos 4x − 2 cos 6x. Ví dụ 2. Biến đổi các biểu thức sau đây thành một tích: a) A = sin a + sin 3a + sin 5a b) B = 1 + cos x + cos 2x + cos 3x. Lời giải. a) sin a + sin 3a + sin 5a = sin 5a + sin a + sin 3a = 2 sin 3a cos 2a + sin 3a = sin 3a(2 cos 2a + 1). Vậy A = sin a + sin 3a + sin 5a = sin 3a(2 cos 2a + 1). b) B = 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = (cos 3x + cos x) + (cos 2x + 1) = 2 cos 2x cos x + 2 cos2 x − 1 + 1 = 2 cos x (cos 2x + cos x) = 2 cos x · 2 cos. Vậy B = 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = 4 cos x cos cos x.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Biến đổi các biểu thức sau đây thành một tổng: a) cos 5a sin 3a. b) cos(a + b) cos a. c) 2 cos(a + b) cos(a − b). d) 4 cos x cos 2x cos 3x. e) sin(a − b) cos(b − a). f) cos a cos b cos c. g) 4 sin 2a sin 4a sin 6a . Bài 2. Biến đổi mỗi biểu thức dưới đây thành một tích: a) sin x + sin 2x + sin 3x. b) sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x. c) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x. d) cos x + cos y cos x − cos y. e) sin 7x + sin 5x sin 7x − sin 5x. f) sin x cos 3x + sin 4x cos 2x. g) sin a + sin b + sin(a + b). h) cos a + cos b + cos(a + b) + 1. i) sin2a − sin2b. j) 1 + sin a + cos a. k) 1 − cos a + sin a. l) 1 − 2 cos x + cos 2x. m) 1 + sin x − cos 2x. n) sin2 x − sin2 2x + sin2 3x.

Tổng hợp 40 bài toán thực tế luyện thi THPT Quốc gia 2017

Giáo viên: Đỗ Viết Tuân

Lớp 12 1223 lượt xem

Bài 111994

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm Quan tâm 0 Đưa vào sổ tay

Chứng minh các công thức biến đổi tổng thành tích: $\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2} (1)$ $\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} (2)$ $\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2} (3)$ $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} (4)$ $\tan a+\tan b=\frac{\sin(a+b)}{\cos a\cos b} (5)$ $\tan a-\tan b=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b} (6)$ Công thức lượng giác Sửa 17-07-12 10:32 AM hoàng anh thọ 4K 6 21 19 Đăng bài 14-07-12 03:38 PM iluvbeast.5690 11 1 2

hủy Trợ giúp Nhập tối thiểu 8 ký tự, tối đa 255 ký tự.

1 Đáp án

Thời gian Bình chọn

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

a) $\cos a=\cos\left (\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2} \right )=\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}-\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} (7)$ $\cos b=\cos\left (\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2} \right )=\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}+\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} (8)$ Cộng vế với vế (7) và (8) ta được (1). Trừ vế với vế (7) và (8) ta được (2). Biến đổi: $a=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}, b=\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}$ ở vế trái (3) và (4) $\sin a=\sin\left (\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2} \right )=\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}+\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} (9)$ $\sin b=\sin\left (\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2} \right )=\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}-\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} (10)$ Cộng vế với vế (9) và (10) ta được (3). Trừ vế với vế (9) và (10) ta được (4). b) Ta có: $\tan a\pm\tan b=\frac{\sin a}{\cos a}\pm\frac{\sin b}{\cos b}=\frac{\sin a\cos b\pm\sin b\cos a}{\cos a\cos b}=\frac{\sin(a\pm b)}{\cos a\cos b}$ Đó là các đẳng thức (5) và (6). Sửa 16-07-12 12:14 PM td7122004 -99 29K 1 Đăng bài 14-07-12 04:03 PM iluvbeast.5690 11 1 2 20K 12K

hủy Trợ giúp Nhập tối thiểu 8 ký tự, tối đa 255 ký tự.

