Đề bài
Trên đường tròn bán kính \[R\] lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \[A\], ba cung \[AB, BC, CD\] sao cho sđ\[\overparen{AB}= {60^o}\], sđ\[\overparen{BC}= {90^o}\], sđ\[\overparen{CD}= {120^o}\].
a] Tứ giác \[ABCD\] là hình gì ?
d] Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác \[ABCD\] vuông góc với nhau.
c] Tính độ dài các cạnh của tứ giác \[ABCD\] theo \[R\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Sử dụng số đo cả đường tròn bằng \[360^\circ \] để tính số đo cung \[AD\].
Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác có hai cạnh đáy song song và hai cạnh bên [hoặc hai góc ở đáy] bằng nhau.
b] Sử dụng: Số đo góc có đỉnh bên trong đường tròn bẳng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
c] Sử dụng định lý Pytago và tính chất tam giác đều.
Lời giải chi tiết
a] Xét cung \[DA\] , ta có :
sđ\[\overparen{DA}=\]\[360^\circ - \] [sđ\[\overparen{AB}+\] sđ\[\overparen{BC}+\] sđ\[\overparen{CD}\]] \[ = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ .\]
Vậy sđ\[\overparen{DA}= 90^\circ \] ta có : sđ\[\overparen{BC}\] = sđ\[\overparen{DA}\]
\[ \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\] sđ\[\overparen{AD}\]. Do đó, ta có \[AB//DC\] và\[\overparen{BC}= \overparen{AD}\]\[ \Rightarrow BC = DA.\]
Vậy tứ giác\[ABCD\] là hình thang cân.
b] Gọi \[E\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\]. Góc \[AEB\] có đỉnh nằm bên trong đường tròn nên ta có:
\[\widehat {AEB} = \dfrac{1}{2}\] [sđ\[\overparen{AB}\] + sđ\[\overparen{CD}\]]. Từ giả thiết ta có sđ\[\overparen{CD}\]\[ = 120^\circ ;\] sđ\[\overparen{AB}\] \[ = 60^\circ \]
Vậy \[\widehat {AEB} = 90^\circ \Rightarrow AC \bot BD.\]
c] Ta có \[\widehat {AOB} = \] sđ\[\overparen{AB}\] \[ = 60^\circ \] là góc ở tâm và \[OA = OB = AB\]
\[ \Rightarrow \Delta {\rm A}OB\] là tam giác đều.
Vậy \[AB = R.\]
Ta có \[\widehat {AOD} = \] sđ\[\overparen{AD}\] \[ = 90^\circ \]và \[OA = OD = R \Rightarrow \Delta AOD\] là tam giác vuông cân.
\[A{D^2} = O{A^2} + O{D^2} = 2{R^2}.\] Vậy \[AD = R\sqrt 2 \] và \[BC = AD = R\sqrt 2 ,\] vì \[ABCD\] là hình thang cân.
Kẻ \[OH \bot CD\] tại \[H\]
Vìsđ\[\overparen{CD}\] \[ = 120^\circ \] \[\Rightarrow \widehat{COD}=120^0.\]
Lại có \[\Delta DOC\] cân tại \[O\] có \[OH\] là đường cao nên \[OH\] cũng là đường phân giác
\[ \Rightarrow \widehat{HOC}=\widehat{DOC}:2=120^0:2=60^0.\]
Xét \[\Delta OCH\] vuông tại \[H\] ta có:
\[HC=OC.\sin \widehat{COH}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.\]
Mà \[H\] là trung điểm của \[CD\] [định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy].
\[\Rightarrow CD=2.CH=R\sqrt3.\]
Vậy \[AB = R;DC = R\sqrt3;BC = AD = R\sqrt 2 \]