Đề bài
Tính thể tích của khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\], biết rằng \[AA'B'D'\] là khối tứ diện đều cạnh \[a\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tứ diện đều có hình chiếu của đỉnh xuống đáy chính là tâm đáy.
- Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ V=B.h.
Lời giải chi tiết
\[AABD\] là tứ diện đều nên đường cao \[AH\] có \[H\] là tâm của tam giác đều \[ABD\] cạnh \[a\].
Mà \[ABCD]//[A'B'C'D'] nên
h=d[[ABCD],[A'B'C'D']]=d[A,[A'B'C'D']].
Do đó:
\[\eqalign{
& A'H = {2 \over 3}A'O' = {2 \over 3}{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Rightarrow A{H^2} = AA{'^2} - A'{H^2} \cr &= {a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {{2{a^2}} \over 3} \cr
& \Rightarrow AH = a\sqrt {{2 \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr} \]
Diện tích tam giác đều \[ABD\] là: \[{S_{A'B'D'}}= \frac{1}{2}A'B'.A'D'\sin {60^0}= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\]
Diện tích hình thoi \[ABCD\]: \[{S_{A'B'C'D'}} = 2{S_{A'B'D'}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\]
Vậy thể tích khối hộp đã cho là:
\[V = B.h \] \[= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}\]