Liên quan

3

phiếu

1đáp án

2K lượt xem

Chứng minh: $\frac{ \sin A+\sin B- \sin C}{ \cos A+\cos B- \cos C+1} = \tan \frac{ A}{ 2} +\tan \frac{B }{ 2} +\tan \frac{ C}{ 2} $

Công thức lượng giác Hệ thức lượng trong tam giác

Đăng bài 17-07-12 11:29 AM

cobedangyeu_pro97
141 1 3 11

2

phiếu

1đáp án

9K lượt xem

Chứng minh các biểu thức sau đây độc lập với $x$.
a) $E=3(\sin^8 x-\cos ^8 x )+4(\cos^6 x -2 \sin^6 x )+6 \sin^4 x $
b) $F=2 (\sin^4 x+\cos^4 x+ \sin^2 x.\cos^2 x )^2-(\sin^8 x+\cos^8 x )$.

Công thức lượng giác Biểu thức lượng giác

Đăng bài 29-06-12 02:09 PM

Kit Nguyen
5K 4 18 25

1

phiếu

1đáp án

2K lượt xem

Không dùng bảng hãy tính:
1. $\frac{1}{2\sin {10^ \circ }}-2\sin {70^ \circ }$
2. $T=\sin^4\frac{\pi}{16}+\sin^4\frac{3\pi}{16}+\sin^4\frac{5\pi}{16}+\sin^4\frac{7\pi}{16}$

