Công thức tính S toàn phần hình cầu
|
Trong hình học không gian chúng ta được học rất nhiều dạng hình học trong đó một dạng hình học mà khi nhắc đến trái đất chúng ta liên tưởng ngay đến nó, đó chính là hình cầu. Trái đất là hình cầu rộng lớn bao phủ sự sống của cả thế giới. Ngoài ra còn rất nhiều đồ vật có dạng hình cầu khác mà trên thực tế chúng ta phải tính thể tích của nó. Vậy công thức tính thể tích hình cầu là gì? Show
Cách tạo nên hình cầuHình cầu được tạo thành khi chúng ta quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R quanh đường kính AB cố định của nó. Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo nên hình cầu. Điểm O được gọi là tâm hình cầu, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳngHình cầu được tạo bởi toàn bộ không gian tính từ mặt cầu đến tâm của nó. Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần mặt phẳng nằm trong hình đó [mặt cắt] là một hình tròn. Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm O [gọi là đường tròn lớn] hoặc có bán kính nhỏ hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm O. Ví dụ: Trái đất được xem như một hình cầu và xích đạo là một đường tròn lớn đi qua tâm hình cầu. Công thức tính thể tích hình cầuCông thức tính thể tích hình cầu như sau: V[hình cầu] = πR3 Trong đó V là ký hiệu thể tích; R là bán kính khối cầu. Bài tập tính thể tích hình cầuBài 1: Một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Biết diện tích toàn phần của hình trụ là 384π cm2. Tính thể tích hình cầu Bài làm: Gọi bán kính của hình cầu là R Hình cầu nội tiếp ở trong hình trụ nên bán kính của hình cầu chính là bán kính đáy của hình trụ -> bán kính đáy của hình trụ là R, đường cao của hình trụ là h = 2R. Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 384π cm2 nên ta có: Stp hình trụ = 2πRh + 2πR2 384π = 2π.R.h + 2π.R2 384π = 2π.R.2R + 2π.R2 384π = 6π.R2 R2 = 64 => R=8 Vậy R = 8 Thể tích của hình cầu là: V[hình cầu] = πR3 = π.83 = 682,67 [cm3] Bài 2: Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón. Biết đường sinh của hình nón bằng 12 cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính thể tích hình cầu. Bài làm: Gọi bán kính của hình cầu là R => Bán kính đáy của hình nón là R [vì bán kính đáy của hình nón bằng bán kính đáy của hình cầu] +] Sxq hình nón = π.r.l [trong đó r là bán kính đáy, l là đường sinh] Sxq hình nón = π.R.12 +] Smặt cầu = 4 π.R2 Mà Sxq hình nón = Smặt cầu nên π.R.12 = 4π.R2 4π.R2 π.R.12 = 0 4π.R.[R-3] = 0 4π.R = 0 hoặc R-3 = 0 => R=3 Vậy R = 3 cm [nhận] Thể tích hình cầu là: V[hình cầu] = πR3 = π.33 = 36π [cm3] Lưu ý khi tính diện tích hình cầuĐơn vị thể tích tính theo khối [như cm3, m3] cần chú ý theo đơn vị đề bài cho, một bài toán đưa ra đáp số có thể có nhiều đáp án để lựa chọn cả về con số và đơn vị nên cần phải chú ý để không bị đề bài lừa và chọn sai. Nếu đề bài cho các cạnh khác đơn vị, chúng ta phải đổi về cùng một đơn vị trước khi tính diện tích để tránh bị sai. Thầy cô thường sẽ cho một hoặc hai cạnh có đơn vị khác trong dữ kiện đề bài hoặc những cạnh khác trong hình. Đầu tiên chúng ta phải thực hiện đổi chúng về cùng đơn vị trước khi làm các vấn đề khác để tính thể tích hình cầu. Nếu để bài yêu cầu tính một phần của hình cầu, chẳng hạn như hãy tính phân nửa hay một phần tư thể tích hình cầu, trước tiên hãy tìm thể tích toàn phần, sau đó đem