Đề bài
Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường \[\displaystyle y = \tan x,y = 0,x = - \frac{\pi }{4}\] và \[\displaystyle x = \frac{\pi }{4}\] bằng
A. \[\displaystyle \pi \] B. \[\displaystyle - \pi \]
C. \[\displaystyle \ln 2\] D. \[\displaystyle 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính diện tích \[\displaystyle S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} \].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\displaystyle \tan x = 0 \Leftrightarrow x = 0\] do \[\displaystyle x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\].
Khi đó \[\displaystyle S = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left| {\tan x} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\left| {\tan x} \right|dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left| {\tan x} \right|dx} \] \[\displaystyle = - \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\tan xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx} \]
\[\displaystyle = - \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{d\left[ {\cos x} \right]}}{{\cos x}}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{d\left[ {\cos x} \right]}}{{\cos x}}dx} \] \[\displaystyle = \left. {\ln \left| {\cos x} \right|} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^0 - \left. {\ln \left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\]
\[\displaystyle = \ln 1 - \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \ln 1\] \[\displaystyle = - 2\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \ln 2\]
Chọn C.