Công thức lượng giác

Đăng bài 09-05-12 03:42 PM

phamngocle.ktqd
211 3 5 5

1

phiếu

1đáp án

1K lượt xem

Tính $\sin18^ \circ $

Công thức lượng giác

Đăng bài 09-05-12 04:58 PM

phamngocle.ktqd
211 3 5 5

1

phiếu

1đáp án

2K lượt xem

1. Chứng minh : $\cos {136^ \circ }<\tan {153^ \circ }$
2, Tính :$\sin {15^ \circ } $ và $\cos {15^ \circ }$

Công thức lượng giác

Đăng bài 09-05-12 04:35 PM

phamngocle.ktqd
211 3 5 5

Thẻ

Công thức lượng giác ×216

Lượt xem

5126

• HÀM SỐ
  • Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
  • Hàm số bậc nhất
  • Hàm số liên tục
  • Tính đơn điệu của hàm số
  • Hàm số bậc hai
  • Tiếp tuyến của đồ thị
  • Vi phân
  • Cực trị của hàm số
  • Tính chẵn lẻ của hàm số
  • Tương giao của 2 đồ thị
  • Đạo hàm của hàm số
  • Tiệm cận của đồ thị
  • Điểm thuộc đồ thị
  • Tập xác định của hàm số
  • Tâm đối xứng, trục đối xứng
  • Tính đối xứng
  • Khoảng cách
  • Tính chất của hàm số
  • Ứng dụng phương pháp hàm số vào giải toán
• HỆ PHƯƠNG TRÌNH
  • Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
  • Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn
  • Hệ phương trình đối xứng
  • Hệ phương trình đẳng cấp
  • Hệ phương trình vô tỉ
  • Hệ phương trình có chứa tham số
  • Giải và biện luận hệ phương trình
  • Các dạng hệ phương trình khác
• HÌNH KHÔNG GIAN
  • Đại cương về đường thẳng, mặt phẳng
  • Quan hệ song song
  • Vectơ trong không gian
  • Quan hệ vuông góc
  • Khoảng cách trong không gian
  • Góc trong không gian
  • Thể tích khối đa diện
  • Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
  • Bài tập hình không gian tổng hợp
• LƯỢNG GIÁC
  • Góc và cung lượng giác
  • Công thức lượng giác
  • Hệ thức lượng trong tam giác
  • Hàm số lượng giác
  • Giải tam giác
  • Phương trình lượng giác cơ bản
  • Phương trình lượng giác chứa tham số
  • Phương trình lượng giác bậc nhất
  • Phương trình lượng giác đẳng cấp
  • Phương trình lượng giác đối xứng
  • Phương trình lượng giác tổng hợp
  • Phương trình lượng giác trên 1 miền xác định
  • Bất phương trình lượng giác
  • Hệ phương trình lượng giác
• BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
  • Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
  • Bất đẳng thức cơ bản
  • Bất đẳng thức Côsi
  • Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
  • Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức
  • Các dạng bất đẳng thức khác
  • Bất đẳng thức trong tam giác
  • Bất đẳng thức lượng giác
• TÍCH PHÂN
  • Nguyên hàm
  • Tích phân cơ bản
  • Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
  • Tích phân hàm lượng giác
  • Tích phân hàm chứa căn thức
  • Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
  • Tích phân hàm mũ, lôgarit
  • Tích phân tổng hợp
  • Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
  • Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể
  • Bất đẳng thức tích phân
• PHƯƠNG TRÌNH
  • Phương trình bậc nhất
  • Phương trình bậc hai
  • Phương trình bậc ba
  • Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
  • Phương trình bậc cao
  • Phương trình vô tỉ
  • Phương trình có chứa tham số
  • Giải và biện luận phương trình
  • Ứng dụng hàm số để giải phương trình
  • Định lý Vi-ét và ứng dụng
  • Các dạng phương trình khác
  • Giải bài toán bằng cách lập phương trình
• SỐ PHỨC
  • Các phép toán về số phức
  • Phương trình số phức
  • Dạng lượng giác của số phức
• HÌNH TOẠ ĐỘ PHẲNG
  • Toạ độ điểm, vectơ trong mặt phẳng
  • Đường thẳng trong mặt phẳng
  • Khoảng cách, góc và diện tích
  • Đường tròn
  • Đường elip
  • Đường hypebol
  • Đường parabol
  • Ba đường cônic
  • Phép biến hình
  • Vị trí tương đối trong mặt phẳng
• HÌNH TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN
  • Toạ độ điểm, vectơ trong không gian
  • Mặt phẳng
  • Đường thẳng
  • Mặt cầu
  • Khoảng cách, góc trong không gian
  • Vị trí tương đối trong không gian
  • Phương pháp toạ độ trong không gian
• TỔ HỢP, XÁC SUẤT
  • Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
  • Hệ thức tổ hợp
  • Phương trình - Bất phương trình tổ hợp
  • Quy tắc đếm
  • Nhị thức Niu-tơn
  • Xác suất - Thống kê
  • Bất đẳng thức tổ hợp
• DÃY SỐ, GIỚI HẠN
  • Quy nạp toán học
  • Dãy số
  • Giới hạn của dãy số
  • Cấp số cộng, cấp số nhân
  • Giới hạn của hàm số
• MŨ, LÔGARIT
  • Các phép toán về mũ, lôgarit
  • Hàm số mũ, lôgarit
  • Phương trình mũ
  • Phương trình lôgarit
  • Bất phương trình mũ
  • Bất phương trình lôgarit
  • Hệ phương trình mũ, lôgarit
  • Hệ bất phương trình mũ, logarit
• MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP
  • Mệnh đề và ứng dụng
  • Các phép toán trên tập hợp
  • Số gần đúng và sai số
• BẤT PHƯƠNG TRÌNH
  • Bất phương trình cơ bản
  • Dấu của nhị thức bậc nhất và ứng dụng
  • Dấu của tam thức bậc hai và ứng dụng
  • Bất phương trình vô tỉ
  • Các dạng bất phương trình khác
  • Hệ bất phương trình
  • Bất phương trình chứa tham số
  • Giải và biện luận bất phương trình - Hệ bất phương trình
• ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ - SỐ HỌC
  • Rút gọn biểu thức
  • Chứng minh đẳng thức
  • Số học
• ĐA THỨC
  • Phân tích thành nhân tử
  • Phép nhân đa thức
  • Phép chia đa thức
  • Tìm đa thức
• HÌNH HỌC PHẲNG
  • Véc-tơ và Ứng dụng
  • Các bài toán về đường tròn
  • Đa giác
  • Hình học phẳng tổng hợp
• ĐỀ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI ĐH CỦA CÁC NĂM
  • Năm 2013
    • Khối A, A1
    • Khối B
    • Khối D
  • Năm 2014
    • Khối A, A1 năm 2014
    • Khối B năm 2014
    • Khối D năm 2014

Lý thuyết liên quan

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN DẶC BIỆT

MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Công Thức hình học