thể tích ấy nhân với phân số mà đề bài yêu cầu cần tìm. Ví dụ, một hình cầu có thể tích toàn phần là 8, đề bài yêu cầu tính thể tích một nửa hình cầu, chúng ta phải lấy 8 nhân với ½ hoặc lấy 8 chia cho 2, kết quả cần tìm là 4, vậy thể tích nửa hình cầu là 4. Trên đây, là toàn bộ nội dung liên quan đến công thức tính thể tích hình cầu là gì? Mọi thắc mắc liên quan đến nội dung bài viết trên, quý vị có thể liên hệ với chúng tôi để được giải đáp nhanh chóng nhất. Video liên quanCông thức tính thể tích hình cầu, hướng dẫn cách tính diện tích mặt cầu, cách tính thể tích khối cầu Mặt cầu (O,R) là mặt được tạo bởi quỹ tích các điểm cách điểm O 1 khoảng chiều dài không đổi bằng bán kính R trong không gian 3 chiều Khái niệm hình cầu
Các công thức
Máy tính onlineHãy đưa ra 1 giá trị
Làm tròn số thập phân
Bạn cần phải ôn tập cho kỳ thi sắp tới nhưng bây giờ bạn vẫn chưa biết gì về hình cầu? Cũng như không biết công thức và cách tính diện tích, thể tích hình cầu ra sao? Đừng lo, đội ngũ INVERT chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách tính diện tích và thể tích hình cầu vô cùng đơn giản, chi tiết, dễ hiểu thông qua bài viết sau.  I. Định nghĩa hình cầu là gì? Mặt cầu là gì?Theo định nghĩa toán học, trong không gian ba chiều, khi quay nửa hình tròn (O, R) 1 vòng quanh đường kính AB cố định thì được 1 hình cầu.
Mặt cầu là tập hợp các điểm nằm cách đều điểm O (tâm hình cầu) 1 khoảng cố định cho trước không đổi = R (bán kính) tức R= OA. * Tính chất của hình cầu
II. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu1. Công thức tính diện tích mặt cầuTheo định nghĩa, diện tích mặt cầu được tính bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn, hay bằng bốn lần hằng số Pi nhân với bình phương bán kính của hình cầu.
Trong đó:
2. Công thức tính thể tích hình cầu (khối cầu)Theo định nghĩa, thể tích hình cầu (hay thể tích khối cầu) được tính bằng ba phần tư của Pi nhân với lập phương bán kính hình cầu. Như vậy, để tính thể tích khối cầu, chỉ cần tìm bán kính hình cầu (hoặc đường kính). Sau đó thay áp dụng vào công thức V = ⁴⁄₃πr³ để tính.
Lưu ý: Đơn vị của thể tích là đơn vị khối (cm3, m3,…)
Bước 1: Viết công thức tính hình cầu ra giấy Đầu tiên, bạn viết ra giấy công thức tính thể tích hình cầu: V = ⁴⁄₃π.r³. Bước 2: Đọc đề tìm bán kính Sau đó, bạn đọc đề nếu đề cho sẳn bán kính thì bạn ghi ra giấy. Nhưng nếu đề cho bạn đường kính thì bạn có thể áp dụng công thức V = 1⁄6π.d³. Hoặc bạn cũng có thể lấy đường kính chia 2 để ra bán kính rồi áp dụng công thức như bước 1. Giả sử trong trường hợp khó hơn, đề chỉ cho bạn diện dích mặt cầu (S). Bạn có thể tìm bán kính bằng cách lấy diện tích mặt cầu chia cho 4π, sau đó tính căn bậc hai của kết quả này là ra. Có nghĩa là: r = √(S/4π) (“bán kính bằng căn bậc hai của thương số diện tích và 4π”). Bước 3: Tiến hành tính luỹ thừa bậc 3 của bán kính Tới đây, bạn chỉ cần tính luỹ thừa bậc 3 của bán kính bằng cách đem bán kính nhân ba lần với chính nó hoặc nâng nó lên số mũ ba Ví dụ: (1 cm)3 = 1 cm x 1 cm x 1 cm = 1 (2 cm)3 = 2 cm x 2 cm x 2 cm = 8 Bước 4: Tiếp tục nhân luỹ thừa bậc 3 của bán kính với 4/3 Tiếp đến, bạn bạn thay giá trị r³ vừa tính được vào công thức V = ⁴⁄₃πr³ để phương trình gọn hơn. Ví dụ đường tròn có bán kính là 1cm:
