Đề bài
a] Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số sau:
\[y = \dfrac{1}{2}x + 2\]; \[y = -x + 2\]
b] Gọi giao điểm của hai đường thẳng \[y = \dfrac{1}{2}x + 2\] và \[y = -x + 2\]với trục hoành theo thứ tự là \[A, B\] và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là \[C\]. Tính các góc của tam giác \[ABC\] [làm tròn đến độ].
c] Tính chu vi và diện tích của tam giác \[ABC\] [đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Cách vẽ đồ thị hàm số \[y=ax+b,\ [a \ne 0]\]:Đồ thị hàm số \[y=ax+b \, \, [a\neq 0]\] là đường thẳng:
+] Cắt trục hoành tại điểm \[A[-\dfrac{b}{a}; \, 0].\]
+] Cắt trục tung tại điểm \[B[0;b].\]
Xác định tọa độ hai điểm \[A\] và \[B\] sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số\[y=ax+b \, \, [a\neq 0].\]
b] +] Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \[y=ax+b\] và \[y=a'x+b'\] là: \[ax+b = a'x+b'\]. Giải phương trình trên ta tìm được hoành độ giao điểm, thay hoành độ tìm được vào công thức hàm số tìm được tung độ giao điểm.
+] Đường thẳng \[y=ax+b\] giao với trục hoành tại điểm có tọa độ là \[A[-\dfrac{b}{a}; 0].\]
+] Tính tỷ số lượng giác của các góc, từ đó tính số đo góc.
c] Sử dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh:
\[\Delta{ABC}\] vuông tại \[A\] khi đó: \[BC^2 = AC^2+AB^2\]
+ Chu vi \[\Delta{ABC}\] là: \[C_{\Delta{ABC}}=AB + BC + AC\]
+ Diện tích\[\Delta{ABC}\] là: \[S_{\Delta{ABC}}=\dfrac{1}{2}.h.a\]
trong đó: \[h\] là độ dài đường cao, \[a\] là độ dài cạnh ứng với đường cao.
Lời giải chi tiết
a] Đồ thị được vẽ như hình dưới:
+] Hàm số \[y = \dfrac{1}{2}x + 2\]:
Cho \[x=0 \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}.0 + 2=0+2=2 \Rightarrow M[0; 2]\].
Cho \[y=0 \Rightarrow 0=\dfrac{1}{2}.x + 2 \Rightarrow x=-4 \Rightarrow N[-4; 0]\].
Đồ thị hàm số\[y = \dfrac{1}{2}x + 2\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[M[0; 2]\] và \[N[-4; 0]\]
+] Hàm số \[y = -x + 2\]:
Cho \[x=0 \Rightarrow y=0 + 2=2 \Rightarrow M[0; 2]\].
Cho \[y=0 \Rightarrow 0=-x + 2 \Rightarrow x= 2 \Rightarrow P[2; 0]\].
Đồ thị hàm số\[y = -x + 2\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[M[0; 2]\] và \[P[2; 0]\]
b] +] Hoành độ điểm \[C\] là nghiệm của phương trình:
\[\dfrac{1}{2}x+2=-x+2\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x+x=2-2\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x=0\]
\[\Leftrightarrow x=0\]
Do đó tung độ của \[C\] là: \[y=0+2=2\]. Vậy \[C[0; 2] \equiv M\].
+] Vì \[A\] thuộc trục hoành \[Ox\] nên tung độ của \[A\] bằng \[0\]. Thay \[y=0\] vào \[y=\dfrac{1}{2}x+2\], ta được:
\[0=\dfrac{1}{2}x+2\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x=-2\]
\[\Leftrightarrow x=-4\]
Vậy \[A[-4; 0] \equiv N\].
+] Vì \[B\] thuộc trục hoành \[Ox\] nên tung độ của \[B\] bằng \[0\]. Thay \[y=0\] vào \[y=-x+2\], ta được:
\[0=-x+2\]
\[\Leftrightarrow x=2\]
Vậy \[B[2; 0] \equiv P\].
Ta có được \[OA=4,\ OB=2,\ OC=2,\]\[ AB=OA+OB=4+2=6\].
Ta có: \[OB=OC\] nên tam giác \[COB\] vuông cân tại \[O\] [\[O\] là gốc tọa độ] nên: \[\widehat{B}=45^o\]
Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác đối với tam giác \[AOC\] vuông tại \[O\], ta có:
\[\tan A=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\]
Thực hiện bấm máy tính, ta được: \[\widehat{A} \approx 27^o\]
Xét \[\Delta{ABC}\] có:\[\widehat{A}+ \widehat{B}+\widehat{C}=180^o\]
\[\Leftrightarrow \widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}\]
\[\Leftrightarrow \widehat{C} \approx 180^o-27^o-45^o\]
\[\Leftrightarrow\widehat{C} \approx 108^o\]
c] Ta có: \[AB = 6 [cm]\]
Xét tam giác vuông \[OAC\] vuông tại \[O\], theo định lí Py-ta-go, ta có:
\[AC^2=AO^2+OC^2=4^2+2^2=16+4=20\]
\[\Rightarrow AC =\sqrt{20}=2\sqrt{5}[cm]\]
Xét tam giác vuông \[OBC\] vuông tại \[O\], ta có:
\[BC^2=BO^2+OC^2=2^2+2^2=4+4=8\]
\[\Rightarrow BC =\sqrt 8 = 2\sqrt{2}[cm]\]
\[\Delta{OAC}\] có \[CO \bot AB\] nên \[CO\] là đường cao ứng với cạnh \[AB\].
Chu vi tam giác là:
\[P=AB+BC+AC=6+2\sqrt{5}+2\sqrt{2} [cm]\]
Diện tích tam giác là:
\[S=\dfrac{1}{2}.OC.AB=\dfrac{1}{2}.2.6=6 [cm^2]\]