Đề bài
Cho các điểm \[{\rm{A'}}[ - 4;1],B'[2;4]\] và \[C'[2; - 2]\] lần lượt là trung điểm các cạnh \[BC, CA\] và \[AB\] của tam giác \[ABC\].
a] Tính tọa độ các đỉnh của tam giác \[ABC\];
b] Chứng minh rằng các trọng tâm của các tam giác \[ABC\] và \[A'B'C'\] trùng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Sử dụng tính chất của hai véc tơ bằng nhau \[\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y'\end{array} \right.\].
b] Tím tọa độ trọng tâm hai tam giác và so sánh, sử dụng công thức trọng tâm \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[\overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {A'B'} \] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 2 = 6\\{y_A} + 2 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8\\{y_A} = 1\end{array} \right.\] suy ra \[A\left[ {8;1} \right]\].
\[\overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {C'B'} \]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - {x_B} = 0\\1 - {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = - 4\\{y_B} = - 5\end{array} \right.\] suy ra \[B\left[ { - 4; - 5} \right]\].
\[\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {C'B'} \]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} + 4 = 0\\{y_C} - 1 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 4\\{y_C} = 7\end{array} \right.\] suy ra \[C\left[ { - 4;7} \right]\].
b] Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{8 + \left[ { - 4} \right] + \left[ { - 4} \right]}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{1 + \left[ { - 5} \right] + 7}}{3} = 1\end{array} \right.\] hay \[G\left[ {0;1} \right]\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \dfrac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_{G'}} = \dfrac{{1 + 4 + \left[ { - 2} \right]}}{3} = 1\end{array} \right.\] hay \[G'\left[ {0;1} \right]\].
Vậy \[G \equiv G'\].