Bước 5: Nhân biểu thức vừa tính được với π (số pi) Cuối cùng, bạn đặt π vào phép tính và nhân giá trị của nó với 4/3. Trong đó, giá trị của π tương đương với 3.14159. Nếu không bạn cũng có thể để nguyên π trong đáp án theo dạng V = ⁴⁄₃π là xong. Ví dụ: V = 3.14159 x 4/3 = 4.1887. Kết luận thể tích của hình cầu với bán kính bằng 1 là 4.19 cm3 IV. Một số bài tập về diện tích, thể tích hình cầuĐể tính thể tích khối cầu, chúng ta áp dụng ghi nhớ 3 bước như sau: Bước 1: Phải thuộc công thức tính thể tích khối cầu, hãy ghi chúng ra giấy nháp, để tiện áp dụng công thức Bước 2: Tìm bán kính hình cầu (quan trọng) Có 2 trường hợp
Bước 3: Thay bán kính vừa tìm được vào công thức tính thể tích khối cầu V = ⁴⁄₃πr³, sau đó nhận đáp án đúng. Bài tập tính thể tích của khối cầu có lời giảiBài 1: Có đường tròn tâm O, bán kính là 9m. Hãy tính diện tích hình cầu? Giải: Trước tiên, khi đã có bán kính của mặt cầu bạn tiến hành thay vào công thức Smặt cầu = 4 π.R^2, bạn được: S = 4 x 3,14 x 9^2 = 1017.36 m2 Bài 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính 2,5 cm. Hãy tính diện tích mặt cầu Giải: Để tính diện tích hình cầu trong trường hợp này bạn cũng thay đường kính vào công thức Smặt cầu = π. d2, bạn được: S = 3,14 x 2,5^2 = 19,625 cm2 Bài 3: Cho hình cầu có đường kính d = 6cm. Diện tích mặt cầu là: A. 36π (cm2) B. 9π (cm2) C. 12π (cm2) D. 36π (cm2) Giải:
Bài 4: Tính thể tích khối cầu có đường kính d = 4 cm. Giải: Bán kính r = d/2 = 2 cm Thể tích khối cầu là: V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(2)³ = 33,49 cm³ Bài 5: Cho mặt cầu có thể tích V = 288π (cm3). Tính đường kính mặt cầu: Ta có: V = ⁴⁄₃πr³ = 288π -> r = 6cm Từ đó đường kính của mặt cầu là: d = 2r = 2.6 =12cm Bài 6: Một mặt cầu có đường kính là d = 1,5 cm. Hãy tính thể tích mặt cầu? Giải: Bài 7: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 3cm là? Giải: Câu 8: Câu hỏi trong đề thi chuyên Trần Phú - Hải Phòng năm 2018 Câu 9: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A, B, C, S có bán kính r bằng bao nhiêu? Giải: Bài tập tính thể tích của khối cầu KHÔNG có lời giảiCâu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng: Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và đáy bằng 45 độ. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng: Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp này bằng: Câu 8: Thể tích khối cầu nội tiếp khối lập phương có cạnh bằng a là: Câu 9: Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Diện tích của hình cầu ngoại tiếp hình lăng trụ này bằng: Câu 10: Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối lập phương có cạnh bằng a là: Câu 11: Gọi (S) là mặt cầu có tâm O và bán kính r, d là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P), d < r. Khi đó có bao nhiêu điểm chung giữa (S), (P)? Câu 12: Cho tứ diện DABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, DA vuông góc với mặt đáy. Biết AB = 3a, BC = 4a, DA = 5a. bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp DABC có bán kính bằng: Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng Trên đây là những cách tính diện tích, thể tích hình cầu đơn giản, nhanh chóng mà đội ngũ INVERT chúng tôi đã tổng hợp được. Mong rằng thông qua bài viết này các bạn hoàn toàn có thể tính diện tích, thể tích hình cầu một cách dễ dàng. Nếu có gì thắc mắc bạn cũng có thể bình luận bên dưới, chúng tôi sẽ giải đáp cho bạn. Chúc các bạn thành công. |
