Cho parabol \[[P]: y = x^2\] và điểm \[A [-3;0]\]. Xác định điểm \[M\] thuộc parabol \[[P]\] sao cho khoảng cách \[AM\] là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.
Đề bài
Cho parabol \[[P]: y = x^2\] và điểm \[A [-3;0]\]. Xác định điểm \[M\] thuộc parabol \[[P]\] sao cho khoảng cách \[AM\] là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.
Lời giải chi tiết
Gọi \[M\left[ {x;{x^2}} \right]\]
Ta có: \[A{M^2} = {[x + 3]^2} + {x^4} = {x^4} + {x^2} + 6x + 9\]
\[AM\] đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \[f[x] = {x^4} + {x^2} + 6x + 9\]đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có: \[f'[x] = 4{x^3} + 2x + 6 = 2[x + 1][2{x^2} - 2x + 3]\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = - 1;f\left[ { - 1} \right] = 5\]
\[f\] đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \[x = -1\], giá trị nhỏ nhất là \[f [-1] = 5\].
\[AM\] đạt giá trị nhỏ nhất khi \[M\] ở vị trí \[{M_0} [-1; 1]\] khi đó \[AM_0=\sqrt 5\]