Đề bài
Cho phương trình \[{x^2} - 2mx - {m^2} - 1 = 0\] [1] với x là ẩn số.
a] Chứng minh phương trình [1] luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b] Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
c] Tìm m để [1] có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức \[\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - \dfrac{5}{2}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh \[\Delta ' > 0\,\,\forall m\].
b] Áp dụng định lí Vi-ét. Rút m từ 1 trong 2 phương trình thay vào phương trình còn lại.
c] Áp dụng định lí Vi-ét.
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[\Delta ' = {m^2} - 1\left[ { - {m^2} - 1} \right] \]\[\,= {m^2} + {m^2} + 1 \]\[\,= 2{m^2} + 1 > 0\,\,\forall m \Rightarrow \] Phương trình [1] luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b] Áp dụng định lí Vi-ét ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - {m^2} + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\\{x_1}{x_2} = - {m^2} + 1\end{array} \right. \\ \Rightarrow {x_1}{x_2} = - \dfrac{{{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2}}}{4} + 1\].
\[ \Leftrightarrow {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} + 4{x_1}{x_2} - 4 = 0\].
c] Ta có:
\[\begin{array}{l}\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4{m^2} + 2{m^2} - 2}}{{ - {m^2} + 1}} = - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow 12{m^2} - 4 = 5{m^2} - 5 \Leftrightarrow 7{m^2} = - 1\end{array}\]
[vô nghiệm].
Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.