Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện ABCD biết A[2;-1;6], B[-3;-1;4], C[5;-1;0], D[1;2;1]. Đồ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là
Trong không gian\[Oxyz,\] cho tứ diện\[ABCD\] biết\[A\left[ {2; - 1;6} \right],B\left[ { - 3; - 1; - 4} \right],C\left[ {5; - 1;0} \right],D\left[ {1;2;1} \right].\] Độ dài đường cao\[AH\] của tứ diện\[ABCD\] là
A. \[5.\]
B. \[6.\]
C. \[7.\]
D. \[10.\]
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Tích Có Hướng Và ứng Dụng|
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD trong đó \[A[2;3;1],{\rm{ }}B[4;1; - 2],{\rm{ }}C[6;3;7],{\rm{ }}D[ - 5; - 4;8].\] Tính độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện. A. \[\sqrt {\frac{{86}}{{19}}}\] B. \[\sqrt {\frac{{19}}{{86}}}\] C. \[\frac{\sqrt{19}}{2}\] D. \[11\]
\[h_D = d[D;[ABC]] = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\]
\[\overrightarrow {AB} = [2; - 2 - 3];\overrightarrow {AC} = [4;0;6];\overrightarrow {AD} = [ - 7; - 7;7]\]
\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = [ - 12; - 24;8];\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 308\]
Suy ra: \[{h_D} = \frac{{308}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{24}^2} + {8^2}} }} = 11.\]
Cho tứ diện ABCD có A[0;1;-1],B[1;1;2],C[1;-1;0],D[0;0;1]Tính độ dài đường cao AH của hình chóp ABCD.
A. 32
B.22
C.22
D.322
Đáp án chính xác
Xem lời giải
Trong không gian với hệ tọa độ [Oxyz ], cho tứ diện [ABCD ] với [A[ [ - 1; - 2;4] ] ], [B[ [ - 4; - 2;0] ] ], [C[ [3; - 2;1] ] ] và [D[ [1;1;1] ] ]. Độ dài đường cao của tứ diện [ABCD ] kẻ từ đỉnh [D ] bằng:
Câu 52217 Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho tứ diện \[ABCD\] với \[A\left[ { - 1; - 2;4} \right]\], \[B\left[ { - 4; - 2;0} \right]\], \[C\left[ {3; - 2;1} \right]\] và \[D\left[ {1;1;1} \right]\]. Độ dài đường cao của tứ diện \[ABCD\] kẻ từ đỉnh \[D\] bằng:
Đáp án đúng: a
Phương pháp giải
- Tính thể tích tứ diện và diện tích tam giác \[ABC\].
Phương pháp giải các bài toán về tọa độ điểm và véc tơ --- Xem chi tiết
...
Câu hỏi
Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] cho tứ diện \[ABCD\]. Độ dài đường cao vẽ từ \[D\] của tứ diện \[ABCD\] cho bởi công thức nào sau đây?
A.
\[h = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\]
B.
\[h = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\]
C.
\[h = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}\]
D.
\[h = 3\dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\]
Tải trọn bộ tài liệu tự học tại đây
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức: \[{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.d\left[ {D;\left[ {ABC} \right]} \right].{S_{ABC}} \Rightarrow d\left[ {D;\left[ {ABC} \right]} \right] = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}}\]
Sử dụng công thức: \[{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\], \[{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\].
Giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.d\left[ {D;\left[ {ABC} \right]} \right].{S_{ABC}}\\ \Rightarrow d\left[ {D;\left[ {ABC} \right]} \right] = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}}\\ \Rightarrow d\left[ {D;\left[ {ABC} \right]} \right] = \dfrac{{3.\dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\end{array}\]
Vậy \[h = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\].
Chọn A.